MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem1 24201
Description: Lemma for icccmp 24204. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑦,𝑆   π‘₯,π‘ˆ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑦,𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem icccmplem1
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 11212 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3 icccmp.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43rexrd 11212 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5 icccmp.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
6 lbicc2 13388 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
72, 4, 5, 6syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8 icccmp.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
98, 7sseldd 3950 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
10 eluni2 4874 . . . . 5 (𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
119, 10sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑒)
12 snssi 4773 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ π‘ˆ β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1312ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
14 snex 5393 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ V
1514elpw 4569 . . . . . . 7 ({𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ {𝑒} βŠ† π‘ˆ)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ 𝒫 π‘ˆ)
17 snfi 8995 . . . . . . 7 {𝑒} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ Fin)
1916, 18elind 4159 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin))
202adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
21 iccid 13316 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
2220, 21syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
23 snssi 4773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2423ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑒)
2522, 24eqsstrd 3987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒)
26 unieq 4881 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = βˆͺ {𝑒})
27 unisnv 4893 . . . . . . . 8 βˆͺ {𝑒} = 𝑒
2826, 27eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝑒} β†’ βˆͺ 𝑧 = 𝑒)
2928sseq2d 3981 . . . . . 6 (𝑧 = {𝑒} β†’ ((𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒))
3029rspcev 3584 . . . . 5 (({𝑒} ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) ∧ (𝐴[,]𝐴) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3119, 25, 30syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
3211, 31rexlimddv 3159 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧)
33 oveq2 7370 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐴[,]π‘₯) = (𝐴[,]𝐴))
3433sseq1d 3980 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ (𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
3534rexbidv 3176 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
36 icccmp.4 . . . 4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
3735, 36elrab2 3653 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]𝐴) βŠ† βˆͺ 𝑧))
387, 32, 37sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
3936ssrab3 4045 . . . . 5 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4039sseli 3945 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
41 elicc2 13336 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
421, 3, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4342biimpa 478 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4443simp3d 1145 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4540, 44sylan2 594 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4645ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
4738, 46jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„cr 11057  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  abscabs 15126   β†Ύt crest 17309  topGenctg 17326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-icc 13278
This theorem is referenced by:  icccmplem2  24202  icccmplem3  24203
  Copyright terms: Public domain W3C validator