Theorem pcorev2 25354

Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev2.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})

Assertion

Ref	Expression
pcorev2	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2	1	pcorevcl 25351	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
3	2	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
6	4, 5	pcorev 25353	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8		iirev 25255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
9		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
10	9	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
11		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
12	10, 1, 11	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
13	8, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
14		ax-1cn 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		unitssre 13633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
16	15	sseli 3904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		nncan 11590	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
19	14, 17, 18	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
20	19	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
21	13, 20	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
22	21	mpteq2ia 5199	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦))
23		iiuni 25207	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
25	23, 24	cnf 23569	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
26	25	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	22, 26	eqtr4id 2814	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
28	27	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺))
29	2	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
30	29	sneqd 4592	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
31	30	xpeq2d 5680	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32		pcorev2.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
33	31, 32	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
34	7, 28, 33	3brtr3d 5135	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   − cmin 11544  [,]cicc 13482   Cn ccn 23547  IIcii 25201   ≃_phcphtpc 25295  *_𝑝cpco 25326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-ii 25203  df-htpy 25296  df-phtpy 25297  df-phtpc 25318  df-pco 25331

This theorem is used by:  pcophtb  25355  pi1xfr  25381  pi1xfrcnvlem  25382