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Theorem resconn 34268
Description: A subset of ℝ is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resconn.1 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resconn (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 34249 . . 3 (𝐽 ∈ SConn β†’ 𝐽 ∈ PConn)
2 pconnconn 34253 . . 3 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Conn)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ SConn β†’ 𝐽 ∈ Conn)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
64, 5rerest 24320 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
7 resconn.1 . . . . . 6 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
86, 7eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = 𝐽)
98adantr 482 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = 𝐽)
10 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
11 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstrdi 3995 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 df-3an 1090 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)))
14 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑑 Β· 𝑧) = (𝑑 Β· π‘₯))
15 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))
1614, 15oveqan12d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = π‘₯ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ ((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) = ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
1716eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = π‘₯ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ (((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = π‘₯ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
19 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑑 Β· 𝑧) = (𝑑 Β· 𝑦))
20 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯))
2119, 20oveqan12d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑀 = π‘₯) β†’ ((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) = ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)))
2221eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑀 = π‘₯) β†’ (((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴))
2322ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑀 = π‘₯) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴))
24 unitssre 13476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) βŠ† ℝ
2524, 11sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) βŠ† β„‚
26 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
2725, 26sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
2812adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
29 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3028, 29sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3227, 31mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
33 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
34 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
3533, 27, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
36 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3728, 36sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3935, 38mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) ∈ β„‚)
4032, 39addcomd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + (𝑠 Β· 𝑦)))
41 nncan 11489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) = 𝑠)
4233, 27, 41sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) = 𝑠)
4342oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦) = (𝑠 Β· 𝑦))
4443oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + (𝑠 Β· 𝑦)))
4540, 44eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)))
46 iirev 24445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ (0[,]1))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ (0[,]1))
487eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
49 reconn 24344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
5048, 49bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
5150biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5251r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5352r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5453anasss 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
55543adantr3 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
57 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ (0[,]1))
5824, 57sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
59 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6036adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
6159, 60sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
63 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
64 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ ℝ)
6563, 58, 64sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ ℝ)
6629adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
6759, 66sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) ∈ ℝ)
6962, 68readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ ℝ)
7058recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
71 pncan3 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) = 1)
7270, 33, 71sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) = 1)
7372oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· π‘₯) = (1 Β· π‘₯))
7465recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ β„‚)
7537adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7670, 74, 75adddird 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· π‘₯) = ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)))
7775mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
7873, 76, 773eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) = π‘₯)
7965, 61remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) ∈ ℝ)
80 elicc01 13443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 1))
8157, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 1))
8281simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ≀ 1)
83 subge0 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ 𝑑) ↔ 𝑑 ≀ 1))
8463, 58, 83sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ 𝑑) ↔ 𝑑 ≀ 1))
8582, 84mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ 𝑑))
86 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8761, 67, 65, 85, 86lemul2ad 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) ≀ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))
8879, 68, 62, 87leadd2dd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
8978, 88eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
9058, 67remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
9181simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ 𝑑)
9261, 67, 58, 91, 86lemul2ad 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) ≀ (𝑑 Β· 𝑦))
9362, 90, 68, 92leadd1dd 11828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
9472oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· 𝑦) = (1 Β· 𝑦))
9530adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9670, 74, 95adddird 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· 𝑦) = ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
9795mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· 𝑦) = 𝑦)
9894, 96, 973eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = 𝑦)
9993, 98breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ 𝑦)
100 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∧ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ 𝑦)))
10161, 67, 100syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∧ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ 𝑦)))
10269, 89, 99, 101mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (π‘₯[,]𝑦))
10356, 102sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
106 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯))
107 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)))
108107oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) = ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦))
109106, 108oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)))
110109eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
111110rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 βˆ’ 𝑠) ∈ (0[,]1) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴 β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
11247, 105, 111sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
11345, 112eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
114113ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘  ∈ (0[,]1)((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
115 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 Β· 𝑦) = (𝑑 Β· 𝑦))
116 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑑 β†’ (1 βˆ’ 𝑠) = (1 βˆ’ 𝑑))
117116oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯))
118115, 117oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) = ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)))
119118eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ (((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴))
120119cbvralvw 3235 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘  ∈ (0[,]1)((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
121114, 120sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
12218, 23, 10, 121, 104wloglei 11746 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
123122r19.21bi 3249 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
124123anasss 468 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
12513, 124sylan2b 595 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
126 eqid 2733 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴)
12712, 125, 4, 126cvxsconn 34265 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ SConn)
1289, 127eqeltrrd 2835 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ 𝐽 ∈ SConn)
129128ex 414 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ Conn β†’ 𝐽 ∈ SConn))
1303, 129impbid2 225 1 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Conncconn 22915  PConncpconn 34241  SConncsconn 34242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-conn 22916  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508  df-pconn 34243  df-sconn 34244
This theorem is referenced by:  ioosconn  34269  iccsconn  34270  iccllysconn  34272
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