Theorem elicc01 13597

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11310	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11308	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13543	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   ≤ cle 11344  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-icc 13483

This theorem is used by:  elunitrn  13598  0elunit  13600  1elunit  13601  divelunit  13625  lincmb01cmp  13626  iccf1o  13627  rpnnen2lem12  16393  blcvx  25117  iirev  25250  iihalf2  25254  elii2  25257  iimulcl  25258  iccpnfhmeo  25266  xrhmeo  25267  lebnumii  25287  htpycc  25301  pcocn  25338  pcohtpylem  25340  pcopt  25343  pcopt2  25344  pcoass  25345  pcorevlem  25347  vitalilem2  25930  abelth2  26769  chordthmlem4  27163  leibpi  27270  jensenlem2  27315  lgamgulmlem2  27357  ttgcontlem1  29462  brbtwn2  29483  ax5seglem1  29506  ax5seglem2  29507  ax5seglem3  29509  ax5seglem5  29511  ax5seglem6  29512  ax5seglem9  29515  ax5seg  29516  axbtwnid  29517  axpaschlem  29518  axpasch  29519  axcontlem2  29543  axcontlem4  29545  axcontlem7  29548  stge0  32826  stle1  32827  strlem3a  32854  elunitge0  34531  unitdivcld  34533  xrge0iifiso  34567  xrge0iifhom  34569  resconn  36011  snmlff  36094  poimirlem29  38567  poimirlem30  38568  poimirlem31  38569  poimirlem32  38570  i0oii  50027  io1ii  50028