MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iirev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iirev 24772
Description: Reverse the unit interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iirev (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iirev
StepHypRef Expression
1 1re 11211 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2 resubcl 11521 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 687 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ∈ ℝ)
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ≤ 1)
6 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 𝑋 ∈ ℝ)
7 subge0 11724 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
81, 6, 7sylancr 586 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ (1 − 𝑋) ↔ 𝑋 ≤ 1))
95, 8mpbird 257 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ (1 − 𝑋))
10 simp2 1134 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → 0 ≤ 𝑋)
11 subge02 11727 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
121, 6, 11sylancr 586 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (1 − 𝑋) ≤ 1))
1310, 12mpbid 231 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → (1 − 𝑋) ≤ 1)
144, 9, 133jca 1125 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) → ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
15 elicc01 13440 . 2 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
16 elicc01 13440 . 2 ((1 − 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − 𝑋) ∧ (1 − 𝑋) ≤ 1))
1714, 15, 163imtr4i 292 1 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑋) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  cle 11246  cmin 11441  [,]cicc 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-icc 13328
This theorem is referenced by:  iirevcn  24773  icccvx  24797  phtpycom  24836  pcorev2  24877  pi1xfrcnv  24906  dvlipcn  25849  efcvx  26303  logccv  26513  leibpi  26790  cvxcl  26833  resconn  34726
  Copyright terms: Public domain W3C validator