Theorem seppcld 49489

Description: If two sets are precisely separated by a continuous function, then they are closed. An alternate proof involves II ∈ Fre. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
seppsepf.1	⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))

Assertion

Ref	Expression
seppcld	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem seppcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seppsepf.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})))
2		simprl 778	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 = (◡𝑓 “ {0}))
3		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn II))
4		0xr 11215	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		iccid 13380	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0[,]0) = {0})
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) = {0}
7		0le0 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
8		0le1 11696	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
9		icccldii 49478	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1) → (0[,]0) ∈ (Clsd‘II))
10	7, 8, 9	mp2an 700	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]0) ∈ (Clsd‘II)
11	6, 10	eqeltrri 2849	. . . . . 6 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘II)
12		cnclima 23297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {0} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
13	3, 11, 12	sylancl 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {0}) ∈ (Clsd‘𝐽))
14	2, 13	eqeltrd 2852	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
15		simprr 780	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))
16		1xr 11227	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
17		iccid 13380	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ* → (1[,]1) = {1})
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) = {1}
19		1le1 11801	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
20		icccldii 49478	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 1) → (1[,]1) ∈ (Clsd‘II))
21	8, 19, 20	mp2an 700	. . . . . . 7 ⊢ (1[,]1) ∈ (Clsd‘II)
22	18, 21	eqeltrri 2849	. . . . . 6 ⊢ {1} ∈ (Clsd‘II)
23		cnclima 23297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ {1} ∈ (Clsd‘II)) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
24	3, 22, 23	sylancl 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (◡𝑓 “ {1}) ∈ (Clsd‘𝐽))
25	15, 24	eqeltrd 2852	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
26	14, 25	jca 518	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐽 Cn II) ∧ (𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1}))) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	26	rexlimiva 3145	. 2 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐽 Cn II)(𝑆 = (◡𝑓 “ {0}) ∧ 𝑇 = (◡𝑓 “ {1})) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	1, 27	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076  {csn 4572   class class class wbr 5090  ^◡ccnv 5635   “ cima 5639  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060  ℝ^*cxr 11201   ≤ cle 11203  [,]cicc 13338  Clsdccld 23045   Cn ccn 23253  IIcii 24906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-ioc 13340  df-ico 13341  df-icc 13342  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-rest 17423  df-topgen 17444  df-ordt 17503  df-ps 18570  df-tsr 18571  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22975  df-cld 23048  df-cn 23256  df-ii 24908

This theorem is referenced by: (None)