Theorem elicc01 13358

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11106	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11104	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13304	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   ≤ cle 11139  [,]cicc 13240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-icc 13244

This theorem is referenced by:  elunitrn  13359  0elunit  13361  1elunit  13362  divelunit  13386  lincmb01cmp  13387  iccf1o  13388  rpnnen2lem12  16126  blcvx  24706  iirev  24843  iihalf2  24848  elii2  24852  iimulcl  24853  iccpnfhmeo  24863  xrhmeo  24864  lebnumii  24885  htpycc  24899  pcocn  24937  pcohtpylem  24939  pcopt  24942  pcopt2  24943  pcoass  24944  pcorevlem  24946  vitalilem2  25530  abelth2  26372  chordthmlem4  26765  leibpi  26872  jensenlem2  26918  lgamgulmlem2  26960  ttgcontlem1  28856  brbtwn2  28876  ax5seglem1  28899  ax5seglem2  28900  ax5seglem3  28902  ax5seglem5  28904  ax5seglem6  28905  ax5seglem9  28908  ax5seg  28909  axbtwnid  28910  axpaschlem  28911  axpasch  28912  axcontlem2  28936  axcontlem4  28938  axcontlem7  28941  stge0  32194  stle1  32195  strlem3a  32222  elunitge0  33902  unitdivcld  33904  xrge0iifiso  33938  xrge0iifhom  33940  resconn  35258  snmlff  35341  poimirlem29  37668  poimirlem30  37669  poimirlem31  37670  poimirlem32  37671  i0oii  48930  io1ii  48931