MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmplem1 24329
Description: Lemma for icccmp 24332. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   π‘₯,π‘ˆ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem icccmplem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 11260 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3 icccmp.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11260 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 icccmp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
6 lbicc2 13437 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
72, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8 icccmp.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
98, 7sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
10 eluni2 4911 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
119, 10sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
12 snssi 4810 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1312ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
14 snex 5430 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ V
1514elpw 4605 . . . . . . 7 ({𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ)
17 snfi 9040 . . . . . . 7 {𝑒} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ Fin)
1916, 18elind 4193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
202adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccid 13365 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23 snssi 4810 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2423ad2antll 727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2522, 24eqsstrd 4019 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒)
26 unieq 4918 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ {𝑒})
27 unisnv 4930 . . . . . . . 8 βˆͺ {𝑒} = 𝑒
2826, 27eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = 𝑒)
2928sseq2d 4013 . . . . . 6 (𝑧 = {𝑒} β†’ ((𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒))
3029rspcev 3612 . . . . 5 (({𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3119, 25, 30syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3211, 31rexlimddv 3161 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
33 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐴))
3433sseq1d 4012 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
3534rexbidv 3178 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
36 icccmp.4 . . . 4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
3735, 36elrab2 3685 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
387, 32, 37sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3936ssrab3 4079 . . . . 5 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4039sseli 3977 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
41 elicc2 13385 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
421, 3, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4342biimpa 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4443simp3d 1144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4540, 44sylan2 593 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4645ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
4738, 46jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„cr 11105  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  abscabs 15177   β†Ύt crest 17362  topGenctg 17379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-icc 13327
This theorem is referenced by:  icccmplem2  24330  icccmplem3  24331
  Copyright terms: Public domain W3C validator