Theorem elicc01 12497

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10297	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10295	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 12444	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 197   ∧ w3a 1107   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  ℝcr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   ≤ cle 10331  [,]cicc 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-icc 12387

This theorem is referenced by:  0elunit  12498  1elunit  12499  divelunit  12524  lincmb01cmp  12525  iccf1o  12526  rpnnen2lem12  15239  blcvx  22883  iirev  23010  iihalf2  23014  elii2  23017  iimulcl  23018  iccpnfhmeo  23026  xrhmeo  23027  lebnumii  23047  htpycc  23061  pcocn  23098  pcohtpylem  23100  pcopt  23103  pcopt2  23104  pcoass  23105  pcorevlem  23107  vitalilem2  23670  abelth2  24490  chordthmlem4  24856  leibpi  24963  jensenlem2  25008  lgamgulmlem2  25050  ttgcontlem1  26059  brbtwn2  26079  ax5seglem1  26102  ax5seglem2  26103  ax5seglem3  26105  ax5seglem5  26107  ax5seglem6  26108  ax5seglem9  26111  ax5seg  26112  axbtwnid  26113  axpaschlem  26114  axpasch  26115  axcontlem2  26139  axcontlem4  26141  axcontlem7  26144  stge0  29542  stle1  29543  strlem3a  29570  elunitrn  30393  elunitge0  30395  unitdivcld  30397  xrge0iifiso  30431  xrge0iifhom  30433  resconn  31679  snmlff  31762  poimirlem29  33865  poimirlem30  33866  poimirlem31  33867  poimirlem32  33868