Theorem icccmplem3 25013

Description: Lemma for icccmp 25014. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥, 𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
2		icccmp.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
3	2	ssrab3 4037	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4		icccmp.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		icccmp.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		iccssre 13468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	3, 7	sstrid 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		icccmp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		icccmp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
11		icccmp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12		icccmp.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		icccmp.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
14	9, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1	icccmplem1 25011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
15	14	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
16	15	ne0d 4295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17	14	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
18		brralrspcev 5173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
19	5, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
20	8, 16, 19	suprcld 12189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	8, 16, 19, 15	suprubd 12188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
22		suprleub 12192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
23	8, 16, 19, 5, 22	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
24	17, 23	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25		elicc2 13450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
26	4, 5, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
27	20, 21, 24, 26	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
28	1, 27	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈)
29		eluni2 4878	. . 3 ⊢ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
30	28, 29	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
31	13	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐽)
32	11	rexmet 24979	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
33		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	11, 33	tgioo 24984	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
35	9, 34	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
36	35	mopni2 24681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
37	32, 36	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
38	37	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
39	31, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
40	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
42	12	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
43	13	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
44	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
45		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝑈)
46		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
47		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
48		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
50	9, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	icccmplem2 25012	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
51	50	rexlimdvaa 3169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
52	39, 51	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
53	52	rexlimdva 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
54	30, 53	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  supcsup 9403  ℝcr 11110   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  ℝ⁺crp 13028  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  abscabs 15305   ↾_t crest 17491  topGenctg 17508  ∞Metcxmet 21537  ballcbl 21539  MetOpencmopn 21542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-topgen 17514  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-bases 23133

This theorem is used by:  icccmp  25014