MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccmplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccmplem3 24573
Description: Lemma for icccmp 24574. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
icccmp.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
icccmp.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7 (𝜑𝐴𝐵)
icccmp.8 (𝜑𝑈𝐽)
icccmp.9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
icccmplem3 (𝜑𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icccmp.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
2 icccmp.4 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ 𝑧}
32ssrab3 4080 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4 icccmp.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 icccmp.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 iccssre 13413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
83, 7sstrid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
9 icccmp.1 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 icccmp.2 . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐽t (𝐴[,]𝐵))
11 icccmp.3 . . . . . . . . 9 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12 icccmp.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
13 icccmp.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐽)
149, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1icccmplem1 24571 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
1514simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
1615ne0d 4335 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1714simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵)
18 brralrspcev 5208 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
195, 17, 18syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣)
208, 16, 19suprcld 12184 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
218, 16, 19, 15suprubd 12183 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
22 suprleub 12187 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
238, 16, 19, 5, 22syl31anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦𝐵))
2417, 23mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25 elicc2 13396 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
264, 5, 25syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
2720, 21, 24, 26mpbir3and 1341 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
281, 27sseldd 3983 . . 3 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈)
29 eluni2 4912 . . 3 (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3028, 29sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
3113sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝐽)
3211rexmet 24540 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
33 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3411, 33tgioo 24545 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
359, 34eqtri 2759 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3635mopni2 24235 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
3732, 36mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝑢𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
3837ex 412 . . . . 5 (𝑢𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
3931, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
404ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
415ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4212ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴𝐵)
4313ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈𝐽)
441ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
45 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑈)
46 simprl 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
47 simprr 770 . . . . . 6 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
48 eqid 2731 . . . . . 6 sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49 eqid 2731 . . . . . 6 if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
509, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49icccmplem2 24572 . . . . 5 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵𝑆)
5150rexlimdvaa 3155 . . . 4 ((𝜑𝑢𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢𝐵𝑆))
5239, 51syld 47 . . 3 ((𝜑𝑢𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5352rexlimdva 3154 . 2 (𝜑 → (∃𝑢𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢𝐵𝑆))
5430, 53mpd 15 1 (𝜑𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  cin 3947  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528  𝒫 cpw 4602   cuni 4908   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ran crn 5677  cres 5678  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  supcsup 9441  cr 11115   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  +crp 12981  (,)cioo 13331  [,]cicc 13334  abscabs 15188  t crest 17373  topGenctg 17390  ∞Metcxmet 21133  ballcbl 21135  MetOpencmopn 21138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-topgen 17396  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-top 22629  df-topon 22646  df-bases 22682
This theorem is referenced by:  icccmp  24574
  Copyright terms: Public domain W3C validator