Theorem pcorev2 24905

Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev2.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})

Assertion

Ref	Expression
pcorev2	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2	1	pcorevcl 24902	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
3	2	simp1d 1139	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
6	4, 5	pcorev 24904	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8		iirev 24800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
9		oveq2 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
10	9	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
11		fvex 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
12	10, 1, 11	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
14		ax-1cn 11167	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		unitssre 13479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
16	15	sseli 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		nncan 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
19	14, 17, 18	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
20	19	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
21	13, 20	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
22	21	mpteq2ia 5244	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦))
23		iiuni 24751	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
24		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
25	23, 24	cnf 23100	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
26	25	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	22, 26	eqtr4id 2785	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
28	27	oveq1d 7419	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺))
29	2	simp3d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
30	29	sneqd 4635	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
31	30	xpeq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32		pcorev2.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
33	31, 32	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
34	7, 28, 33	3brtr3d 5172	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   − cmin 11445  [,]cicc 13330   Cn ccn 23078  IIcii 24745   ≃_phcphtpc 24845  *_𝑝cpco 24877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-ii 24747  df-htpy 24846  df-phtpy 24847  df-phtpc 24868  df-pco 24882

This theorem is referenced by:  pcophtb  24906  pi1xfr  24932  pi1xfrcnvlem  24933