Theorem iirev 25259

Description: Reverse the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iirev	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iirev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11315	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11629	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
5		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ≤ 1)
6		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ∈ ℝ)
7		subge0 11836	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
8	1, 6, 7	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
9	5, 8	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝑋))
10		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ 𝑋)
11		subge02 11839	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
12	1, 6, 11	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
13	10, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ≤ 1)
14	4, 9, 13	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) → ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
15		elicc01 13604	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
16		elicc01 13604	. 2 ⊢ ((1 − 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
17	14, 15, 16	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   ≤ cle 11351   − cmin 11548  [,]cicc 13486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-icc 13490

This theorem is used by:  iirevcn  25260  icccvx  25280  phtpycom  25318  pcorev2  25358  pi1xfrcnv  25387  dvlipcn  26323  efcvx  26785  logccv  27000  leibpi  27279  cvxcl  27321  resconn  36129