Theorem icccmplem1 23985

Description: Lemma for icccmp 23988. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		icccmp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11025	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		icccmp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		lbicc2 13196	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		icccmp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
9	8, 7	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝑈)
10		eluni2 4843	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
11	9, 10	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
12		snssi 4741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
13	12	ad2antrl 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14		snex 5354	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢} ∈ V
15	14	elpw 4537	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
16	13, 15	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17		snfi 8834	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
19	16, 18	elind 4128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
20	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccid 13124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23		snssi 4741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
24	23	ad2antll 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
25	22, 24	eqsstrd 3959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26		unieq 4850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝑢})
27		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑢 ∈ V
28	27	unisn 4861	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑢} = 𝑢
29	26, 28	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = 𝑢)
30	29	sseq2d 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
31	30	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
32	19, 25, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
33	11, 32	rexlimddv 3220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
34		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
35	34	sseq1d 3952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
36	35	rexbidv 3226	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
37		icccmp.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
38	36, 37	elrab2 3627	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
39	7, 33, 38	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
40	37	ssrab3 4015	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
41	40	sseli 3917	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		elicc2 13144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
43	1, 3, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
44	43	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
45	44	simp3d 1143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
46	41, 45	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ 𝐵)
47	46	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
48	39, 47	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ran crn 5590   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010   − cmin 11205  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  abscabs 14945   ↾_t crest 17131  topGenctg 17148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  icccmplem2  23986  icccmplem3  23987