Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem1 23523
 Description: Lemma for icccmp 23526. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem1 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.5 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10729 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 icccmp.6 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10729 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 icccmp.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
6 lbicc2 12896 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
72, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 icccmp.9 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
98, 7sseldd 3893 . . . . 5 (𝜑𝐴 𝑈)
10 eluni2 4802 . . . . 5 (𝐴 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 𝐴𝑢)
119, 10sylib 221 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 𝐴𝑢)
12 snssi 4698 . . . . . . . 8 (𝑢𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
1312ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14 snex 5300 . . . . . . . 8 {𝑢} ∈ V
1514elpw 4498 . . . . . . 7 ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
1613, 15sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17 snfi 8614 . . . . . . 7 {𝑢} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
1916, 18elind 4099 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
202adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccid 12824 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23 snssi 4698 . . . . . . 7 (𝐴𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
2423ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
2522, 24eqsstrd 3930 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26 unieq 4809 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑢} → 𝑧 = {𝑢})
27 vex 3413 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
2827unisn 4820 . . . . . . . 8 {𝑢} = 𝑢
2926, 28eqtrdi 2809 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑢} → 𝑧 = 𝑢)
3029sseq2d 3924 . . . . . 6 (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
3130rspcev 3541 . . . . 5 (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧)
3219, 25, 31syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑈𝐴𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧)
3311, 32rexlimddv 3215 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧)
34 oveq2 7158 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
3534sseq1d 3923 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧))
3635rexbidv 3221 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧))
37 icccmp.4 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
3836, 37elrab2 3605 . . 3 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑧))
397, 33, 38sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐴𝑆)
4037ssrab3 3986 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4140sseli 3888 . . . 4 (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 elicc2 12844 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
431, 3, 42syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
4443biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
4544simp3d 1141 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
4641, 45sylan2 595 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
4746ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
4839, 47jca 515 1 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  {csn 4522  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032   × cxp 5522  ran crn 5525   ↾ cres 5526   ∘ ccom 5528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  ℝcr 10574  ℝ*cxr 10712   ≤ cle 10714   − cmin 10908  (,)cioo 12779  [,]cicc 12782  abscabs 14641   ↾t crest 16752  topGenctg 16769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-icc 12786 This theorem is referenced by:  icccmplem2  23524  icccmplem3  23525
 Copyright terms: Public domain W3C validator