Theorem elicc01 13511

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11227	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11225	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13457	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118   ≤ cle 11261  [,]cicc 13393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-icc 13397

This theorem is used by:  elunitrn  13512  0elunit  13514  1elunit  13515  divelunit  13539  lincmb01cmp  13540  iccf1o  13541  rpnnen2lem12  16305  blcvx  25008  iirev  25141  iihalf2  25145  elii2  25148  iimulcl  25149  iccpnfhmeo  25157  xrhmeo  25158  lebnumii  25178  htpycc  25192  pcocn  25229  pcohtpylem  25231  pcopt  25234  pcopt2  25235  pcoass  25236  pcorevlem  25238  vitalilem2  25821  abelth2  26658  chordthmlem4  27053  leibpi  27160  jensenlem2  27205  lgamgulmlem2  27247  ttgcontlem1  29291  brbtwn2  29312  ax5seglem1  29335  ax5seglem2  29336  ax5seglem3  29338  ax5seglem5  29340  ax5seglem6  29341  ax5seglem9  29344  ax5seg  29345  axbtwnid  29346  axpaschlem  29347  axpasch  29348  axcontlem2  29372  axcontlem4  29374  axcontlem7  29377  stge0  32649  stle1  32650  strlem3a  32677  elunitge0  34355  unitdivcld  34357  xrge0iifiso  34391  xrge0iifhom  34393  resconn  35777  snmlff  35860  poimirlem29  38359  poimirlem30  38360  poimirlem31  38361  poimirlem32  38362  i0oii  49757  io1ii  49758