MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem3 23359
Description: Lemma for icccmp 23360. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
32ssrab3 4054 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 iccssre 12806 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
83, 7sstrid 3975 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 23357 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1514simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
1615ne0d 4298 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1714simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
18 brralrspcev 5117 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
195, 17, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
208, 16, 19suprcld 11592 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 11591 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 11595 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
2417, 23mpbird 258 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25 elicc2 12789 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
264, 5, 25syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1334 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
281, 27sseldd 3965 . . 3 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈)
29 eluni2 4834 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3028, 29sylib 219 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3113sselda 3964 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐽)
3211rexmet 23326 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
33 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3411, 33tgioo 23331 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
359, 34eqtri 2841 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3635mopni2 23030 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
3732, 36mp3an1 1439 . . . . . 6 ((𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
3837ex 413 . . . . 5 (𝑢𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
404ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
4313ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈𝐽)
441ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
45 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑈)
46 simprl 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
47 simprr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
48 eqid 2818 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2818 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 23358 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵𝑆)
5150rexlimdvaa 3282 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢𝐵𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5352rexlimdva 3281 . 2 (𝜑 → (∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cin 3932  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535   cuni 4830   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  supcsup 8892  cr 10524   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  abscabs 14581  t crest 16682  topGenctg 16699  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460  MetOpencmopn 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  icccmp  23360
  Copyright terms: Public domain W3C validator