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Theorem resconn 35251
Description: A subset of is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resconn.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resconn (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 35232 . . 3 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ PConn)
2 pconnconn 35236 . . 3 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Conn)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
64, 5rerest 24825 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
7 resconn.1 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
86, 7eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 11212 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstrdi 3996 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
1614, 15oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
1716eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
2119, 20oveqan12d 7450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
2221eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
2322ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24 unitssre 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
2524, 11sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℂ
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
2725, 26sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
2812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦𝐴)
3028, 29sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3227, 31mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
34 subcl 11507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
3533, 27, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
3728, 36sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3935, 38mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
4032, 39addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41 nncan 11538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4233, 27, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
4540, 44eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46 iirev 24956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
487eleq1i 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
49 reconn 24850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5048, 49bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5150biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5251r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5352r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5453anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55543adantr3 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
5824, 57sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6036adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝐴)
6159, 60sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
64 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6563, 58, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6629adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦𝐴)
6759, 66sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
6962, 68readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
7058recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71 pncan3 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7270, 33, 71sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7372oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
7465recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7670, 74, 75adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
7775mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7873, 76, 773eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
7965, 61remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8157, 80sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8281simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83 subge0 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8463, 58, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8582, 84mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
86 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝑦)
8761, 67, 65, 85, 86lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
8879, 68, 62, 87leadd2dd 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
8978, 88eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9058, 67remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
9181simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
9261, 67, 58, 91, 86lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
9362, 90, 68, 92leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9472oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
9530adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9670, 74, 95adddird 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9795mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
9894, 96, 973eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
9993, 98breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
100 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10161, 67, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10269, 89, 99, 101mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
10356, 102sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
107 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
108107oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
109106, 108oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
110109eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
111110rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
11247, 105, 111sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
11345, 112eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
114113ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
116 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
117116oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
118115, 117oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
119118eleq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
120119cbvralvw 3237 . . . . . . . . . 10 (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
121114, 120sylib 218 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
12218, 23, 10, 121, 104wloglei 11795 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
123122r19.21bi 3251 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124123anasss 466 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
12513, 124sylan2b 594 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
126 eqid 2737 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
12712, 125, 4, 126cvxsconn 35248 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ SConn)
1289, 127eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ SConn)
129128ex 412 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ SConn))
1303, 129impbid2 226 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Conncconn 23419  PConncpconn 35224  SConncsconn 35225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-conn 23420  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pconn 35226  df-sconn 35227
This theorem is referenced by:  ioosconn  35252  iccsconn  35253  iccllysconn  35255
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