Theorem elicc01 13394

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11146	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13340	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11179  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  elunitrn  13395  0elunit  13397  1elunit  13398  divelunit  13422  lincmb01cmp  13423  iccf1o  13424  rpnnen2lem12  16162  blcvx  24754  iirev  24891  iihalf2  24896  elii2  24900  iimulcl  24901  iccpnfhmeo  24911  xrhmeo  24912  lebnumii  24933  htpycc  24947  pcocn  24985  pcohtpylem  24987  pcopt  24990  pcopt2  24991  pcoass  24992  pcorevlem  24994  vitalilem2  25578  abelth2  26420  chordthmlem4  26813  leibpi  26920  jensenlem2  26966  lgamgulmlem2  27008  ttgcontlem1  28969  brbtwn2  28990  ax5seglem1  29013  ax5seglem2  29014  ax5seglem3  29016  ax5seglem5  29018  ax5seglem6  29019  ax5seglem9  29022  ax5seg  29023  axbtwnid  29024  axpaschlem  29025  axpasch  29026  axcontlem2  29050  axcontlem4  29052  axcontlem7  29055  stge0  32312  stle1  32313  strlem3a  32340  elunitge0  34077  unitdivcld  34079  xrge0iifiso  34113  xrge0iifhom  34115  resconn  35462  snmlff  35545  poimirlem29  37900  poimirlem30  37901  poimirlem31  37902  poimirlem32  37903  i0oii  49279  io1ii  49280