Theorem elicc01 13127

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10908	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10906	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13074	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-icc 13015

This theorem is referenced by:  elunitrn  13128  0elunit  13130  1elunit  13131  divelunit  13155  lincmb01cmp  13156  iccf1o  13157  rpnnen2lem12  15862  blcvx  23867  iirev  23998  iihalf2  24002  elii2  24005  iimulcl  24006  iccpnfhmeo  24014  xrhmeo  24015  lebnumii  24035  htpycc  24049  pcocn  24086  pcohtpylem  24088  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcoass  24093  pcorevlem  24095  vitalilem2  24678  abelth2  25506  chordthmlem4  25890  leibpi  25997  jensenlem2  26042  lgamgulmlem2  26084  ttgcontlem1  27155  brbtwn2  27176  ax5seglem1  27199  ax5seglem2  27200  ax5seglem3  27202  ax5seglem5  27204  ax5seglem6  27205  ax5seglem9  27208  ax5seg  27209  axbtwnid  27210  axpaschlem  27211  axpasch  27212  axcontlem2  27236  axcontlem4  27238  axcontlem7  27241  stge0  30487  stle1  30488  strlem3a  30515  elunitge0  31751  unitdivcld  31753  xrge0iifiso  31787  xrge0iifhom  31789  resconn  33108  snmlff  33191  poimirlem29  35733  poimirlem30  35734  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  i0oii  46101  io1ii  46102