Theorem icccmplem1 24709

Description: Lemma for icccmp 24712. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		icccmp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		icccmp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		lbicc2 13367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		icccmp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
9	8, 7	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝑈)
10		eluni2 4862	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
12		snssi 4759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
13	12	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14		snex 5375	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢} ∈ V
15	14	elpw 4555	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
16	13, 15	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17		snfi 8968	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
19	16, 18	elind 4151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
20	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccid 13293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23		snssi 4759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
24	23	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
25	22, 24	eqsstrd 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26		unieq 4869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝑢})
27		unisnv 4878	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑢} = 𝑢
28	26, 27	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = 𝑢)
29	28	sseq2d 3968	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
30	29	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
31	19, 25, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
32	11, 31	rexlimddv 3136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
33		oveq2 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
34	33	sseq1d 3967	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
35	34	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
36		icccmp.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
37	35, 36	elrab2 3651	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
38	7, 32, 37	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
39	36	ssrab3 4033	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
40	39	sseli 3931	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41		elicc2 13314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
42	1, 3, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
43	42	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
45	40, 44	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ 𝐵)
46	45	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
47	38, 46	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℝcr 11008  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150   − cmin 11347  (,)cioo 13248  [,]cicc 13251  abscabs 15141   ↾_t crest 17324  topGenctg 17341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-icc 13255

This theorem is referenced by:  icccmplem2  24710  icccmplem3  24711