Theorem elicc01 13520

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11235	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11233	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13466	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   ≤ cle 11269  [,]cicc 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-icc 13406

This theorem is used by:  elunitrn  13521  0elunit  13523  1elunit  13524  divelunit  13548  lincmb01cmp  13549  iccf1o  13550  rpnnen2lem12  16314  blcvx  25025  iirev  25158  iihalf2  25162  elii2  25165  iimulcl  25166  iccpnfhmeo  25174  xrhmeo  25175  lebnumii  25195  htpycc  25209  pcocn  25246  pcohtpylem  25248  pcopt  25251  pcopt2  25252  pcoass  25253  pcorevlem  25255  vitalilem2  25838  abelth2  26679  chordthmlem4  27073  leibpi  27180  jensenlem2  27225  lgamgulmlem2  27267  ttgcontlem1  29342  brbtwn2  29363  ax5seglem1  29386  ax5seglem2  29387  ax5seglem3  29389  ax5seglem5  29391  ax5seglem6  29392  ax5seglem9  29395  ax5seg  29396  axbtwnid  29397  axpaschlem  29398  axpasch  29399  axcontlem2  29423  axcontlem4  29425  axcontlem7  29428  stge0  32706  stle1  32707  strlem3a  32734  elunitge0  34410  unitdivcld  34412  xrge0iifiso  34446  xrge0iifhom  34448  resconn  35826  snmlff  35909  poimirlem29  38399  poimirlem30  38400  poimirlem31  38401  poimirlem32  38402  i0oii  49847  io1ii  49848