MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem3 24210
Description: Lemma for icccmp 24211. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   π‘₯,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
32ssrab3 4044 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 iccssre 13355 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
83, 7sstrid 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 24208 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
1514simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4299 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1714simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
18 brralrspcev 5169 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
195, 17, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
208, 16, 19suprcld 12126 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 12125 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 12129 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† ℝ ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
2417, 23mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)
25 elicc2 13338 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
264, 5, 25syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1343 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡))
281, 27sseldd 3949 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ)
29 eluni2 4873 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3028, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3113sselda 3948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
3211rexmet 24177 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3411, 33tgioo 24182 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜π·)
359, 34eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3635mopni2 23872 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3732, 36mp3an1 1449 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3837ex 414 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
404ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
4313ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
441ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
45 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
46 simprl 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
47 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
48 eqid 2733 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2733 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 24209 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
5150rexlimdvaa 3150 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5352rexlimdva 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058   + caddc 11062   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128   β†Ύt crest 17310  topGenctg 17327  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319
This theorem is referenced by:  icccmp  24211
  Copyright terms: Public domain W3C validator