Theorem elicc01 13637

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11349	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11347	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13583	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-icc 13523

This theorem is used by:  elunitrn  13638  0elunit  13640  1elunit  13641  divelunit  13665  lincmb01cmp  13666  iccf1o  13667  rpnnen2lem12  16437  blcvx  25172  iirev  25305  iihalf2  25309  elii2  25312  iimulcl  25313  iccpnfhmeo  25321  xrhmeo  25322  lebnumii  25342  htpycc  25356  pcocn  25393  pcohtpylem  25395  pcopt  25398  pcopt2  25399  pcoass  25400  pcorevlem  25402  vitalilem2  25985  abelth2  26826  chordthmlem4  27220  leibpi  27327  jensenlem2  27372  lgamgulmlem2  27414  ttgcontlem1  29519  brbtwn2  29540  ax5seglem1  29563  ax5seglem2  29564  ax5seglem3  29566  ax5seglem5  29568  ax5seglem6  29569  ax5seglem9  29572  ax5seg  29573  axbtwnid  29574  axpaschlem  29575  axpasch  29576  axcontlem2  29600  axcontlem4  29602  axcontlem7  29605  stge0  32883  stle1  32884  strlem3a  32911  elunitge0  34642  unitdivcld  34644  xrge0iifiso  34678  xrge0iifhom  34680  resconn  36219  snmlff  36302  poimirlem29  38835  poimirlem30  38836  poimirlem31  38837  poimirlem32  38838  i0oii  50365  io1ii  50366