Theorem normsubi 30971

Description: Negative doesn't change the norm of a Hilbert space vector. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normsub.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normsub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normsubi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))

Proof of Theorem normsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12364	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		normsub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		normsub.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvsubcli 30851	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	1, 4	norm-iii-i 30969	. 2 ⊢ (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴))) = ((abs‘-1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))
6	2, 3	hvnegdii 30892	. . 3 ⊢ (-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
7	6	fveq2i 6905	. 2 ⊢ (normℎ‘(-1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
8		ax-1cn 11204	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	absnegi 15387	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
10		abs1 15284	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
11	9, 10	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
12	11	oveq1i 7436	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (1 · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))
13	4	normcli 30961	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ∈ ℝ
14	13	recni 11266	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
15	14	mullidi 11257	. . 3 ⊢ (1 · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))
16	12, 15	eqtri 2756	. 2 ⊢ ((abs‘-1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))
17	5, 7, 16	3eqtr3i 2764	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147   · cmul 11151  -cneg 11483  abscabs 15221   ℋchba 30749   ·_ℎ csm 30751  norm_ℎcno 30753   −_ℎ cmv 30755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hv0cl 30833  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his3 30914  ax-his4 30915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-hnorm 30798  df-hvsub 30801

This theorem is referenced by:  normsub  30973  norm3adifii  30978