Theorem pcorev2 24996

Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev2.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})

Assertion

Ref	Expression
pcorev2	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2	1	pcorevcl 24993	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
3	2	simp1d 1143	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
6	4, 5	pcorev 24995	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8		iirev 24891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
9		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
10	9	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
11		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
12	10, 1, 11	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
14		ax-1cn 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		unitssre 13427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
16	15	sseli 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
18		nncan 11422	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
19	14, 17, 18	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
20	19	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
21	13, 20	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
22	21	mpteq2ia 5195	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦))
23		iiuni 24842	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
25	23, 24	cnf 23202	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
26	25	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦)))
27	22, 26	eqtr4id 2791	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
28	27	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺))
29	2	simp3d 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
30	29	sneqd 4594	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
31	30	xpeq2d 5662	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32		pcorev2.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
33	31, 32	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
34	7, 28, 33	3brtr3d 5131	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11376  [,]cicc 13276   Cn ccn 23180  IIcii 24836   ≃_phcphtpc 24936  *_𝑝cpco 24968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-ii 24838  df-htpy 24937  df-phtpy 24938  df-phtpc 24959  df-pco 24973

This theorem is referenced by:  pcophtb  24997  pi1xfr  25023  pi1xfrcnvlem  25024