MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc01 12847
Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
elicc01 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01
StepHypRef Expression
1 0re 10635 . 2 0 ∈ ℝ
2 1re 10633 . 2 1 ∈ ℝ
31, 2elicc2i 12795 1 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  w3a 1081  wcel 2107   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530  cle 10668  [,]cicc 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-icc 12738
This theorem is referenced by:  0elunit  12848  1elunit  12849  divelunit  12873  lincmb01cmp  12874  iccf1o  12875  rpnnen2lem12  15570  blcvx  23321  iirev  23448  iihalf2  23452  elii2  23455  iimulcl  23456  iccpnfhmeo  23464  xrhmeo  23465  lebnumii  23485  htpycc  23499  pcocn  23536  pcohtpylem  23538  pcopt  23541  pcopt2  23542  pcoass  23543  pcorevlem  23545  vitalilem2  24125  abelth2  24945  chordthmlem4  25326  leibpi  25434  jensenlem2  25479  lgamgulmlem2  25521  ttgcontlem1  26585  brbtwn2  26605  ax5seglem1  26628  ax5seglem2  26629  ax5seglem3  26631  ax5seglem5  26633  ax5seglem6  26634  ax5seglem9  26637  ax5seg  26638  axbtwnid  26639  axpaschlem  26640  axpasch  26641  axcontlem2  26665  axcontlem4  26667  axcontlem7  26670  stge0  29915  stle1  29916  strlem3a  29943  elunitrn  31026  elunitge0  31028  unitdivcld  31030  xrge0iifiso  31064  xrge0iifhom  31066  resconn  32377  snmlff  32460  poimirlem29  34788  poimirlem30  34789  poimirlem31  34790  poimirlem32  34791
  Copyright terms: Public domain W3C validator