Theorem elicc01 13198

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10977	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10975	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13145	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  elunitrn  13199  0elunit  13201  1elunit  13202  divelunit  13226  lincmb01cmp  13227  iccf1o  13228  rpnnen2lem12  15934  blcvx  23961  iirev  24092  iihalf2  24096  elii2  24099  iimulcl  24100  iccpnfhmeo  24108  xrhmeo  24109  lebnumii  24129  htpycc  24143  pcocn  24180  pcohtpylem  24182  pcopt  24185  pcopt2  24186  pcoass  24187  pcorevlem  24189  vitalilem2  24773  abelth2  25601  chordthmlem4  25985  leibpi  26092  jensenlem2  26137  lgamgulmlem2  26179  ttgcontlem1  27252  brbtwn2  27273  ax5seglem1  27296  ax5seglem2  27297  ax5seglem3  27299  ax5seglem5  27301  ax5seglem6  27302  ax5seglem9  27305  ax5seg  27306  axbtwnid  27307  axpaschlem  27308  axpasch  27309  axcontlem2  27333  axcontlem4  27335  axcontlem7  27338  stge0  30586  stle1  30587  strlem3a  30614  elunitge0  31849  unitdivcld  31851  xrge0iifiso  31885  xrge0iifhom  31887  resconn  33208  snmlff  33291  poimirlem29  35806  poimirlem30  35807  poimirlem31  35808  poimirlem32  35809  i0oii  46213  io1ii  46214