Theorem pjss2i 29018

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2i	⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjss2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	choccli 28645	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
3		pjidm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	pjclii 28759	. . 3 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
5		pjsslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
6	1, 5	chsscon3i 28799	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 ↔ (⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻))
7	5	choccli 28645	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
8	7, 3	pjclii 28759	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺)
9		ssel 3757	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
10	8, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
11	6, 10	sylbi 208	. . 3 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
12	2	chshii 28563	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ
13		shsubcl 28556	. . . 4 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
14	12, 13	mp3an1 1572	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
15	4, 11, 14	sylancr 581	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
16	1, 3, 5	pjsslem 29017	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
17	16	eleq1i 2835	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
18	5, 3	pjhclii 28760	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
19	1, 3	pjhclii 28760	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
20	18, 19	hvsubcli 28357	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
21	1, 20	pjoc2i 28776	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ)
22	17, 21	bitri 266	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ)
23	1, 18, 19	pjsubii 29016	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
24	23	eqeq1i 2770	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ ↔ (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ)
25	1, 18	pjhclii 28760	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
26	1, 19	pjhclii 28760	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
27	25, 26	hvsubeq0i 28399	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ ↔ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
28	24, 27	bitri 266	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ ↔ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
29	1, 3	pjidmi 29011	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
30	29	eqeq2i 2777	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
31	22, 28, 30	3bitrri 289	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ↔ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
32	15, 31	sylibr 225	1 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ⊆ wss 3734  ‘cfv 6070  (class class class)co 6846   ℋchba 28255  0_ℎc0v 28260   −_ℎ cmv 28261   S_ℋ csh 28264   C_ℋ cch 28265  ⊥cort 28266  proj_ℎcpjh 28273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273  ax-hilex 28335  ax-hfvadd 28336  ax-hvcom 28337  ax-hvass 28338  ax-hv0cl 28339  ax-hvaddid 28340  ax-hfvmul 28341  ax-hvmulid 28342  ax-hvmulass 28343  ax-hvdistr1 28344  ax-hvdistr2 28345  ax-hvmul0 28346  ax-hfi 28415  ax-his1 28418  ax-his2 28419  ax-his3 28420  ax-his4 28421  ax-hcompl 28538

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-acn 9023  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-4 11342  df-5 11343  df-6 11344  df-7 11345  df-8 11346  df-9 11347  df-n0 11544  df-z 11630  df-dec 11747  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12153  df-xadd 12154  df-xmul 12155  df-ioo 12388  df-ico 12390  df-icc 12391  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13329  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-clim 14520  df-rlim 14521  df-sum 14718  df-struct 16148  df-ndx 16149  df-slot 16150  df-base 16152  df-sets 16153  df-ress 16154  df-plusg 16243  df-mulr 16244  df-starv 16245  df-sca 16246  df-vsca 16247  df-ip 16248  df-tset 16249  df-ple 16250  df-ds 16252  df-unif 16253  df-hom 16254  df-cco 16255  df-rest 16365  df-topn 16366  df-0g 16384  df-gsum 16385  df-topgen 16386  df-pt 16387  df-prds 16390  df-xrs 16444  df-qtop 16449  df-imas 16450  df-xps 16452  df-mre 16528  df-mrc 16529  df-acs 16531  df-mgm 17524  df-sgrp 17566  df-mnd 17577  df-submnd 17618  df-mulg 17824  df-cntz 18029  df-cmn 18477  df-psmet 20027  df-xmet 20028  df-met 20029  df-bl 20030  df-mopn 20031  df-fbas 20032  df-fg 20033  df-cnfld 20036  df-top 20994  df-topon 21011  df-topsp 21033  df-bases 21046  df-cld 21119  df-ntr 21120  df-cls 21121  df-nei 21198  df-cn 21327  df-cnp 21328  df-lm 21329  df-haus 21415  df-tx 21661  df-hmeo 21854  df-fil 21945  df-fm 22037  df-flim 22038  df-flf 22039  df-xms 22420  df-ms 22421  df-tms 22422  df-cfil 23348  df-cau 23349  df-cmet 23350  df-grpo 27827  df-gid 27828  df-ginv 27829  df-gdiv 27830  df-ablo 27879  df-vc 27893  df-nv 27926  df-va 27929  df-ba 27930  df-sm 27931  df-0v 27932  df-vs 27933  df-nmcv 27934  df-ims 27935  df-dip 28035  df-ssp 28056  df-ph 28147  df-cbn 28198  df-hnorm 28304  df-hba 28305  df-hvsub 28307  df-hlim 28308  df-hcau 28309  df-sh 28543  df-ch 28557  df-oc 28588  df-ch0 28589  df-shs 28646  df-pjh 28733

This theorem is referenced by:  pjssmii  29019  pjss2coi  29502