Theorem dvheveccl 41748

Description: Properties of a unit vector that we will use later as a convenient reference vector. This vector is called "e" in the remark after Lemma M of [Crawley] p. 121. line 17. See also dvhopN 41752 and dihpN 41972. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvheveccl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvheveccl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvheveccl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvheveccl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvheveccl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvheveccl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dvheveccl.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩
dvheveccl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dvheveccl	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem dvheveccl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvheveccl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩
2		dvheveccl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		dvheveccl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dvheveccl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dvheveccl.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	idltrn 40786	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	4, 5, 8	tendoidcl 41405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
10	2, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11		dvheveccl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		dvheveccl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
13	4, 5, 8, 11, 12	dvhelvbasei 41724	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ 𝑉)
14	2, 7, 10, 13	syl12anc 849	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ 𝑉)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
16	3, 4, 5, 8, 15	tendo1ne0 41464	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
17	2, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
18		dvheveccl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
19	3, 4, 5, 11, 18, 15	dvh0g 41747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩)
20	2, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩)
21		eqtr 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = 0 ∧ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩) → ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩)
22		opthg 5450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ↔ (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ∧ ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))))
23	7, 10, 22	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ↔ (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ∧ ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))))
24		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ∧ ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))) → ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
25	23, 24	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))))
26	21, 25	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = 0 ∧ 0 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩) → ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))))
27	20, 26	mpan2d 706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ = 0 → ( I ↾ 𝑇) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))))
28	27	necon3d 2981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) → ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ≠ 0 ))
29	17, 28	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ≠ 0 )
30		eldifsn 4749	. . 3 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ 𝑉 ∧ ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ≠ 0 ))
31	14, 29, 30	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
32	1, 31	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5186   I cid 5546   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  HLchlt 39986  LHypclh 40620  LTrncltrn 40737  TEndoctendo 41388  DVecHcdvh 41714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-0g 17484  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lvec 21193  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795  df-tendo 41391  df-edring 41393  df-dvech 41715

This theorem is referenced by:  hdmapcl  42466  hdmapval2lem  42467  hdmapval0  42469  hdmapeveclem  42470  hdmapevec  42471  hdmapevec2  42472  hdmapval3lemN  42473  hdmapval3N  42474  hdmap10lem  42475  hdmap11lem1  42477  hdmap11lem2  42478  hdmapinvlem1  42554  hdmapinvlem2  42555  hdmapinvlem3  42556  hdmapinvlem4  42557  hdmapglem5  42558  hgmapvvlem3  42561  hdmapglem7a  42563  hdmapglem7b  42564  hdmapglem7  42565