Theorem elicc01 13366

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11114	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11112	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13312	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  elunitrn  13367  0elunit  13369  1elunit  13370  divelunit  13394  lincmb01cmp  13395  iccf1o  13396  rpnnen2lem12  16134  blcvx  24713  iirev  24850  iihalf2  24855  elii2  24859  iimulcl  24860  iccpnfhmeo  24870  xrhmeo  24871  lebnumii  24892  htpycc  24906  pcocn  24944  pcohtpylem  24946  pcopt  24949  pcopt2  24950  pcoass  24951  pcorevlem  24953  vitalilem2  25537  abelth2  26379  chordthmlem4  26772  leibpi  26879  jensenlem2  26925  lgamgulmlem2  26967  ttgcontlem1  28863  brbtwn2  28883  ax5seglem1  28906  ax5seglem2  28907  ax5seglem3  28909  ax5seglem5  28911  ax5seglem6  28912  ax5seglem9  28915  ax5seg  28916  axbtwnid  28917  axpaschlem  28918  axpasch  28919  axcontlem2  28943  axcontlem4  28945  axcontlem7  28948  stge0  32204  stle1  32205  strlem3a  32232  elunitge0  33912  unitdivcld  33914  xrge0iifiso  33948  xrge0iifhom  33950  resconn  35290  snmlff  35373  poimirlem29  37699  poimirlem30  37700  poimirlem31  37701  poimirlem32  37702  i0oii  49030  io1ii  49031