Theorem elicc01 13604

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11317	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11315	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13550	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   ≤ cle 11351  [,]cicc 13486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-icc 13490

This theorem is used by:  elunitrn  13605  0elunit  13607  1elunit  13608  divelunit  13632  lincmb01cmp  13633  iccf1o  13634  rpnnen2lem12  16402  blcvx  25126  iirev  25259  iihalf2  25263  elii2  25266  iimulcl  25267  iccpnfhmeo  25275  xrhmeo  25276  lebnumii  25296  htpycc  25310  pcocn  25347  pcohtpylem  25349  pcopt  25352  pcopt2  25353  pcoass  25354  pcorevlem  25356  vitalilem2  25939  abelth2  26778  chordthmlem4  27172  leibpi  27279  jensenlem2  27324  lgamgulmlem2  27366  ttgcontlem1  29471  brbtwn2  29492  ax5seglem1  29515  ax5seglem2  29516  ax5seglem3  29518  ax5seglem5  29520  ax5seglem6  29521  ax5seglem9  29524  ax5seg  29525  axbtwnid  29526  axpaschlem  29527  axpasch  29528  axcontlem2  29552  axcontlem4  29554  axcontlem7  29557  stge0  32835  stle1  32836  strlem3a  32863  elunitge0  34581  unitdivcld  34583  xrge0iifiso  34617  xrge0iifhom  34619  resconn  36129  snmlff  36212  poimirlem29  38704  poimirlem30  38705  poimirlem31  38706  poimirlem32  38707  i0oii  50170  io1ii  50171