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Theorem resconn 34523
Description: A subset of ℝ is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resconn.1 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resconn (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn
Dummy variables 𝑑 𝑠 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 34504 . . 3 (𝐽 ∈ SConn β†’ 𝐽 ∈ PConn)
2 pconnconn 34508 . . 3 (𝐽 ∈ PConn β†’ 𝐽 ∈ Conn)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ SConn β†’ 𝐽 ∈ Conn)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
64, 5rerest 24540 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
7 resconn.1 . . . . . 6 𝐽 = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
86, 7eqtr4di 2790 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = 𝐽)
98adantr 481 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = 𝐽)
10 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
11 ax-resscn 11169 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstrdi 3994 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 df-3an 1089 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)))
14 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑑 Β· 𝑧) = (𝑑 Β· π‘₯))
15 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))
1614, 15oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = π‘₯ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ ((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) = ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
1716eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = π‘₯ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ (((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = π‘₯ ∧ 𝑀 = 𝑦) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
19 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑑 Β· 𝑧) = (𝑑 Β· 𝑦))
20 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯))
2119, 20oveqan12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑀 = π‘₯) β†’ ((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) = ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)))
2221eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑀 = π‘₯) β†’ (((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴))
2322ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑀 = π‘₯) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑧) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑀)) ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴))
24 unitssre 13480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) βŠ† ℝ
2524, 11sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) βŠ† β„‚
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
2725, 26sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
2812adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
29 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3028, 29sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
3227, 31mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠 Β· 𝑦) ∈ β„‚)
33 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„‚
34 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
3533, 27, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ β„‚)
36 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3728, 36sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3935, 38mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) ∈ β„‚)
4032, 39addcomd 11420 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + (𝑠 Β· 𝑦)))
41 nncan 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑠 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) = 𝑠)
4233, 27, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) = 𝑠)
4342oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦) = (𝑠 Β· 𝑦))
4443oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + (𝑠 Β· 𝑦)))
4540, 44eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)))
46 iirev 24669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ (0[,]1))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑠) ∈ (0[,]1))
487eleq1i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
49 reconn 24564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
5048, 49bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴))
5150biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5251r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5352r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5453anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
55543adantr3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ (0[,]1))
5824, 57sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
59 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6036adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
6159, 60sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
63 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
64 resubcl 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ ℝ)
6563, 58, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ ℝ)
6629adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
6759, 66sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) ∈ ℝ)
6962, 68readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ ℝ)
7058recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
71 pncan3 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) = 1)
7270, 33, 71sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) = 1)
7372oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· π‘₯) = (1 Β· π‘₯))
7465recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) ∈ β„‚)
7537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7670, 74, 75adddird 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· π‘₯) = ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)))
7775mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
7873, 76, 773eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) = π‘₯)
7965, 61remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) ∈ ℝ)
80 elicc01 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 1))
8157, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 1))
8281simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑑 ≀ 1)
83 subge0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ 𝑑) ↔ 𝑑 ≀ 1))
8463, 58, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ 𝑑) ↔ 𝑑 ≀ 1))
8582, 84mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ 𝑑))
86 simplr3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8761, 67, 65, 85, 86lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) ≀ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))
8879, 68, 62, 87leadd2dd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
8978, 88eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ π‘₯ ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
9058, 67remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
9181simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ 𝑑)
9261, 67, 58, 91, 86lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) ≀ (𝑑 Β· 𝑦))
9362, 90, 68, 92leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
9472oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· 𝑦) = (1 Β· 𝑦))
9530adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
9670, 74, 95adddird 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 + (1 βˆ’ 𝑑)) Β· 𝑦) = ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)))
9795mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (1 Β· 𝑦) = 𝑦)
9894, 96, 973eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = 𝑦)
9993, 98breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ 𝑦)
100 elicc2 13393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∧ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ 𝑦)))
10161, 67, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (π‘₯[,]𝑦) ↔ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∧ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ≀ 𝑦)))
10269, 89, 99, 101mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ (π‘₯[,]𝑦))
10356, 102sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
106 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ (𝑑 Β· π‘₯) = ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯))
107 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)))
108107oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦) = ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦))
109106, 108oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) = (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)))
110109eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (1 βˆ’ 𝑠) β†’ (((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
111110rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 βˆ’ 𝑠) ∈ (0[,]1) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴 β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴))
11247, 105, 111sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑠)) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
11345, 112eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
114113ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘  ∈ (0[,]1)((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
115 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 Β· 𝑦) = (𝑑 Β· 𝑦))
116 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑑 β†’ (1 βˆ’ 𝑠) = (1 βˆ’ 𝑑))
117116oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯))
118115, 117oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) = ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)))
119118eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ (((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴))
120119cbvralvw 3234 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘  ∈ (0[,]1)((𝑠 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑠) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
121114, 120sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· 𝑦) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯)) ∈ 𝐴)
12218, 23, 10, 121, 104wloglei 11750 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (0[,]1)((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
123122r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
124123anasss 467 . . . . . 6 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
12513, 124sylan2b 594 . . . . 5 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ ((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦)) ∈ 𝐴)
126 eqid 2732 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴)
12712, 125, 4, 126cvxsconn 34520 . . . 4 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) ∈ SConn)
1289, 127eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) β†’ 𝐽 ∈ SConn)
129128ex 413 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ Conn β†’ 𝐽 ∈ SConn))
1303, 129impbid2 225 1 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  Conncconn 23135  PConncpconn 34496  SConncsconn 34497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-conn 23136  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-ii 24617  df-htpy 24710  df-phtpy 24711  df-phtpc 24732  df-pconn 34498  df-sconn 34499
This theorem is referenced by:  ioosconn  34524  iccsconn  34525  iccllysconn  34527
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