MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmplem3 24347
Description: Lemma for icccmp 24348. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   π‘₯,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
32ssrab3 4080 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 iccssre 13408 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
83, 7sstrid 3993 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 24345 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
1514simpld 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4335 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1714simprd 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
18 brralrspcev 5208 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
195, 17, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
208, 16, 19suprcld 12179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 12178 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 12182 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† ℝ ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
2417, 23mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)
25 elicc2 13391 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
264, 5, 25syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1342 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡))
281, 27sseldd 3983 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ)
29 eluni2 4912 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3028, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3113sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
3211rexmet 24314 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3411, 33tgioo 24319 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜π·)
359, 34eqtri 2760 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3635mopni2 24009 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3732, 36mp3an1 1448 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3837ex 413 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
404ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
4313ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
441ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
45 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
46 simprl 769 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
47 simprr 771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
48 eqid 2732 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2732 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 24346 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
5150rexlimdvaa 3156 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5352rexlimdva 3155 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111   + caddc 11115   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329  abscabs 15183   β†Ύt crest 17368  topGenctg 17385  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456
This theorem is referenced by:  icccmp  24348
  Copyright terms: Public domain W3C validator