resconn - Mathbox for Mario Carneiro

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Theorem resconn 33208

Description: A subset of ℝ is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
resconn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
resconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpconn 33189	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ PConn)
2		pconnconn 33193	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Conn)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6	4, 5	rerest 23967	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴))
7		resconn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴)
8	6, 7	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = 𝐽)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = 𝐽)
10		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		ax-resscn 10928	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstrdi 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
16	14, 15	oveqan12d 7294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
17	16	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
18	17	ralbidv 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
21	19, 20	oveqan12d 7294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
22	21	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
23	22	ralbidv 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24		unitssre 13231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
25	24, 11	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
26		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
27	25, 26	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
28	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32	27, 31	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		subcl 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
35	33, 27, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36		simpr1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	28, 36	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	35, 38	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
40	32, 39	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41		nncan 11250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
42	33, 27, 41	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
43	42	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
44	43	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
45	40, 44	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46		iirev 24092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
48	7	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴) ∈ Conn)
49		reconn 23991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
50	48, 49	syl5bb 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
51	50	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
52	51	r19.21bi 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
53	52	r19.21bi 3134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
54	53	anasss 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55	54	3adantr3 1170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
58	24, 57	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
60	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
61	59, 60	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	58, 61	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63		1re 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
65	63, 58, 64	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
66	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
67	59, 66	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	65, 67	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
69	62, 68	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
70	58	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71		pncan3 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
72	70, 33, 71	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
73	72	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
74	65	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
75	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	70, 74, 75	adddird 11000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
77	75	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
78	73, 76, 77	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
79	65, 61	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80		elicc01 13198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
81	57, 80	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
82	81	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83		subge0 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
84	63, 58, 83	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
85	82, 84	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
86		simplr3 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
87	61, 67, 65, 85, 86	lemul2ad 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
88	79, 68, 62, 87	leadd2dd 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
89	78, 88	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
90	58, 67	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
91	81	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
92	61, 67, 58, 91, 86	lemul2ad 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
93	62, 90, 68, 92	leadd1dd 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
94	72	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
95	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
96	70, 74, 95	adddird 11000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
97	95	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
98	94, 96, 97	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
99	93, 98	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
100		elicc2 13144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
101	61, 67, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
102	69, 89, 99, 101	mpbir3and 1341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
103	56, 102	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
107		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
108	107	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
109	106, 108	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
110	109	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
111	110	rspcv 3557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
112	47, 105, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
113	45, 112	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
114	113	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
116		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
117	116	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
118	115, 117	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
119	118	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
120	119	cbvralvw 3383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
121	114, 120	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
122	18, 23, 10, 121, 104	wloglei 11507	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
123	122	r19.21bi 3134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124	123	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
125	13, 124	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
126		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴)
127	12, 125, 4, 126	cvxsconn 33205	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) ∈ SConn)
128	9, 127	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ SConn)
129	128	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ SConn))
130	3, 129	impbid2 225	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ∀wral 3064 ⊆ wss 3887 class class class wbr 5074 ran crn 5590 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 ≤ cle 11010 − cmin 11205 (,)cioo 13079 [,]cicc 13082 ↾_t crest 17131 TopOpenctopn 17132 topGenctg 17148 ℂ_fldccnfld 20597 Conncconn 22562 PConncpconn 33181 SConncsconn 33182

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950 ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-iin 4927 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7978 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-map 8617 df-ixp 8686 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-fsupp 9129 df-fi 9170 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-z 12320 df-dec 12438 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xneg 12848 df-xadd 12849 df-xmul 12850 df-ioo 13083 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-struct 16848 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-ress 16942 df-plusg 16975 df-mulr 16976 df-starv 16977 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-ip 16980 df-tset 16981 df-ple 16982 df-ds 16984 df-unif 16985 df-hom 16986 df-cco 16987 df-rest 17133 df-topn 17134 df-0g 17152 df-gsum 17153 df-topgen 17154 df-pt 17155 df-prds 17158 df-xrs 17213 df-qtop 17218 df-imas 17219 df-xps 17221 df-mre 17295 df-mrc 17296 df-acs 17298 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-submnd 18431 df-mulg 18701 df-cntz 18923 df-cmn 19388 df-psmet 20589 df-xmet 20590 df-met 20591 df-bl 20592 df-mopn 20593 df-cnfld 20598 df-top 22043 df-topon 22060 df-topsp 22082 df-bases 22096 df-cld 22170 df-cn 22378 df-cnp 22379 df-conn 22563 df-tx 22713 df-hmeo 22906 df-xms 23473 df-ms 23474 df-tms 23475 df-ii 24040 df-htpy 24133 df-phtpy 24134 df-phtpc 24155 df-pconn 33183 df-sconn 33184

This theorem is referenced by: ioosconn 33209 iccsconn 33210 iccllysconn 33212

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