Theorem elicc01 12848

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10637	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10635	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 12796	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   ≤ cle 10670  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-icc 12739

This theorem is referenced by:  0elunit  12849  1elunit  12850  divelunit  12874  lincmb01cmp  12875  iccf1o  12876  rpnnen2lem12  15572  blcvx  23400  iirev  23527  iihalf2  23531  elii2  23534  iimulcl  23535  iccpnfhmeo  23543  xrhmeo  23544  lebnumii  23564  htpycc  23578  pcocn  23615  pcohtpylem  23617  pcopt  23620  pcopt2  23621  pcoass  23622  pcorevlem  23624  vitalilem2  24204  abelth2  25024  chordthmlem4  25407  leibpi  25514  jensenlem2  25559  lgamgulmlem2  25601  ttgcontlem1  26665  brbtwn2  26685  ax5seglem1  26708  ax5seglem2  26709  ax5seglem3  26711  ax5seglem5  26713  ax5seglem6  26714  ax5seglem9  26717  ax5seg  26718  axbtwnid  26719  axpaschlem  26720  axpasch  26721  axcontlem2  26745  axcontlem4  26747  axcontlem7  26750  stge0  29995  stle1  29996  strlem3a  30023  elunitrn  31135  elunitge0  31137  unitdivcld  31139  xrge0iifiso  31173  xrge0iifhom  31175  resconn  32488  snmlff  32571  poimirlem29  34915  poimirlem30  34916  poimirlem31  34917  poimirlem32  34918