Theorem seppcld 49044

Description: If two sets are precisely separated by a continuous function, then they are closed. An alternate proof involves II ∈ Fre. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
seppsepf.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))

Assertion

Ref	Expression
seppcld	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem seppcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seppsepf.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 = (◡𝑓 “ {0}))
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
4		0xr 11169	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		iccid 13300	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) = {0}
7		0le0 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
8		0le1 11650	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
9		icccldii 49033	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (0[,]0) ∈ (Clsd‘II))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) ∈ (Clsd‘II)
11	6, 10	eqeltrri 2830	. . . . . 6 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘II)
12		cnclima 23193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {0} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
13	3, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
14	2, 13	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
15		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))
16		1xr 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17		iccid 13300	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1[,]1) = {1})
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) = {1}
19		1le1 11755	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
20		icccldii 49033	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 1) → (1[,]1) ∈ (Clsd‘II))
21	8, 19, 20	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) ∈ (Clsd‘II)
22	18, 21	eqeltrri 2830	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ (Clsd‘II)
23		cnclima 23193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {1} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
24	3, 22, 23	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
25	15, 24	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	14, 25	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	26	rexlimiva 3127	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  {csn 4577   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11016  1c1 11017  ℝ^*cxr 11155   ≤ cle 11157  [,]cicc 13258  Clsdccld 22941   Cn ccn 23149  IIcii 24805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-ioo 13259  df-ioc 13260  df-ico 13261  df-icc 13262  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-rest 17336  df-topgen 17357  df-ordt 17415  df-ps 18482  df-tsr 18483  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-top 22819  df-topon 22836  df-bases 22871  df-cld 22944  df-cn 23152  df-ii 24807

This theorem is referenced by: (None)