MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmplem3 24340
Description: Lemma for icccmp 24341. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   π‘₯,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
32ssrab3 4081 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 iccssre 13406 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
83, 7sstrid 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 24338 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
1514simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4336 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1714simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
18 brralrspcev 5209 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
195, 17, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
208, 16, 19suprcld 12177 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 12176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 12180 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† ℝ ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
2417, 23mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)
25 elicc2 13389 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
264, 5, 25syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1343 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡))
281, 27sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ)
29 eluni2 4913 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3028, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3113sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
3211rexmet 24307 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3411, 33tgioo 24312 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜π·)
359, 34eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3635mopni2 24002 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3732, 36mp3an1 1449 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3837ex 414 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
404ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
4313ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
441ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
45 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
46 simprl 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
47 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
48 eqid 2733 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2733 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 24339 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
5150rexlimdvaa 3157 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5352rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  icccmp  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator