Theorem normsubi 31758

Description: Negative doesn't change the norm of a Hilbert space vector. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normsub.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normsub.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normsubi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))

Proof of Theorem normsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12318	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		normsub.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		normsub.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	hvsubcli 31638	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐴) ∈ ℋ
5	1, 4	norm-iii-i 31756	. 2 ⊢ (normℎ‘( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴))) = ((abs‘ -1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))
6	2, 3	hvnegdii 31679	. . 3 ⊢ ( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴)) = (𝐴 −ℎ 𝐵)
7	6	fveq2i 6899	. 2 ⊢ (normℎ‘( -1 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))
8		ax-1cn 11271	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	absnegi 15583	. . . . 5 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
10		abs1 15479	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
11	9, 10	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (abs‘ -1) = 1
12	11	oveq1i 7440	. . 3 ⊢ ((abs‘ -1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (1 · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)))
13	4	normcli 31748	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ∈ ℝ
14	13	recni 11336	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴)) ∈ ℂ
15	14	mullidi 11327	. . 3 ⊢ (1 · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))
16	12, 15	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((abs‘ -1) · (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))
17	5, 7, 16	3eqtr3i 2794	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐵 −ℎ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  1c1 11214   · cmul 11218   -cneg 11555  abscabs 15416   ℋchba 31536   ·_ℎ csm 31538  norm_ℎcno 31540   −_ℎ cmv 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-hfvadd 31617  ax-hvcom 31618  ax-hv0cl 31620  ax-hfvmul 31622  ax-hvmulid 31623  ax-hvmulass 31624  ax-hvdistr1 31625  ax-hvmul0 31627  ax-hfi 31696  ax-his1 31699  ax-his3 31701  ax-his4 31702

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-hnorm 31585  df-hvsub 31588

This theorem is used by:  normsub  31760  norm3adifii  31765