Theorem elicc01 13483

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11237	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11235	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13429	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   ≤ cle 11270  [,]cicc 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-icc 13369

This theorem is referenced by:  elunitrn  13484  0elunit  13486  1elunit  13487  divelunit  13511  lincmb01cmp  13512  iccf1o  13513  rpnnen2lem12  16243  blcvx  24737  iirev  24874  iihalf2  24879  elii2  24883  iimulcl  24884  iccpnfhmeo  24894  xrhmeo  24895  lebnumii  24916  htpycc  24930  pcocn  24968  pcohtpylem  24970  pcopt  24973  pcopt2  24974  pcoass  24975  pcorevlem  24977  vitalilem2  25562  abelth2  26404  chordthmlem4  26797  leibpi  26904  jensenlem2  26950  lgamgulmlem2  26992  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28884  ax5seglem1  28907  ax5seglem2  28908  ax5seglem3  28910  ax5seglem5  28912  ax5seglem6  28913  ax5seglem9  28916  ax5seg  28917  axbtwnid  28918  axpaschlem  28919  axpasch  28920  axcontlem2  28944  axcontlem4  28946  axcontlem7  28949  stge0  32205  stle1  32206  strlem3a  32233  elunitge0  33930  unitdivcld  33932  xrge0iifiso  33966  xrge0iifhom  33968  resconn  35268  snmlff  35351  poimirlem29  37673  poimirlem30  37674  poimirlem31  37675  poimirlem32  37676  i0oii  48894  io1ii  48895