Theorem icccmplem1 24863

Description: Lemma for icccmp 24866. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		icccmp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		icccmp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		lbicc2 13524	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		icccmp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
9	8, 7	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝑈)
10		eluni2 4935	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
12		snssi 4833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
13	12	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14		snex 5451	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢} ∈ V
15	14	elpw 4626	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
16	13, 15	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17		snfi 9109	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
19	16, 18	elind 4223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
20	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccid 13452	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23		snssi 4833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
24	23	ad2antll 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
25	22, 24	eqsstrd 4047	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26		unieq 4942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝑢})
27		unisnv 4951	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑢} = 𝑢
28	26, 27	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = 𝑢)
29	28	sseq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
30	29	rspcev 3635	. . . . 5 ⊢ (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
31	19, 25, 30	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
32	11, 31	rexlimddv 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
33		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
34	33	sseq1d 4040	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
35	34	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
36		icccmp.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
37	35, 36	elrab2 3711	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
38	7, 32, 37	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
39	36	ssrab3 4105	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
40	39	sseli 4004	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41		elicc2 13472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
42	1, 3, 41	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
43	42	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
45	40, 44	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ 𝐵)
46	45	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
47	38, 46	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325   − cmin 11520  (,)cioo 13407  [,]cicc 13410  abscabs 15283   ↾_t crest 17480  topGenctg 17497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  icccmplem2  24864  icccmplem3  24865