Theorem elicc01 13442

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11215	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11213	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13389	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ≤ cle 11248  [,]cicc 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-icc 13330

This theorem is referenced by:  elunitrn  13443  0elunit  13445  1elunit  13446  divelunit  13470  lincmb01cmp  13471  iccf1o  13472  rpnnen2lem12  16167  blcvx  24313  iirev  24444  iihalf2  24448  elii2  24451  iimulcl  24452  iccpnfhmeo  24460  xrhmeo  24461  lebnumii  24481  htpycc  24495  pcocn  24532  pcohtpylem  24534  pcopt  24537  pcopt2  24538  pcoass  24539  pcorevlem  24541  vitalilem2  25125  abelth2  25953  chordthmlem4  26337  leibpi  26444  jensenlem2  26489  lgamgulmlem2  26531  ttgcontlem1  28139  brbtwn2  28160  ax5seglem1  28183  ax5seglem2  28184  ax5seglem3  28186  ax5seglem5  28188  ax5seglem6  28189  ax5seglem9  28192  ax5seg  28193  axbtwnid  28194  axpaschlem  28195  axpasch  28196  axcontlem2  28220  axcontlem4  28222  axcontlem7  28225  stge0  31472  stle1  31473  strlem3a  31500  elunitge0  32874  unitdivcld  32876  xrge0iifiso  32910  xrge0iifhom  32912  resconn  34232  snmlff  34315  poimirlem29  36512  poimirlem30  36513  poimirlem31  36514  poimirlem32  36515  i0oii  47542  io1ii  47543