Theorem elicc01 13506

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13453	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   ≤ cle 11296  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  elunitrn  13507  0elunit  13509  1elunit  13510  divelunit  13534  lincmb01cmp  13535  iccf1o  13536  rpnnen2lem12  16261  blcvx  24819  iirev  24956  iihalf2  24961  elii2  24965  iimulcl  24966  iccpnfhmeo  24976  xrhmeo  24977  lebnumii  24998  htpycc  25012  pcocn  25050  pcohtpylem  25052  pcopt  25055  pcopt2  25056  pcoass  25057  pcorevlem  25059  vitalilem2  25644  abelth2  26486  chordthmlem4  26878  leibpi  26985  jensenlem2  27031  lgamgulmlem2  27073  ttgcontlem1  28899  brbtwn2  28920  ax5seglem1  28943  ax5seglem2  28944  ax5seglem3  28946  ax5seglem5  28948  ax5seglem6  28949  ax5seglem9  28952  ax5seg  28953  axbtwnid  28954  axpaschlem  28955  axpasch  28956  axcontlem2  28980  axcontlem4  28982  axcontlem7  28985  stge0  32243  stle1  32244  strlem3a  32271  elunitge0  33898  unitdivcld  33900  xrge0iifiso  33934  xrge0iifhom  33936  resconn  35251  snmlff  35334  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  poimirlem31  37658  poimirlem32  37659  i0oii  48817  io1ii  48818