Theorem elicc01 13427

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11176	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11174	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13373	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  elunitrn  13428  0elunit  13430  1elunit  13431  divelunit  13455  lincmb01cmp  13456  iccf1o  13457  rpnnen2lem12  16193  blcvx  24686  iirev  24823  iihalf2  24828  elii2  24832  iimulcl  24833  iccpnfhmeo  24843  xrhmeo  24844  lebnumii  24865  htpycc  24879  pcocn  24917  pcohtpylem  24919  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcoass  24924  pcorevlem  24926  vitalilem2  25510  abelth2  26352  chordthmlem4  26745  leibpi  26852  jensenlem2  26898  lgamgulmlem2  26940  ttgcontlem1  28812  brbtwn2  28832  ax5seglem1  28855  ax5seglem2  28856  ax5seglem3  28858  ax5seglem5  28860  ax5seglem6  28861  ax5seglem9  28864  ax5seg  28865  axbtwnid  28866  axpaschlem  28867  axpasch  28868  axcontlem2  28892  axcontlem4  28894  axcontlem7  28897  stge0  32153  stle1  32154  strlem3a  32181  elunitge0  33889  unitdivcld  33891  xrge0iifiso  33925  xrge0iifhom  33927  resconn  35233  snmlff  35316  poimirlem29  37643  poimirlem30  37644  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  i0oii  48908  io1ii  48909