Theorem elicc01 13497

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11266	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11264	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13444	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   ≤ cle 11299  [,]cicc 13381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-icc 13385

This theorem is referenced by:  elunitrn  13498  0elunit  13500  1elunit  13501  divelunit  13525  lincmb01cmp  13526  iccf1o  13527  rpnnen2lem12  16227  blcvx  24805  iirev  24941  iihalf2  24946  elii2  24950  iimulcl  24951  iccpnfhmeo  24961  xrhmeo  24962  lebnumii  24983  htpycc  24997  pcocn  25035  pcohtpylem  25037  pcopt  25040  pcopt2  25041  pcoass  25042  pcorevlem  25044  vitalilem2  25629  abelth2  26472  chordthmlem4  26863  leibpi  26970  jensenlem2  27016  lgamgulmlem2  27058  ttgcontlem1  28818  brbtwn2  28839  ax5seglem1  28862  ax5seglem2  28863  ax5seglem3  28865  ax5seglem5  28867  ax5seglem6  28868  ax5seglem9  28871  ax5seg  28872  axbtwnid  28873  axpaschlem  28874  axpasch  28875  axcontlem2  28899  axcontlem4  28901  axcontlem7  28904  stge0  32157  stle1  32158  strlem3a  32185  elunitge0  33714  unitdivcld  33716  xrge0iifiso  33750  xrge0iifhom  33752  resconn  35074  snmlff  35157  poimirlem29  37350  poimirlem30  37351  poimirlem31  37352  poimirlem32  37353  i0oii  48253  io1ii  48254