Theorem elicc01 13403

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11152	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11150	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13349	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   ≤ cle 11185  [,]cicc 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-icc 13289

This theorem is referenced by:  elunitrn  13404  0elunit  13406  1elunit  13407  divelunit  13431  lincmb01cmp  13432  iccf1o  13433  rpnnen2lem12  16169  blcvx  24662  iirev  24799  iihalf2  24804  elii2  24808  iimulcl  24809  iccpnfhmeo  24819  xrhmeo  24820  lebnumii  24841  htpycc  24855  pcocn  24893  pcohtpylem  24895  pcopt  24898  pcopt2  24899  pcoass  24900  pcorevlem  24902  vitalilem2  25486  abelth2  26328  chordthmlem4  26721  leibpi  26828  jensenlem2  26874  lgamgulmlem2  26916  ttgcontlem1  28788  brbtwn2  28808  ax5seglem1  28831  ax5seglem2  28832  ax5seglem3  28834  ax5seglem5  28836  ax5seglem6  28837  ax5seglem9  28840  ax5seg  28841  axbtwnid  28842  axpaschlem  28843  axpasch  28844  axcontlem2  28868  axcontlem4  28870  axcontlem7  28873  stge0  32126  stle1  32127  strlem3a  32154  elunitge0  33862  unitdivcld  33864  xrge0iifiso  33898  xrge0iifhom  33900  resconn  35206  snmlff  35289  poimirlem29  37616  poimirlem30  37617  poimirlem31  37618  poimirlem32  37619  i0oii  48881  io1ii  48882