Theorem icccmplem1 24767

Description: Lemma for icccmp 24770. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		icccmp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 11182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		icccmp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		lbicc2 13380	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		icccmp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
9	8, 7	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∪ 𝑈)
10		eluni2 4867	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 𝐴 ∈ 𝑢)
12		snssi 4764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑈 → {𝑢} ⊆ 𝑈)
13	12	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ⊆ 𝑈)
14		snex 5381	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢} ∈ V
15	14	elpw 4558	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑢} ∈ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑢} ⊆ 𝑈)
16	13, 15	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ 𝒫 𝑈)
17		snfi 8980	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ Fin)
19	16, 18	elind 4152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin))
20	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccid 13306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23		snssi 4764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑢 → {𝐴} ⊆ 𝑢)
24	23	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → {𝐴} ⊆ 𝑢)
25	22, 24	eqsstrd 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢)
26		unieq 4874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝑢})
27		unisnv 4883	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ {𝑢} = 𝑢
28	26, 27	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ∪ 𝑧 = 𝑢)
29	28	sseq2d 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝑢} → ((𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢))
30	29	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (({𝑢} ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) ⊆ 𝑢) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
31	19, 25, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑢)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
32	11, 31	rexlimddv 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧)
33		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴[,]𝑥) = (𝐴[,]𝐴))
34	33	sseq1d 3965	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
35	34	rexbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
36		icccmp.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
37	35, 36	elrab2 3649	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) ⊆ ∪ 𝑧))
38	7, 32, 37	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
39	36	ssrab3 4034	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
40	39	sseli 3929	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41		elicc2 13327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
42	1, 3, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
43	42	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
44	43	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
45	40, 44	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ 𝐵)
46	45	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
47	38, 46	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Fincfn 8883  ℝcr 11025  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167   − cmin 11364  (,)cioo 13261  [,]cicc 13264  abscabs 15157   ↾_t crest 17340  topGenctg 17357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  icccmplem2  24768  icccmplem3  24769