Theorem elicc01 13380

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11132	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11130	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13326	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   ≤ cle 11165  [,]cicc 13262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-icc 13266

This theorem is referenced by:  elunitrn  13381  0elunit  13383  1elunit  13384  divelunit  13408  lincmb01cmp  13409  iccf1o  13410  rpnnen2lem12  16148  blcvx  24740  iirev  24877  iihalf2  24882  elii2  24886  iimulcl  24887  iccpnfhmeo  24897  xrhmeo  24898  lebnumii  24919  htpycc  24933  pcocn  24971  pcohtpylem  24973  pcopt  24976  pcopt2  24977  pcoass  24978  pcorevlem  24980  vitalilem2  25564  abelth2  26406  chordthmlem4  26799  leibpi  26906  jensenlem2  26952  lgamgulmlem2  26994  ttgcontlem1  28906  brbtwn2  28927  ax5seglem1  28950  ax5seglem2  28951  ax5seglem3  28953  ax5seglem5  28955  ax5seglem6  28956  ax5seglem9  28959  ax5seg  28960  axbtwnid  28961  axpaschlem  28962  axpasch  28963  axcontlem2  28987  axcontlem4  28989  axcontlem7  28992  stge0  32248  stle1  32249  strlem3a  32276  elunitge0  34005  unitdivcld  34007  xrge0iifiso  34041  xrge0iifhom  34043  resconn  35389  snmlff  35472  poimirlem29  37789  poimirlem30  37790  poimirlem31  37791  poimirlem32  37792  i0oii  49107  io1ii  49108