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Theorem resconn 34728
Description: A subset of is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resconn.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resconn (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 34709 . . 3 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ PConn)
2 pconnconn 34713 . . 3 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Conn)
4 eqid 2724 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5 eqid 2724 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
64, 5rerest 24644 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
7 resconn.1 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
86, 7eqtr4di 2782 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 11164 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstrdi 3987 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
1614, 15oveqan12d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
1716eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3169 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
2119, 20oveqan12d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
2221eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
2322ralbidv 3169 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24 unitssre 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
2524, 11sstri 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℂ
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
2725, 26sselid 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
2812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦𝐴)
3028, 29sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3227, 31mulcld 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
34 subcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
3533, 27, 34sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36 simpr1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
3728, 36sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3935, 38mulcld 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
4032, 39addcomd 11414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41 nncan 11487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4233, 27, 41sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4342oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
4443oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
4540, 44eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46 iirev 24774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
487eleq1i 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
49 reconn 24668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5048, 49bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5150biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5251r19.21bi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5352r19.21bi 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5453anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55543adantr3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
5824, 57sselid 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6036adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝐴)
6159, 60sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63 1re 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
64 resubcl 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6563, 58, 64sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6629adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦𝐴)
6759, 66sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67remulcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
6962, 68readdcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
7058recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71 pncan3 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7270, 33, 71sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7372oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
7465recnd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7670, 74, 75adddird 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
7775mullidd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7873, 76, 773eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
7965, 61remulcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80 elicc01 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8157, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8281simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83 subge0 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8463, 58, 83sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8582, 84mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
86 simplr3 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝑦)
8761, 67, 65, 85, 86lemul2ad 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
8879, 68, 62, 87leadd2dd 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
8978, 88eqbrtrrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9058, 67remulcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
9181simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
9261, 67, 58, 91, 86lemul2ad 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
9362, 90, 68, 92leadd1dd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9472oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
9530adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9670, 74, 95adddird 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9795mullidd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
9894, 96, 973eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
9993, 98breqtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
100 elicc2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10161, 67, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10269, 89, 99, 101mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
10356, 102sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
107 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
108107oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
109106, 108oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
110109eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
111110rspcv 3600 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
11247, 105, 111sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
11345, 112eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
114113ralrimiva 3138 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
116 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
117116oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
118115, 117oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
119118eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
120119cbvralvw 3226 . . . . . . . . . 10 (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
121114, 120sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
12218, 23, 10, 121, 104wloglei 11744 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
123122r19.21bi 3240 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124123anasss 466 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
12513, 124sylan2b 593 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
126 eqid 2724 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
12712, 125, 4, 126cvxsconn 34725 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ SConn)
1289, 127eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ SConn)
129128ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ SConn))
1303, 129impbid2 225 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wss 3941   class class class wbr 5139  ran crn 5668  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  cle 11247  cmin 11442  (,)cioo 13322  [,]cicc 13325  t crest 17367  TopOpenctopn 17368  topGenctg 17384  fldccnfld 21230  Conncconn 23239  PConncpconn 34701  SConncsconn 34702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-conn 23240  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-ii 24721  df-cncf 24722  df-htpy 24820  df-phtpy 24821  df-phtpc 24842  df-pconn 34703  df-sconn 34704
This theorem is referenced by:  ioosconn  34729  iccsconn  34730  iccllysconn  34732
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