Theorem icccmplem3 24865

Description: Lemma for icccmp 24866. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccmp.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
icccmp.2	⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
icccmp.3	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
icccmp.4	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
icccmp.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
icccmp.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
icccmp.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
icccmp.8	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
icccmp.9	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
icccmplem3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐷   𝑥,𝑇,𝑧   𝑧,𝐽   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑧)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem icccmplem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		icccmp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
2		icccmp.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)(𝐴[,]𝑥) ⊆ ∪ 𝑧}
3	2	ssrab3 4105	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4		icccmp.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		icccmp.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		iccssre 13489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	3, 7	sstrid 4020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
9		icccmp.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10		icccmp.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝐽 ↾t (𝐴[,]𝐵))
11		icccmp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12		icccmp.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		icccmp.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
14	9, 10, 11, 2, 4, 5, 12, 13, 1	icccmplem1 24863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
15	14	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
16	15	ne0d 4365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17	14	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵)
18		brralrspcev 5226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
19	5, 17, 18	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣)
20	8, 16, 19	suprcld 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21	8, 16, 19, 15	suprubd 12257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
22		suprleub 12261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑣) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
23	8, 16, 19, 5, 22	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝐵))
24	17, 23	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
25		elicc2 13472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
26	4, 5, 25	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)))
27	20, 21, 24, 26	mpbir3and 1342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
28	1, 27	sseldd 4009	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈)
29		eluni2 4935	. . 3 ⊢ (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
30	28, 29	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢)
31	13	sselda 4008	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → 𝑢 ∈ 𝐽)
32	11	rexmet 24832	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
33		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
34	11, 33	tgioo 24837	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘𝐷)
35	9, 34	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
36	35	mopni2 24527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
37	32, 36	mp3an1 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐽 ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐽 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
39	31, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → ∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢))
40	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℝ)
42	12	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
43	13	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
44	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
45		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝑈)
46		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
47		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)
48		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ sup(𝑆, ℝ, < ) = sup(𝑆, ℝ, < )
49		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵) = if((sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)) ≤ 𝐵, (sup(𝑆, ℝ, < ) + (𝑤 / 2)), 𝐵)
50	9, 10, 11, 2, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	icccmplem2 24864	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
51	50	rexlimdvaa 3162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ (sup(𝑆, ℝ, < )(ball‘𝐷)𝑤) ⊆ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
52	39, 51	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
53	52	rexlimdva 3161	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑢 ∈ 𝑈 sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑢 → 𝐵 ∈ 𝑆))
54	30, 53	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  supcsup 9509  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  [,]cicc 13410  abscabs 15283   ↾_t crest 17480  topGenctg 17497  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374  MetOpencmopn 21377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  icccmp  24866