Theorem normsubi 31104

Description: Negative doesn't change the norm of a Hilbert space vector. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normsub.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normsub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normsubi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))

Proof of Theorem normsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12132	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		normsub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		normsub.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvsubcli 30984	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	1, 4	norm-iii-i 31102	. 2 ⊢ (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴))) = ((abs‘-1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))
6	2, 3	hvnegdii 31025	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
7	6	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
8		ax-1cn 11086	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	absnegi 15327	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
10		abs1 15223	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
11	9, 10	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
12	11	oveq1i 7363	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (1 · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))
13	4	normcli 31094	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ∈ ℝ
14	13	recni 11148	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
15	14	mullidi 11139	. . 3 ⊢ (1 · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))
16	12, 15	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((abs‘-1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))
17	5, 7, 16	3eqtr3i 2760	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029   · cmul 11033  -cneg 11367  abscabs 15160   ℋchba 30882   ·_ℎ csm 30884  norm_ℎcno 30886   −_ℎ cmv 30888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hv0cl 30966  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr1 30971  ax-hvmul0 30973  ax-hfi 31042  ax-his1 31045  ax-his3 31047  ax-his4 31048

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-seq 13928  df-exp 13988  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-hnorm 30931  df-hvsub 30934

This theorem is referenced by:  normsub  31106  norm3adifii  31111