Theorem elicc01 13470

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11183	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11181	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13416	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   ≤ cle 11217  [,]cicc 13352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-icc 13356

This theorem is referenced by:  elunitrn  13471  0elunit  13473  1elunit  13474  divelunit  13498  lincmb01cmp  13499  iccf1o  13500  rpnnen2lem12  16257  blcvx  24858  iirev  24991  iihalf2  24995  elii2  24998  iimulcl  24999  iccpnfhmeo  25007  xrhmeo  25008  lebnumii  25028  htpycc  25042  pcocn  25079  pcohtpylem  25081  pcopt  25084  pcopt2  25085  pcoass  25086  pcorevlem  25088  vitalilem2  25671  abelth2  26505  chordthmlem4  26900  leibpi  27007  jensenlem2  27052  lgamgulmlem2  27094  ttgcontlem1  29085  brbtwn2  29106  ax5seglem1  29129  ax5seglem2  29130  ax5seglem3  29132  ax5seglem5  29134  ax5seglem6  29135  ax5seglem9  29138  ax5seg  29139  axbtwnid  29140  axpaschlem  29141  axpasch  29142  axcontlem2  29166  axcontlem4  29168  axcontlem7  29171  stge0  32427  stle1  32428  strlem3a  32455  elunitge0  34196  unitdivcld  34198  xrge0iifiso  34232  xrge0iifhom  34234  resconn  35596  snmlff  35679  poimirlem29  38148  poimirlem30  38149  poimirlem31  38150  poimirlem32  38151  i0oii  49541  io1ii  49542