Theorem elicc01 13369

Description: Membership in the closed real interval between 0 and 1, also called the closed unit interval. (Contributed by AV, 20-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elicc01	⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Proof of Theorem elicc01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11117	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 11115	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13315	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   ≤ cle 11150  [,]cicc 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-icc 13255

This theorem is referenced by:  elunitrn  13370  0elunit  13372  1elunit  13373  divelunit  13397  lincmb01cmp  13398  iccf1o  13399  rpnnen2lem12  16134  blcvx  24684  iirev  24821  iihalf2  24826  elii2  24830  iimulcl  24831  iccpnfhmeo  24841  xrhmeo  24842  lebnumii  24863  htpycc  24877  pcocn  24915  pcohtpylem  24917  pcopt  24920  pcopt2  24921  pcoass  24922  pcorevlem  24924  vitalilem2  25508  abelth2  26350  chordthmlem4  26743  leibpi  26850  jensenlem2  26896  lgamgulmlem2  26938  ttgcontlem1  28830  brbtwn2  28850  ax5seglem1  28873  ax5seglem2  28874  ax5seglem3  28876  ax5seglem5  28878  ax5seglem6  28879  ax5seglem9  28882  ax5seg  28883  axbtwnid  28884  axpaschlem  28885  axpasch  28886  axcontlem2  28910  axcontlem4  28912  axcontlem7  28915  stge0  32168  stle1  32169  strlem3a  32196  elunitge0  33866  unitdivcld  33868  xrge0iifiso  33902  xrge0iifhom  33904  resconn  35223  snmlff  35306  poimirlem29  37633  poimirlem30  37634  poimirlem31  37635  poimirlem32  37636  i0oii  48908  io1ii  48909