Theorem elicc01 13382

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11134	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11132	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13328	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  elunitrn  13383  0elunit  13385  1elunit  13386  divelunit  13410  lincmb01cmp  13411  iccf1o  13412  rpnnen2lem12  16150  blcvx  24742  iirev  24879  iihalf2  24884  elii2  24888  iimulcl  24889  iccpnfhmeo  24899  xrhmeo  24900  lebnumii  24921  htpycc  24935  pcocn  24973  pcohtpylem  24975  pcopt  24978  pcopt2  24979  pcoass  24980  pcorevlem  24982  vitalilem2  25566  abelth2  26408  chordthmlem4  26801  leibpi  26908  jensenlem2  26954  lgamgulmlem2  26996  ttgcontlem1  28957  brbtwn2  28978  ax5seglem1  29001  ax5seglem2  29002  ax5seglem3  29004  ax5seglem5  29006  ax5seglem6  29007  ax5seglem9  29010  ax5seg  29011  axbtwnid  29012  axpaschlem  29013  axpasch  29014  axcontlem2  29038  axcontlem4  29040  axcontlem7  29043  stge0  32299  stle1  32300  strlem3a  32327  elunitge0  34056  unitdivcld  34058  xrge0iifiso  34092  xrge0iifhom  34094  resconn  35440  snmlff  35523  poimirlem29  37850  poimirlem30  37851  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  i0oii  49165  io1ii  49166