Theorem elicc01 13413

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11140	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11138	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13359	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   ≤ cle 11174  [,]cicc 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-icc 13299

This theorem is referenced by:  elunitrn  13414  0elunit  13416  1elunit  13417  divelunit  13441  lincmb01cmp  13442  iccf1o  13443  rpnnen2lem12  16186  blcvx  24776  iirev  24909  iihalf2  24913  elii2  24916  iimulcl  24917  iccpnfhmeo  24925  xrhmeo  24926  lebnumii  24946  htpycc  24960  pcocn  24997  pcohtpylem  24999  pcopt  25002  pcopt2  25003  pcoass  25004  pcorevlem  25006  vitalilem2  25589  abelth2  26423  chordthmlem4  26815  leibpi  26922  jensenlem2  26968  lgamgulmlem2  27010  ttgcontlem1  28970  brbtwn2  28991  ax5seglem1  29014  ax5seglem2  29015  ax5seglem3  29017  ax5seglem5  29019  ax5seglem6  29020  ax5seglem9  29023  ax5seg  29024  axbtwnid  29025  axpaschlem  29026  axpasch  29027  axcontlem2  29051  axcontlem4  29053  axcontlem7  29056  stge0  32313  stle1  32314  strlem3a  32341  elunitge0  34062  unitdivcld  34064  xrge0iifiso  34098  xrge0iifhom  34100  resconn  35447  snmlff  35530  poimirlem29  37987  poimirlem30  37988  poimirlem31  37989  poimirlem32  37990  i0oii  49410  io1ii  49411