resconn - Mathbox for Mario Carneiro

	Mathbox for Mario Carneiro		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > resconn		Structured version Visualization version GIF version

Theorem resconn 35440

Description: A subset of ℝ is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
resconn.1	⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
resconn	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sconnpconn 35421	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ PConn)
2		pconnconn 35425	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Conn)
4		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6	4, 5	rerest 24748	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴))
7		resconn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴)
8	6, 7	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = 𝐽)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = 𝐽)
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11		ax-resscn 11083	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstrdi 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
16	14, 15	oveqan12d 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
17	16	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
18	17	ralbidv 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
21	19, 20	oveqan12d 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
22	21	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
23	22	ralbidv 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24		unitssre 13415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
25	24, 11	sstri 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
27	25, 26	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
30	28, 29	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
32	27, 31	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		subcl 11379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
35	33, 27, 34	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
37	28, 36	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	35, 38	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
40	32, 39	addcomd 11335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41		nncan 11410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
42	33, 27, 41	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
43	42	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
44	43	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
45	40, 44	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46		iirev 24879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
48	7	eleq1i 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴) ∈ Conn)
49		reconn 24773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾_t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
50	48, 49	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
51	50	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
52	51	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
53	52	r19.21bi 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
54	53	anasss 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55	54	3adantr3 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
58	24, 57	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
60	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
61	59, 60	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
62	58, 61	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63		1re 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		resubcl 11445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
65	63, 58, 64	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
66	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
67	59, 66	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
68	65, 67	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
69	62, 68	readdcld 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
70	58	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71		pncan3 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
72	70, 33, 71	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
73	72	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
74	65	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
75	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	70, 74, 75	adddird 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
77	75	mullidd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
78	73, 76, 77	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
79	65, 61	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80		elicc01 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
81	57, 80	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
82	81	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83		subge0 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
84	63, 58, 83	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
85	82, 84	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
86		simplr3 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ 𝑦)
87	61, 67, 65, 85, 86	lemul2ad 12082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
88	79, 68, 62, 87	leadd2dd 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
89	78, 88	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
90	58, 67	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
91	81	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
92	61, 67, 58, 91, 86	lemul2ad 12082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
93	62, 90, 68, 92	leadd1dd 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
94	72	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
95	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
96	70, 74, 95	adddird 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
97	95	mullidd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
98	94, 96, 97	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
99	93, 98	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
100		elicc2 13327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
101	61, 67, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
102	69, 89, 99, 101	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
103	56, 102	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
107		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
108	107	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
109	106, 108	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
110	109	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
111	110	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
112	47, 105, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
113	45, 112	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
114	113	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
116		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
117	116	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
118	115, 117	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
119	118	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
120	119	cbvralvw 3214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
121	114, 120	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
122	18, 23, 10, 121, 104	wloglei 11669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
123	122	r19.21bi 3228	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124	123	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
125	13, 124	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
126		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴)
127	12, 125, 4, 126	cvxsconn 35437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t 𝐴) ∈ SConn)
128	9, 127	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ SConn)
129	128	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ SConn))
130	3, 129	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∀wral 3051 ⊆ wss 3901 class class class wbr 5098 ran crn 5625 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 ≤ cle 11167 − cmin 11364 (,)cioo 13261 [,]cicc 13264 ↾_t crest 17340 TopOpenctopn 17341 topGenctg 17357 ℂ_fldccnfld 21309 Conncconn 23355 PConncpconn 35413 SConncsconn 35414

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104 ax-addf 11105

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-map 8765 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9265 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-5 12211 df-6 12212 df-7 12213 df-8 12214 df-9 12215 df-n0 12402 df-z 12489 df-dec 12608 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-xneg 13026 df-xadd 13027 df-xmul 13028 df-ioo 13265 df-ico 13267 df-icc 13268 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-seq 13925 df-exp 13985 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-struct 17074 df-sets 17091 df-slot 17109 df-ndx 17121 df-base 17137 df-ress 17158 df-plusg 17190 df-mulr 17191 df-starv 17192 df-sca 17193 df-vsca 17194 df-ip 17195 df-tset 17196 df-ple 17197 df-ds 17199 df-unif 17200 df-hom 17201 df-cco 17202 df-rest 17342 df-topn 17343 df-0g 17361 df-gsum 17362 df-topgen 17363 df-pt 17364 df-prds 17367 df-xrs 17423 df-qtop 17428 df-imas 17429 df-xps 17431 df-mre 17505 df-mrc 17506 df-acs 17508 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18709 df-mulg 18998 df-cntz 19246 df-cmn 19711 df-psmet 21301 df-xmet 21302 df-met 21303 df-bl 21304 df-mopn 21305 df-cnfld 21310 df-top 22838 df-topon 22855 df-topsp 22877 df-bases 22890 df-cld 22963 df-cn 23171 df-cnp 23172 df-conn 23356 df-tx 23506 df-hmeo 23699 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-ii 24826 df-cncf 24827 df-htpy 24925 df-phtpy 24926 df-phtpc 24947 df-pconn 35415 df-sconn 35416

This theorem is referenced by: ioosconn 35441 iccsconn 35442 iccllysconn 35444

W3C validator