Theorem elicc01 13503

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11261	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11259	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13450	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   ≤ cle 11294  [,]cicc 13387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391

This theorem is referenced by:  elunitrn  13504  0elunit  13506  1elunit  13507  divelunit  13531  lincmb01cmp  13532  iccf1o  13533  rpnnen2lem12  16258  blcvx  24834  iirev  24970  iihalf2  24975  elii2  24979  iimulcl  24980  iccpnfhmeo  24990  xrhmeo  24991  lebnumii  25012  htpycc  25026  pcocn  25064  pcohtpylem  25066  pcopt  25069  pcopt2  25070  pcoass  25071  pcorevlem  25073  vitalilem2  25658  abelth2  26501  chordthmlem4  26893  leibpi  27000  jensenlem2  27046  lgamgulmlem2  27088  ttgcontlem1  28914  brbtwn2  28935  ax5seglem1  28958  ax5seglem2  28959  ax5seglem3  28961  ax5seglem5  28963  ax5seglem6  28964  ax5seglem9  28967  ax5seg  28968  axbtwnid  28969  axpaschlem  28970  axpasch  28971  axcontlem2  28995  axcontlem4  28997  axcontlem7  29000  stge0  32253  stle1  32254  strlem3a  32281  elunitge0  33860  unitdivcld  33862  xrge0iifiso  33896  xrge0iifhom  33898  resconn  35231  snmlff  35314  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  i0oii  48716  io1ii  48717