MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmplem1 24558
Description: Lemma for icccmp 24561. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   π‘₯,π‘ˆ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem icccmplem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 11268 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3 icccmp.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11268 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 icccmp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
6 lbicc2 13445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
72, 4, 5, 6syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8 icccmp.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
98, 7sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
10 eluni2 4911 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
119, 10sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
12 snssi 4810 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1312ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
14 snex 5430 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ V
1514elpw 4605 . . . . . . 7 ({𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ)
17 snfi 9046 . . . . . . 7 {𝑒} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ Fin)
1916, 18elind 4193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
202adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccid 13373 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23 snssi 4810 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2423ad2antll 725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2522, 24eqsstrd 4019 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒)
26 unieq 4918 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ {𝑒})
27 unisnv 4930 . . . . . . . 8 βˆͺ {𝑒} = 𝑒
2826, 27eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = 𝑒)
2928sseq2d 4013 . . . . . 6 (𝑧 = {𝑒} β†’ ((𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒))
3029rspcev 3611 . . . . 5 (({𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3119, 25, 30syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3211, 31rexlimddv 3159 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
33 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐴))
3433sseq1d 4012 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
3534rexbidv 3176 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
36 icccmp.4 . . . 4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
3735, 36elrab2 3685 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
387, 32, 37sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3936ssrab3 4079 . . . . 5 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4039sseli 3977 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
41 elicc2 13393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
421, 3, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4342biimpa 475 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4443simp3d 1142 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4540, 44sylan2 591 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4645ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
4738, 46jca 510 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  abscabs 15185   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  icccmplem2  24559  icccmplem3  24560
  Copyright terms: Public domain W3C validator