Theorem elicc01 13519

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11234	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11232	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13465	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ≤ cle 11268  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-icc 13405

This theorem is used by:  elunitrn  13520  0elunit  13522  1elunit  13523  divelunit  13547  lincmb01cmp  13548  iccf1o  13549  rpnnen2lem12  16313  blcvx  25024  iirev  25157  iihalf2  25161  elii2  25164  iimulcl  25165  iccpnfhmeo  25173  xrhmeo  25174  lebnumii  25194  htpycc  25208  pcocn  25245  pcohtpylem  25247  pcopt  25250  pcopt2  25251  pcoass  25252  pcorevlem  25254  vitalilem2  25837  abelth2  26678  chordthmlem4  27072  leibpi  27179  jensenlem2  27224  lgamgulmlem2  27266  ttgcontlem1  29341  brbtwn2  29362  ax5seglem1  29385  ax5seglem2  29386  ax5seglem3  29388  ax5seglem5  29390  ax5seglem6  29391  ax5seglem9  29394  ax5seg  29395  axbtwnid  29396  axpaschlem  29397  axpasch  29398  axcontlem2  29422  axcontlem4  29424  axcontlem7  29427  stge0  32705  stle1  32706  strlem3a  32733  elunitge0  34409  unitdivcld  34411  xrge0iifiso  34445  xrge0iifhom  34447  resconn  35825  snmlff  35908  poimirlem29  38398  poimirlem30  38399  poimirlem31  38400  poimirlem32  38401  i0oii  49846  io1ii  49847