MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icccmplem3 24561
Description: Lemma for icccmp 24562. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
icccmp.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
icccmp.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
icccmp.8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
icccmp.9 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝐴,𝑧   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   π‘₯,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑧)   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)(𝐴[,]π‘₯) βŠ† βˆͺ 𝑧}
32ssrab3 4081 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6 iccssre 13411 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
83, 7sstrid 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽 β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 24559 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
1514simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1615ne0d 4336 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
1714simprd 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡)
18 brralrspcev 5209 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
195, 17, 18syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣)
208, 16, 19suprcld 12182 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 12181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 12185 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† ℝ ∧ 𝑆 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑣) ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝐡))
2417, 23mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)
25 elicc2 13394 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
264, 5, 25syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≀ 𝐡)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1341 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡))
281, 27sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ)
29 eluni2 4913 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3028, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒)
3113sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑒 ∈ 𝐽)
3211rexmet 24528 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
33 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3411, 33tgioo 24533 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜π·)
359, 34eqtri 2759 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3635mopni2 24223 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3732, 36mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
3837ex 412 . . . . 5 (𝑒 ∈ 𝐽 β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒))
404ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
4313ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
441ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
45 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
46 simprl 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
47 simprr 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)
48 eqid 2731 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2731 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)) ≀ 𝐡, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑀 / 2)), 𝐡)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 24560 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
5150rexlimdvaa 3155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ballβ€˜π·)𝑀) βŠ† 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) β†’ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5352rexlimdva 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑒 β†’ 𝐡 ∈ 𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  supcsup 9438  β„cr 11112   + caddc 11116   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  abscabs 15186   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  βˆžMetcxmet 21130  ballcbl 21132  MetOpencmopn 21135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670
This theorem is referenced by:  icccmp  24562
  Copyright terms: Public domain W3C validator