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Theorem resconn 33840
Description: A subset of is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resconn.1 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resconn (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem resconn
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconnpconn 33821 . . 3 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ PConn)
2 pconnconn 33825 . . 3 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Conn)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ SConn → 𝐽 ∈ Conn)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
64, 5rerest 24167 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
7 resconn.1 . . . . . 6 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
86, 7eqtr4di 2794 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
98adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = 𝐽)
10 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 11108 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstrdi 3956 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐴 ⊆ ℂ)
13 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
14 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑥))
15 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑦))
1614, 15oveqan12d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
1716eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
19 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → (𝑡 · 𝑧) = (𝑡 · 𝑦))
20 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑥 → ((1 − 𝑡) · 𝑤) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
2119, 20oveqan12d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → ((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
2221eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
2322ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 ((𝑧 = 𝑦𝑤 = 𝑥) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑧) + ((1 − 𝑡) · 𝑤)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
24 unitssre 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
2524, 11sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℂ
26 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
2725, 26sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ ℂ)
2812adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
29 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦𝐴)
3028, 29sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
3227, 31mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠 · 𝑦) ∈ ℂ)
33 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
34 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
3533, 27, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ ℂ)
36 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥𝐴)
3728, 36sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
3935, 38mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑠) · 𝑥) ∈ ℂ)
4032, 39addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
41 nncan 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4233, 27, 41sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − (1 − 𝑠)) = 𝑠)
4342oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦) = (𝑠 · 𝑦))
4443oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + (𝑠 · 𝑦)))
4540, 44eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
46 iirev 24292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑠) ∈ (0[,]1))
487eleq1i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ Conn ↔ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn)
49 reconn 24191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5048, 49bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴))
5150biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5251r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5352r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5453anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
55543adantr3 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
5824, 57sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
59 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6036adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝐴)
6159, 60sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6258, 61remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ∈ ℝ)
63 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
64 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6563, 58, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
6629adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦𝐴)
6759, 66sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) ∈ ℝ)
6962, 68readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ)
7058recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
71 pncan3 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7270, 33, 71sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 + (1 − 𝑡)) = 1)
7372oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
7465recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
7537adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7670, 74, 75adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑥) = ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
7775mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
7873, 76, 773eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) = 𝑥)
7965, 61remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ∈ ℝ)
80 elicc01 13383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8157, 80sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
8281simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
83 subge0 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8463, 58, 83sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0 ≤ (1 − 𝑡) ↔ 𝑡 ≤ 1))
8582, 84mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (1 − 𝑡))
86 simplr3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥𝑦)
8761, 67, 65, 85, 86lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) ≤ ((1 − 𝑡) · 𝑦))
8879, 68, 62, 87leadd2dd 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
8978, 88eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9058, 67remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑦) ∈ ℝ)
9181simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
9261, 67, 58, 91, 86lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑡 · 𝑥) ≤ (𝑡 · 𝑦))
9362, 90, 68, 92leadd1dd 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9472oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = (1 · 𝑦))
9530adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
9670, 74, 95adddird 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 + (1 − 𝑡)) · 𝑦) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
9795mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
9894, 96, 973eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = 𝑦)
9993, 98breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)
100 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10161, 67, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦) ↔ (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∧ ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ≤ 𝑦)))
10269, 89, 99, 101mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ (𝑥[,]𝑦))
10356, 102sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
106 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (𝑡 · 𝑥) = ((1 − 𝑠) · 𝑥))
107 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑠)))
108107oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦))
109106, 108oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = (1 − 𝑠) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)))
110109eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (1 − 𝑠) → (((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 ↔ (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
111110rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑠) ∈ (0[,]1) → (∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴 → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴))
11247, 105, 111sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑠) · 𝑥) + ((1 − (1 − 𝑠)) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
11345, 112eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
114113ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
115 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑦))
116 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑡))
117116oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑡 → ((1 − 𝑠) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
118115, 117oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) = ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)))
119118eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴))
120119cbvralvw 3225 . . . . . . . . . 10 (∀𝑠 ∈ (0[,]1)((𝑠 · 𝑦) + ((1 − 𝑠) · 𝑥)) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
121114, 120sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑦) + ((1 − 𝑡) · 𝑥)) ∈ 𝐴)
12218, 23, 10, 121, 104wloglei 11687 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0[,]1)((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
123122r19.21bi 3234 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
124123anasss 467 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
12513, 124sylan2b 594 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) ∈ 𝐴)
126 eqid 2736 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
12712, 125, 4, 126cvxsconn 33837 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) ∈ SConn)
1289, 127eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐽 ∈ Conn) → 𝐽 ∈ SConn)
129128ex 413 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ SConn))
1303, 129impbid2 225 1 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐽 ∈ SConn ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Conncconn 22762  PConncpconn 33813  SConncsconn 33814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-conn 22763  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pconn 33815  df-sconn 33816
This theorem is referenced by:  ioosconn  33841  iccsconn  33842  iccllysconn  33844
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