Theorem seppcld 48783

Description: If two sets are precisely separated by a continuous function, then they are closed. An alternate proof involves II ∈ Fre. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
seppsepf.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))

Assertion

Ref	Expression
seppcld	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem seppcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seppsepf.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 = (◡𝑓 “ {0}))
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
4		0xr 11274	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		iccid 13398	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) = {0}
7		0le0 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
8		0le1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
9		icccldii 48772	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (0[,]0) ∈ (Clsd‘II))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) ∈ (Clsd‘II)
11	6, 10	eqeltrri 2830	. . . . . 6 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘II)
12		cnclima 23191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {0} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
13	3, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
14	2, 13	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
15		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))
16		1xr 11286	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17		iccid 13398	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1[,]1) = {1})
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) = {1}
19		1le1 11857	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
20		icccldii 48772	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 1) → (1[,]1) ∈ (Clsd‘II))
21	8, 19, 20	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) ∈ (Clsd‘II)
22	18, 21	eqeltrri 2830	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ (Clsd‘II)
23		cnclima 23191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {1} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
24	3, 22, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
25	15, 24	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	14, 25	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	26	rexlimiva 3131	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {csn 4599   class class class wbr 5116  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  0cc0 11121  1c1 11122  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262  [,]cicc 13356  Clsdccld 22939   Cn ccn 23147  IIcii 24804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-ioo 13357  df-ioc 13358  df-ico 13359  df-icc 13360  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-rest 17421  df-topgen 17442  df-ordt 17500  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-top 22817  df-topon 22834  df-bases 22869  df-cld 22942  df-cn 23150  df-ii 24806

This theorem is referenced by: (None)