Theorem elicc01 13447

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11220	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11218	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13394	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ≤ cle 11253  [,]cicc 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-icc 13335

This theorem is referenced by:  elunitrn  13448  0elunit  13450  1elunit  13451  divelunit  13475  lincmb01cmp  13476  iccf1o  13477  rpnnen2lem12  16172  blcvx  24534  iirev  24670  iihalf2  24675  elii2  24679  iimulcl  24680  iccpnfhmeo  24690  xrhmeo  24691  lebnumii  24712  htpycc  24726  pcocn  24764  pcohtpylem  24766  pcopt  24769  pcopt2  24770  pcoass  24771  pcorevlem  24773  vitalilem2  25358  abelth2  26190  chordthmlem4  26576  leibpi  26683  jensenlem2  26728  lgamgulmlem2  26770  ttgcontlem1  28409  brbtwn2  28430  ax5seglem1  28453  ax5seglem2  28454  ax5seglem3  28456  ax5seglem5  28458  ax5seglem6  28459  ax5seglem9  28462  ax5seg  28463  axbtwnid  28464  axpaschlem  28465  axpasch  28466  axcontlem2  28490  axcontlem4  28492  axcontlem7  28495  stge0  31744  stle1  31745  strlem3a  31772  elunitge0  33177  unitdivcld  33179  xrge0iifiso  33213  xrge0iifhom  33215  resconn  34535  snmlff  34618  poimirlem29  36820  poimirlem30  36821  poimirlem31  36822  poimirlem32  36823  i0oii  47639  io1ii  47640