MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmplem1 24338
Description: Lemma for icccmp 24341. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   π‘₯,π‘ˆ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem icccmplem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3 icccmp.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 icccmp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
6 lbicc2 13441 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
72, 4, 5, 6syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8 icccmp.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
98, 7sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
10 eluni2 4913 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
119, 10sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
12 snssi 4812 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1312ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
14 snex 5432 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ V
1514elpw 4607 . . . . . . 7 ({𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ)
17 snfi 9044 . . . . . . 7 {𝑒} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ Fin)
1916, 18elind 4195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
202adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccid 13369 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23 snssi 4812 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2423ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2522, 24eqsstrd 4021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒)
26 unieq 4920 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ {𝑒})
27 unisnv 4932 . . . . . . . 8 βˆͺ {𝑒} = 𝑒
2826, 27eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = 𝑒)
2928sseq2d 4015 . . . . . 6 (𝑧 = {𝑒} β†’ ((𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒))
3029rspcev 3613 . . . . 5 (({𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3119, 25, 30syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3211, 31rexlimddv 3162 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
33 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐴))
3433sseq1d 4014 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
3534rexbidv 3179 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
36 icccmp.4 . . . 4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
3735, 36elrab2 3687 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
387, 32, 37sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3936ssrab3 4081 . . . . 5 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4039sseli 3979 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
41 elicc2 13389 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
421, 3, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4342biimpa 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4443simp3d 1145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4540, 44sylan2 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4645ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
4738, 46jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„cr 11109  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  icccmplem2  24339  icccmplem3  24340
  Copyright terms: Public domain W3C validator