resconn - Mathbox for Mario Carneiro

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Theorem resconn 32493

Description: A subset of ℝ is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
resconn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
resconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpconn 32474	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ PConn)
2		pconnconn 32478	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Conn)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6	4, 5	rerest 23411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴))
7		resconn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴)
8	6, 7	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = 𝐽)
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = 𝐽)
10		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		ax-resscn 10593	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstrdi 3978	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		df-3an 1085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
16	14, 15	oveqan12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
17	16	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
18	17	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
21	19, 20	oveqan12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
22	21	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
23	22	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24		unitssre 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
25	24, 11	sstri 3975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
26		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
27	25, 26	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
28	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29		simpr2 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32	27, 31	mulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33		ax-1cn 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		subcl 10884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
35	33, 27, 34	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36		simpr1 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	28, 36	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	35, 38	mulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
40	32, 39	addcomd 10841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41		nncan 10914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
42	33, 27, 41	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
43	42	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
44	43	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
45	40, 44	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46		iirev 23532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
47	46	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
48	7	eleq1i 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴) ∈ Conn)
49		reconn 23435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
50	48, 49	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
51	50	biimpa 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
52	51	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
53	52	r19.21bi 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
54	53	anasss 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55	54	3adantr3 1167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
56	55	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
58	24, 57	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
60	36	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
61	59, 60	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	58, 61	remulcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63		1re 10640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 10949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
65	63, 58, 64	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
66	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
67	59, 66	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	65, 67	remulcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
69	62, 68	readdcld 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
70	58	recnd 10668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71		pncan3 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
72	70, 33, 71	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
73	72	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
74	65	recnd 10668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
75	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	70, 74, 75	adddird 10665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
77	75	mulid2d 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
78	73, 76, 77	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
79	65, 61	remulcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80		elicc01 12853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
81	57, 80	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
82	81	simp3d 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83		subge0 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
84	63, 58, 83	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
85	82, 84	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
86		simplr3 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
87	61, 67, 65, 85, 86	lemul2ad 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
88	79, 68, 62, 87	leadd2dd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
89	78, 88	eqbrtrrd 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
90	58, 67	remulcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
91	81	simp2d 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
92	61, 67, 58, 91, 86	lemul2ad 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
93	62, 90, 68, 92	leadd1dd 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
94	72	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
95	30	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
96	70, 74, 95	adddird 10665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
97	95	mulid2d 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
98	94, 96, 97	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
99	93, 98	breqtrd 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
100		elicc2 12800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
101	61, 67, 100	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
102	69, 89, 99, 101	mpbir3and 1338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
103	56, 102	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105	104	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106		oveq1 7162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
107		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
108	107	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
109	106, 108	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
110	109	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
111	110	rspcv 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
112	47, 105, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
113	45, 112	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
114	113	ralrimiva 3182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115		oveq1 7162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
116		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
117	116	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
118	115, 117	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
119	118	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
120	119	cbvralvw 3449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
121	114, 120	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
122	18, 23, 10, 121, 104	wloglei 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
123	122	r19.21bi 3208	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124	123	anasss 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
125	13, 124	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
126		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴)
127	12, 125, 4, 126	cvxsconn 32490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) ∈ SConn)
128	9, 127	eqeltrrd 2914	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ SConn)
129	128	ex 415	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ SConn))
130	3, 129	impbid2 228	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ∀wral 3138 ⊆ wss 3935 class class class wbr 5065 ran crn 5555 ‘cfv 6354 (class class class)co 7155 ℂcc 10534 ℝcr 10535 0cc0 10536 1c1 10537 + caddc 10539 · cmul 10541 ≤ cle 10675 − cmin 10869 (,)cioo 12737 [,]cicc 12740 ↾_t crest 16693 TopOpenctopn 16694 topGenctg 16710 ℂ_fldccnfld 20544 Conncconn 22018 PConncpconn 32466 SConncsconn 32467

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2173 ax-ext 2793 ax-rep 5189 ax-sep 5202 ax-nul 5209 ax-pow 5265 ax-pr 5329 ax-un 7460 ax-cnex 10592 ax-resscn 10593 ax-1cn 10594 ax-icn 10595 ax-addcl 10596 ax-addrcl 10597 ax-mulcl 10598 ax-mulrcl 10599 ax-mulcom 10600 ax-addass 10601 ax-mulass 10602 ax-distr 10603 ax-i2m1 10604 ax-1ne0 10605 ax-1rid 10606 ax-rnegex 10607 ax-rrecex 10608 ax-cnre 10609 ax-pre-lttri 10610 ax-pre-lttrn 10611 ax-pre-ltadd 10612 ax-pre-mulgt0 10613 ax-pre-sup 10614 ax-addf 10615 ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3772 df-csb 3883 df-dif 3938 df-un 3940 df-in 3942 df-ss 3951 df-pss 3953 df-nul 4291 df-if 4467 df-pw 4540 df-sn 4567 df-pr 4569 df-tp 4571 df-op 4573 df-uni 4838 df-int 4876 df-iun 4920 df-iin 4921 df-br 5066 df-opab 5128 df-mpt 5146 df-tr 5172 df-id 5459 df-eprel 5464 df-po 5473 df-so 5474 df-fr 5513 df-se 5514 df-we 5515 df-xp 5560 df-rel 5561 df-cnv 5562 df-co 5563 df-dm 5564 df-rn 5565 df-res 5566 df-ima 5567 df-pred 6147 df-ord 6193 df-on 6194 df-lim 6195 df-suc 6196 df-iota 6313 df-fun 6356 df-fn 6357 df-f 6358 df-f1 6359 df-fo 6360 df-f1o 6361 df-fv 6362 df-isom 6363 df-riota 7113 df-ov 7158 df-oprab 7159 df-mpo 7160 df-of 7408 df-om 7580 df-1st 7688 df-2nd 7689 df-supp 7830 df-wrecs 7946 df-recs 8007 df-rdg 8045 df-1o 8101 df-2o 8102 df-oadd 8105 df-er 8288 df-map 8407 df-ixp 8461 df-en 8509 df-dom 8510 df-sdom 8511 df-fin 8512 df-fsupp 8833 df-fi 8874 df-sup 8905 df-inf 8906 df-oi 8973 df-card 9367 df-pnf 10676 df-mnf 10677 df-xr 10678 df-ltxr 10679 df-le 10680 df-sub 10871 df-neg 10872 df-div 11297 df-nn 11638 df-2 11699 df-3 11700 df-4 11701 df-5 11702 df-6 11703 df-7 11704 df-8 11705 df-9 11706 df-n0 11897 df-z 11981 df-dec 12098 df-uz 12243 df-q 12348 df-rp 12389 df-xneg 12506 df-xadd 12507 df-xmul 12508 df-ioo 12741 df-ico 12743 df-icc 12744 df-fz 12892 df-fzo 13033 df-seq 13369 df-exp 13429 df-hash 13690 df-cj 14457 df-re 14458 df-im 14459 df-sqrt 14593 df-abs 14594 df-struct 16484 df-ndx 16485 df-slot 16486 df-base 16488 df-sets 16489 df-ress 16490 df-plusg 16577 df-mulr 16578 df-starv 16579 df-sca 16580 df-vsca 16581 df-ip 16582 df-tset 16583 df-ple 16584 df-ds 16586 df-unif 16587 df-hom 16588 df-cco 16589 df-rest 16695 df-topn 16696 df-0g 16714 df-gsum 16715 df-topgen 16716 df-pt 16717 df-prds 16720 df-xrs 16774 df-qtop 16779 df-imas 16780 df-xps 16782 df-mre 16856 df-mrc 16857 df-acs 16859 df-mgm 17851 df-sgrp 17900 df-mnd 17911 df-submnd 17956 df-mulg 18224 df-cntz 18446 df-cmn 18907 df-psmet 20536 df-xmet 20537 df-met 20538 df-bl 20539 df-mopn 20540 df-cnfld 20545 df-top 21501 df-topon 21518 df-topsp 21540 df-bases 21553 df-cld 21626 df-cn 21834 df-cnp 21835 df-conn 22019 df-tx 22169 df-hmeo 22362 df-xms 22929 df-ms 22930 df-tms 22931 df-ii 23484 df-htpy 23573 df-phtpy 23574 df-phtpc 23595 df-pconn 32468 df-sconn 32469

This theorem is referenced by: ioosconn 32494 iccsconn 32495 iccllysconn 32497

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