MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iirev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iirev 24244
Description: Reverse the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iirev (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iirev
StepHypRef Expression
1 1re 11114 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2 resubcl 11424 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 689 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
5 simp3 1139 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ≤ 1)
6 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ∈ ℝ)
7 subge0 11627 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
81, 6, 7sylancr 588 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
95, 8mpbird 257 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝑋))
10 simp2 1138 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ 𝑋)
11 subge02 11630 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
121, 6, 11sylancr 588 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
1310, 12mpbid 231 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ≤ 1)
144, 9, 133jca 1129 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
15 elicc01 13338 . 2 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
16 elicc01 13338 . 2 ((1 − 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
1714, 15, 163imtr4i 292 1 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7352  cr 11009  0cc0 11010  1c1 11011  cle 11149  cmin 11344  [,]cicc 13222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-icc 13226
This theorem is referenced by:  iirevcn  24245  icccvx  24265  phtpycom  24303  pcorev2  24343  pi1xfrcnv  24372  dvlipcn  25310  efcvx  25760  logccv  25970  leibpi  26244  cvxcl  26286  resconn  33644
  Copyright terms: Public domain W3C validator