Theorem elicc01 13419

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11146	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13365	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-icc 13305

This theorem is referenced by:  elunitrn  13420  0elunit  13422  1elunit  13423  divelunit  13447  lincmb01cmp  13448  iccf1o  13449  rpnnen2lem12  16192  blcvx  24763  iirev  24896  iihalf2  24900  elii2  24903  iimulcl  24904  iccpnfhmeo  24912  xrhmeo  24913  lebnumii  24933  htpycc  24947  pcocn  24984  pcohtpylem  24986  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcoass  24991  pcorevlem  24993  vitalilem2  25576  abelth2  26407  chordthmlem4  26799  leibpi  26906  jensenlem2  26951  lgamgulmlem2  26993  ttgcontlem1  28953  brbtwn2  28974  ax5seglem1  28997  ax5seglem2  28998  ax5seglem3  29000  ax5seglem5  29002  ax5seglem6  29003  ax5seglem9  29006  ax5seg  29007  axbtwnid  29008  axpaschlem  29009  axpasch  29010  axcontlem2  29034  axcontlem4  29036  axcontlem7  29039  stge0  32295  stle1  32296  strlem3a  32323  elunitge0  34043  unitdivcld  34045  xrge0iifiso  34079  xrge0iifhom  34081  resconn  35428  snmlff  35511  poimirlem29  37970  poimirlem30  37971  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  i0oii  49395  io1ii  49396