Theorem icccmplem3 24800

Description: Lemma for icccmp 24801. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
2		icccmp.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
3	2	ssrab3 4023	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4		icccmp.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		icccmp.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		iccssre 13373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	3, 7	sstrid 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		icccmp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		icccmp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
11		icccmp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12		icccmp.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		icccmp.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
14	9, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1	icccmplem1 24798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
15	14	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
16	15	ne0d 4283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17	14	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
18		brralrspcev 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
19	5, 17, 18	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
20	8, 16, 19	suprcld 12110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	8, 16, 19, 15	suprubd 12109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
22		suprleub 12113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
23	8, 16, 19, 5, 22	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
24	17, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25		elicc2 13355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
26	4, 5, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
27	20, 21, 24, 26	mpbir3and 1344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
28	1, 27	sseldd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈)
29		eluni2 4855	. . 3 ⊢ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
30	28, 29	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
31	13	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐽)
32	11	rexmet 24766	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	11, 33	tgioo 24771	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
35	9, 34	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
36	35	mopni2 24468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
37	32, 36	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
39	31, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
40	4	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
42	12	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
43	13	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
44	1	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
45		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝑈)
46		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
47		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
48		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
50	9, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	icccmplem2 24799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
51	50	rexlimdvaa 3140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
52	39, 51	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
53	52	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
54	30, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  supcsup 9346  ℝcr 11028   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  abscabs 15187   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  ∞Metcxmet 21329  ballcbl 21331  MetOpencmopn 21334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921

This theorem is referenced by:  icccmp  24801