Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem3 23407
 Description: Lemma for icccmp 23408. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
32ssrab3 4033 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 iccssre 12797 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
83, 7sstrid 3954 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 23405 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1514simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
1615ne0d 4274 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1714simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
18 brralrspcev 5099 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
195, 17, 18syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
208, 16, 19suprcld 11581 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 11580 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 11584 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
2417, 23mpbird 260 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25 elicc2 12780 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
264, 5, 25syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1339 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
281, 27sseldd 3944 . . 3 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈)
29 eluni2 4815 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3028, 29sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3113sselda 3943 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐽)
3211rexmet 23374 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
33 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3411, 33tgioo 23379 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
359, 34eqtri 2844 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3635mopni2 23078 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
3732, 36mp3an1 1445 . . . . . 6 ((𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
3837ex 416 . . . . 5 (𝑢𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
404ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
4313ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈𝐽)
441ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
45 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑈)
46 simprl 770 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
47 simprr 772 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
48 eqid 2821 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2821 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 23406 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵𝑆)
5150rexlimdvaa 3271 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢𝐵𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5352rexlimdva 3270 . 2 (𝜑 → (∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (𝜑𝐵𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126  ∃wrex 3127  {crab 3130   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  ifcif 4440  𝒫 cpw 4512  ∪ cuni 4811   class class class wbr 5039   × cxp 5526  ran crn 5529   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  supcsup 8880  ℝcr 10513   + caddc 10517   < clt 10652   ≤ cle 10653   − cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  ℝ+crp 12367  (,)cioo 12716  [,]cicc 12719  abscabs 14572   ↾t crest 16672  topGenctg 16689  ∞Metcxmet 20505  ballcbl 20507  MetOpencmopn 20510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-icc 12723  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529 This theorem is referenced by:  icccmp  23408
 Copyright terms: Public domain W3C validator