MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc01 13392
Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
elicc01 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01
StepHypRef Expression
1 0re 11165 . 2 0 ∈ ℝ
2 1re 11163 . 2 1 ∈ ℝ
31, 2elicc2i 13339 1 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  cle 11198  [,]cicc 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-icc 13280
This theorem is referenced by:  elunitrn  13393  0elunit  13395  1elunit  13396  divelunit  13420  lincmb01cmp  13421  iccf1o  13422  rpnnen2lem12  16115  blcvx  24184  iirev  24315  iihalf2  24319  elii2  24322  iimulcl  24323  iccpnfhmeo  24331  xrhmeo  24332  lebnumii  24352  htpycc  24366  pcocn  24403  pcohtpylem  24405  pcopt  24408  pcopt2  24409  pcoass  24410  pcorevlem  24412  vitalilem2  24996  abelth2  25824  chordthmlem4  26208  leibpi  26315  jensenlem2  26360  lgamgulmlem2  26402  ttgcontlem1  27882  brbtwn2  27903  ax5seglem1  27926  ax5seglem2  27927  ax5seglem3  27929  ax5seglem5  27931  ax5seglem6  27932  ax5seglem9  27935  ax5seg  27936  axbtwnid  27937  axpaschlem  27938  axpasch  27939  axcontlem2  27963  axcontlem4  27965  axcontlem7  27968  stge0  31215  stle1  31216  strlem3a  31243  elunitge0  32544  unitdivcld  32546  xrge0iifiso  32580  xrge0iifhom  32582  resconn  33904  snmlff  33987  poimirlem29  36157  poimirlem30  36158  poimirlem31  36159  poimirlem32  36160  i0oii  47042  io1ii  47043
  Copyright terms: Public domain W3C validator