Theorem icccmplem1 24806

Description: Lemma for icccmp 24809. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		icccmp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		icccmp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		lbicc2 13408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		icccmp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
9	8, 7	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝑈)
10		eluni2 4842	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
11	9, 10	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
12		snssi 4717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
13	12	ad2antrl 734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14		snex 5368	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢} ∈ V
15	14	elpw 4533	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
16	13, 15	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17		snfi 8980	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
19	16, 18	elind 4129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
20	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccid 13334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23		snssi 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
24	23	ad2antll 735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
25	22, 24	eqsstrd 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26		unieq 4849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝑢})
27		unisnv 4858	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑢} = 𝑢
28	26, 27	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = 𝑢)
29	28	sseq2d 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
30	29	rspcev 3560	. . . . 5 ⊢ (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
31	19, 25, 30	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
32	11, 31	rexlimddv 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
33		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
34	33	sseq1d 3946	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
35	34	rexbidv 3163	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
36		icccmp.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
37	35, 36	elrab2 3632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
38	7, 32, 37	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
39	36	ssrab3 4013	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
40	39	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41		elicc2 13355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
42	1, 3, 41	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
43	42	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
45	40, 44	sylan2 599	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ 𝐵)
46	45	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
47	38, 46	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ran crn 5619   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   − cmin 11368  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  abscabs 15187   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  icccmplem2  24807  icccmplem3  24808