Theorem elicc01 13434

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11183	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11181	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13380	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   ≤ cle 11216  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  elunitrn  13435  0elunit  13437  1elunit  13438  divelunit  13462  lincmb01cmp  13463  iccf1o  13464  rpnnen2lem12  16200  blcvx  24693  iirev  24830  iihalf2  24835  elii2  24839  iimulcl  24840  iccpnfhmeo  24850  xrhmeo  24851  lebnumii  24872  htpycc  24886  pcocn  24924  pcohtpylem  24926  pcopt  24929  pcopt2  24930  pcoass  24931  pcorevlem  24933  vitalilem2  25517  abelth2  26359  chordthmlem4  26752  leibpi  26859  jensenlem2  26905  lgamgulmlem2  26947  ttgcontlem1  28819  brbtwn2  28839  ax5seglem1  28862  ax5seglem2  28863  ax5seglem3  28865  ax5seglem5  28867  ax5seglem6  28868  ax5seglem9  28871  ax5seg  28872  axbtwnid  28873  axpaschlem  28874  axpasch  28875  axcontlem2  28899  axcontlem4  28901  axcontlem7  28904  stge0  32160  stle1  32161  strlem3a  32188  elunitge0  33896  unitdivcld  33898  xrge0iifiso  33932  xrge0iifhom  33934  resconn  35240  snmlff  35323  poimirlem29  37650  poimirlem30  37651  poimirlem31  37652  poimirlem32  37653  i0oii  48912  io1ii  48913