Theorem elicc01 13488

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11205	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11203	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13434	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   ≤ cle 11239  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  elunitrn  13489  0elunit  13491  1elunit  13492  divelunit  13516  lincmb01cmp  13517  iccf1o  13518  rpnnen2lem12  16276  blcvx  24955  iirev  25088  iihalf2  25092  elii2  25095  iimulcl  25096  iccpnfhmeo  25104  xrhmeo  25105  lebnumii  25125  htpycc  25139  pcocn  25176  pcohtpylem  25178  pcopt  25181  pcopt2  25182  pcoass  25183  pcorevlem  25185  vitalilem2  25768  abelth2  26605  chordthmlem4  27000  leibpi  27107  jensenlem2  27152  lgamgulmlem2  27194  ttgcontlem1  29234  brbtwn2  29255  ax5seglem1  29278  ax5seglem2  29279  ax5seglem3  29281  ax5seglem5  29283  ax5seglem6  29284  ax5seglem9  29287  ax5seg  29288  axbtwnid  29289  axpaschlem  29290  axpasch  29291  axcontlem2  29315  axcontlem4  29317  axcontlem7  29320  stge0  32576  stle1  32577  strlem3a  32604  elunitge0  34289  unitdivcld  34291  xrge0iifiso  34325  xrge0iifhom  34327  resconn  35738  snmlff  35821  poimirlem29  38320  poimirlem30  38321  poimirlem31  38322  poimirlem32  38323  i0oii  49718  io1ii  49719