Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjss2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjss2i 29470
 Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)->(ii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjss2i (𝐻𝐺 → ((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴))

Proof of Theorem pjss2i
StepHypRef Expression
1 pjidm.1 . . . . 5 𝐻C
21choccli 29097 . . . 4 (⊥‘𝐻) ∈ C
3 pjidm.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
42, 3pjclii 29211 . . 3 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
5 pjsslem.1 . . . . 5 𝐺C
61, 5chsscon3i 29251 . . . 4 (𝐻𝐺 ↔ (⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻))
75choccli 29097 . . . . . 6 (⊥‘𝐺) ∈ C
87, 3pjclii 29211 . . . . 5 ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺)
9 ssel 3908 . . . . 5 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
108, 9mpi 20 . . . 4 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
116, 10sylbi 220 . . 3 (𝐻𝐺 → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
122chshii 29017 . . . 4 (⊥‘𝐻) ∈ S
13 shsubcl 29010 . . . 4 (((⊥‘𝐻) ∈ S ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
1412, 13mp3an1 1445 . . 3 ((((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
154, 11, 14sylancr 590 . 2 (𝐻𝐺 → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
161, 3, 5pjsslem 29469 . . . . 5 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))
1716eleq1i 2880 . . . 4 ((((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
185, 3pjhclii 29212 . . . . . 6 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
191, 3pjhclii 29212 . . . . . 6 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
2018, 19hvsubcli 28811 . . . . 5 (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
211, 20pjoc2i 29228 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = 0)
2217, 21bitri 278 . . 3 ((((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = 0)
231, 18, 19pjsubii 29468 . . . . 5 ((proj𝐻)‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴)))
2423eqeq1i 2803 . . . 4 (((proj𝐻)‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = 0 ↔ (((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴))) = 0)
251, 18pjhclii 29212 . . . . 5 ((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
261, 19pjhclii 29212 . . . . 5 ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
2725, 26hvsubeq0i 28853 . . . 4 ((((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴))) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴)))
2824, 27bitri 278 . . 3 (((proj𝐻)‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴)))
291, 3pjidmi 29463 . . . 4 ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴)
3029eqeq2i 2811 . . 3 (((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘((proj𝐻)‘𝐴)) ↔ ((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴))
3122, 28, 303bitrri 301 . 2 (((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴) ↔ (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
3215, 31sylibr 237 1 (𝐻𝐺 → ((proj𝐻)‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj𝐻)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ℋchba 28709  0ℎc0v 28714   −ℎ cmv 28715   Sℋ csh 28718   Cℋ cch 28719  ⊥cort 28720  projℎcpjh 28727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cc 9848  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606  ax-addf 10607  ax-mulf 10608  ax-hilex 28789  ax-hfvadd 28790  ax-hvcom 28791  ax-hvass 28792  ax-hv0cl 28793  ax-hvaddid 28794  ax-hfvmul 28795  ax-hvmulid 28796  ax-hvmulass 28797  ax-hvdistr1 28798  ax-hvdistr2 28799  ax-hvmul0 28800  ax-hfi 28869  ax-his1 28872  ax-his2 28873  ax-his3 28874  ax-his4 28875  ax-hcompl 28992 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-lm 21841  df-haus 21927  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-cfil 23866  df-cau 23867  df-cmet 23868  df-grpo 28283  df-gid 28284  df-ginv 28285  df-gdiv 28286  df-ablo 28335  df-vc 28349  df-nv 28382  df-va 28385  df-ba 28386  df-sm 28387  df-0v 28388  df-vs 28389  df-nmcv 28390  df-ims 28391  df-dip 28491  df-ssp 28512  df-ph 28603  df-cbn 28653  df-hnorm 28758  df-hba 28759  df-hvsub 28761  df-hlim 28762  df-hcau 28763  df-sh 28997  df-ch 29011  df-oc 29042  df-ch0 29043  df-shs 29098  df-pjh 29185 This theorem is referenced by:  pjssmii  29471  pjss2coi  29954
 Copyright terms: Public domain W3C validator