Theorem elicc01 13443

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11216	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11214	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13390	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  elunitrn  13444  0elunit  13446  1elunit  13447  divelunit  13471  lincmb01cmp  13472  iccf1o  13473  rpnnen2lem12  16168  blcvx  24314  iirev  24445  iihalf2  24449  elii2  24452  iimulcl  24453  iccpnfhmeo  24461  xrhmeo  24462  lebnumii  24482  htpycc  24496  pcocn  24533  pcohtpylem  24535  pcopt  24538  pcopt2  24539  pcoass  24540  pcorevlem  24542  vitalilem2  25126  abelth2  25954  chordthmlem4  26340  leibpi  26447  jensenlem2  26492  lgamgulmlem2  26534  ttgcontlem1  28142  brbtwn2  28163  ax5seglem1  28186  ax5seglem2  28187  ax5seglem3  28189  ax5seglem5  28191  ax5seglem6  28192  ax5seglem9  28195  ax5seg  28196  axbtwnid  28197  axpaschlem  28198  axpasch  28199  axcontlem2  28223  axcontlem4  28225  axcontlem7  28228  stge0  31477  stle1  31478  strlem3a  31505  elunitge0  32879  unitdivcld  32881  xrge0iifiso  32915  xrge0iifhom  32917  resconn  34237  snmlff  34320  poimirlem29  36517  poimirlem30  36518  poimirlem31  36519  poimirlem32  36520  i0oii  47552  io1ii  47553