Theorem elicc01 13410

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11137	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11135	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13356	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  elunitrn  13411  0elunit  13413  1elunit  13414  divelunit  13438  lincmb01cmp  13439  iccf1o  13440  rpnnen2lem12  16183  blcvx  24781  iirev  24914  iihalf2  24918  elii2  24921  iimulcl  24922  iccpnfhmeo  24930  xrhmeo  24931  lebnumii  24951  htpycc  24965  pcocn  25002  pcohtpylem  25004  pcopt  25007  pcopt2  25008  pcoass  25009  pcorevlem  25011  vitalilem2  25594  abelth2  26425  chordthmlem4  26817  leibpi  26924  jensenlem2  26969  lgamgulmlem2  27011  ttgcontlem1  28971  brbtwn2  28992  ax5seglem1  29015  ax5seglem2  29016  ax5seglem3  29018  ax5seglem5  29020  ax5seglem6  29021  ax5seglem9  29024  ax5seg  29025  axbtwnid  29026  axpaschlem  29027  axpasch  29028  axcontlem2  29052  axcontlem4  29054  axcontlem7  29057  stge0  32313  stle1  32314  strlem3a  32341  elunitge0  34083  unitdivcld  34085  xrge0iifiso  34119  xrge0iifhom  34121  resconn  35474  snmlff  35557  poimirlem29  38016  poimirlem30  38017  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  i0oii  49410  io1ii  49411