MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcorev2 24999
Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev2.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
Assertion
Ref Expression
pcorev2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev2.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
21pcorevcl 24996 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
32simp1d 1139 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4 eqid 2725 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5 eqid 2725 . . . 4 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
64, 5pcorev 24998 . . 3 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
73, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8 iirev 24894 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
9 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
109fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
11 fvex 6909 . . . . . . . 8 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
1210, 1, 11fvmpt 7004 . . . . . . 7 ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
14 ax-1cn 11198 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
15 unitssre 13511 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
1615sseli 3972 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
18 nncan 11521 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
1914, 17, 18sylancr 585 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
2019fveq2d 6900 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹𝑦))
2113, 20eqtrd 2765 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹𝑦))
2221mpteq2ia 5252 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦))
23 iiuni 24845 . . . . . 6 (0[,]1) = II
24 eqid 2725 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
2523, 24cnf 23194 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
2625feqmptd 6966 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
2722, 26eqtr4id 2784 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
2827oveq1d 7434 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺))
292simp3d 1141 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
3029sneqd 4642 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
3130xpeq2d 5708 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32 pcorev2.2 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
3331, 32eqtr4di 2783 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
347, 28, 333brtr3d 5180 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  cmin 11476  [,]cicc 13362   Cn ccn 23172  IIcii 24839  phcphtpc 24939  *𝑝cpco 24971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-ii 24841  df-htpy 24940  df-phtpy 24941  df-phtpc 24962  df-pco 24976
This theorem is referenced by:  pcophtb  25000  pi1xfr  25026  pi1xfrcnvlem  25027
  Copyright terms: Public domain W3C validator