Theorem elicc01 13493

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11210	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11208	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13439	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   ≤ cle 11244  [,]cicc 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-icc 13379

This theorem is referenced by:  elunitrn  13494  0elunit  13496  1elunit  13497  divelunit  13521  lincmb01cmp  13522  iccf1o  13523  rpnnen2lem12  16281  blcvx  24924  iirev  25057  iihalf2  25061  elii2  25064  iimulcl  25065  iccpnfhmeo  25073  xrhmeo  25074  lebnumii  25094  htpycc  25108  pcocn  25145  pcohtpylem  25147  pcopt  25150  pcopt2  25151  pcoass  25152  pcorevlem  25154  vitalilem2  25737  abelth2  26571  chordthmlem4  26966  leibpi  27073  jensenlem2  27118  lgamgulmlem2  27160  ttgcontlem1  29175  brbtwn2  29196  ax5seglem1  29219  ax5seglem2  29220  ax5seglem3  29222  ax5seglem5  29224  ax5seglem6  29225  ax5seglem9  29228  ax5seg  29229  axbtwnid  29230  axpaschlem  29231  axpasch  29232  axcontlem2  29256  axcontlem4  29258  axcontlem7  29261  stge0  32517  stle1  32518  strlem3a  32545  elunitge0  34234  unitdivcld  34236  xrge0iifiso  34270  xrge0iifhom  34272  resconn  35637  snmlff  35720  poimirlem29  38188  poimirlem30  38189  poimirlem31  38190  poimirlem32  38191  i0oii  49583  io1ii  49584