Theorem elicc01 12844

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10632	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10630	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 12791	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   ≤ cle 10665  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  elunitrn  12845  0elunit  12847  1elunit  12848  divelunit  12872  lincmb01cmp  12873  iccf1o  12874  rpnnen2lem12  15570  blcvx  23403  iirev  23534  iihalf2  23538  elii2  23541  iimulcl  23542  iccpnfhmeo  23550  xrhmeo  23551  lebnumii  23571  htpycc  23585  pcocn  23622  pcohtpylem  23624  pcopt  23627  pcopt2  23628  pcoass  23629  pcorevlem  23631  vitalilem2  24213  abelth2  25037  chordthmlem4  25421  leibpi  25528  jensenlem2  25573  lgamgulmlem2  25615  ttgcontlem1  26679  brbtwn2  26699  ax5seglem1  26722  ax5seglem2  26723  ax5seglem3  26725  ax5seglem5  26727  ax5seglem6  26728  ax5seglem9  26731  ax5seg  26732  axbtwnid  26733  axpaschlem  26734  axpasch  26735  axcontlem2  26759  axcontlem4  26761  axcontlem7  26764  stge0  30007  stle1  30008  strlem3a  30035  elunitge0  31252  unitdivcld  31254  xrge0iifiso  31288  xrge0iifhom  31290  resconn  32606  snmlff  32689  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089