Theorem pjss2i 29148

Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjss2i	⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjss2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	choccli 28775	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
3		pjidm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4	2, 3	pjclii 28889	. . 3 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
5		pjsslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
6	1, 5	chsscon3i 28929	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 ↔ (⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻))
7	5	choccli 28775	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
8	7, 3	pjclii 28889	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺)
9		ssel 3883	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
10	8, 9	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
11	6, 10	sylbi 218	. . 3 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
12	2	chshii 28695	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ
13		shsubcl 28688	. . . 4 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
14	12, 13	mp3an1 1440	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
15	4, 11, 14	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
16	1, 3, 5	pjsslem 29147	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
17	16	eleq1i 2873	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
18	5, 3	pjhclii 28890	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
19	1, 3	pjhclii 28890	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
20	18, 19	hvsubcli 28489	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
21	1, 20	pjoc2i 28906	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ)
22	17, 21	bitri 276	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ)
23	1, 18, 19	pjsubii 29146	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
24	23	eqeq1i 2800	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ ↔ (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ)
25	1, 18	pjhclii 28890	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
26	1, 19	pjhclii 28890	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
27	25, 26	hvsubeq0i 28531	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ ↔ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
28	24, 27	bitri 276	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = 0ℎ ↔ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
29	1, 3	pjidmi 29141	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)
30	29	eqeq2i 2807	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
31	22, 28, 30	3bitrri 299	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ↔ (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
32	15, 31	sylibr 235	1 ⊢ (𝐻 ⊆ 𝐺 → ((projℎ‘𝐻)‘((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ℋchba 28387  0_ℎc0v 28392   −_ℎ cmv 28393   S_ℋ csh 28396   C_ℋ cch 28397  ⊥cort 28398  proj_ℎcpjh 28405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463  ax-hilex 28467  ax-hfvadd 28468  ax-hvcom 28469  ax-hvass 28470  ax-hv0cl 28471  ax-hvaddid 28472  ax-hfvmul 28473  ax-hvmulid 28474  ax-hvmulass 28475  ax-hvdistr1 28476  ax-hvdistr2 28477  ax-hvmul0 28478  ax-hfi 28547  ax-his1 28550  ax-his2 28551  ax-his3 28552  ax-his4 28553  ax-hcompl 28670

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-lm 21521  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cfil 23541  df-cau 23542  df-cmet 23543  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-gdiv 27964  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-vs 28067  df-nmcv 28068  df-ims 28069  df-dip 28169  df-ssp 28190  df-ph 28281  df-cbn 28331  df-hnorm 28436  df-hba 28437  df-hvsub 28439  df-hlim 28440  df-hcau 28441  df-sh 28675  df-ch 28689  df-oc 28720  df-ch0 28721  df-shs 28776  df-pjh 28863

This theorem is referenced by:  pjssmii  29149  pjss2coi  29632