Theorem pcorev2 23047

Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcorev2.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})

Assertion

Ref	Expression
pcorev2	⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcorev2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2	1	pcorevcl 23044	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
3	2	simp1d 1136	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
6	4, 5	pcorev 23046	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8		iiuni 22904	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
9		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
10	8, 9	cnf 21271	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶∪ 𝐽)
11	10	feqmptd 6393	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦)))
12		iirev 22948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
13		oveq2 6804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
14	13	fveq2d 6337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
15		fvex 6344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
16	14, 1, 15	fvmpt 6426	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
17	12, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
18		ax-1cn 10200	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		unitssre 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
20	19	sseli 3748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
21	20	recnd 10274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
22		nncan 10516	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
23	18, 21, 22	sylancr 575	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
24	23	fveq2d 6337	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
25	17, 24	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
26	25	mpteq2ia 4875	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑦))
27	11, 26	syl6reqr 2824	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
28	27	oveq1d 6811	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝‘𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺))
29	2	simp3d 1138	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
30	29	sneqd 4329	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
31	30	xpeq2d 5279	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32		pcorev2.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
33	31, 32	syl6eqr 2823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
34	7, 28, 33	3brtr3d 4818	1 ⊢ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {csn 4317  ∪ cuni 4575   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864   × cxp 5248  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   − cmin 10472  [,]cicc 12383   Cn ccn 21249  IIcii 22898   ≃_phcphtpc 22988  *_𝑝cpco 23019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-mulf 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-ii 22900  df-htpy 22989  df-phtpy 22990  df-phtpc 23011  df-pco 23024

This theorem is referenced by:  pcophtb  23048  pi1xfr  23074  pi1xfrcnvlem  23075