MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iirev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iirev 24445
Description: Reverse the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iirev (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iirev
StepHypRef Expression
1 1re 11214 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2 resubcl 11524 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 689 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
5 simp3 1139 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ≤ 1)
6 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ∈ ℝ)
7 subge0 11727 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
81, 6, 7sylancr 588 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
95, 8mpbird 257 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝑋))
10 simp2 1138 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ 𝑋)
11 subge02 11730 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
121, 6, 11sylancr 588 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
1310, 12mpbid 231 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ≤ 1)
144, 9, 133jca 1129 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
15 elicc01 13443 . 2 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
16 elicc01 13443 . 2 ((1 − 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
1714, 15, 163imtr4i 292 1 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  cle 11249  cmin 11444  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  iirevcn  24446  icccvx  24466  phtpycom  24504  pcorev2  24544  pi1xfrcnv  24573  dvlipcn  25511  efcvx  25961  logccv  26171  leibpi  26447  cvxcl  26489  resconn  34237
  Copyright terms: Public domain W3C validator