Theorem seppcld 48913

Description: If two sets are precisely separated by a continuous function, then they are closed. An alternate proof involves II ∈ Fre. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
seppsepf.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))

Assertion

Ref	Expression
seppcld	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem seppcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seppsepf.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 = (◡𝑓 “ {0}))
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
4		0xr 11200	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		iccid 13330	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) = {0}
7		0le0 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
8		0le1 11680	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
9		icccldii 48902	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (0[,]0) ∈ (Clsd‘II))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) ∈ (Clsd‘II)
11	6, 10	eqeltrri 2825	. . . . . 6 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘II)
12		cnclima 23190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {0} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
13	3, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
14	2, 13	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
15		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))
16		1xr 11212	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17		iccid 13330	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1[,]1) = {1})
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) = {1}
19		1le1 11785	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
20		icccldii 48902	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 1) → (1[,]1) ∈ (Clsd‘II))
21	8, 19, 20	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) ∈ (Clsd‘II)
22	18, 21	eqeltrri 2825	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ (Clsd‘II)
23		cnclima 23190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {1} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
24	3, 22, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
25	15, 24	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	14, 25	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	26	rexlimiva 3126	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {csn 4585   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  0cc0 11047  1c1 11048  ℝ^*cxr 11186   ≤ cle 11188  [,]cicc 13288  Clsdccld 22938   Cn ccn 23146  IIcii 24803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8649  df-map 8779  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fi 9339  df-sup 9370  df-inf 9371  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12887  df-rp 12931  df-xneg 13051  df-xadd 13052  df-xmul 13053  df-ioo 13289  df-ioc 13290  df-ico 13291  df-icc 13292  df-seq 13946  df-exp 14006  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-rest 17363  df-topgen 17384  df-ordt 17442  df-ps 18509  df-tsr 18510  df-psmet 21290  df-xmet 21291  df-met 21292  df-bl 21293  df-mopn 21294  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22868  df-cld 22941  df-cn 23149  df-ii 24805

This theorem is referenced by: (None)