MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcorev2 25075
Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev2.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
Assertion
Ref Expression
pcorev2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev2.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
21pcorevcl 25072 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
32simp1d 1141 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4 eqid 2735 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5 eqid 2735 . . . 4 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
64, 5pcorev 25074 . . 3 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
73, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8 iirev 24970 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
9 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
109fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
11 fvex 6920 . . . . . . . 8 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
1210, 1, 11fvmpt 7016 . . . . . . 7 ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
14 ax-1cn 11211 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
15 unitssre 13536 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
1615sseli 3991 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
18 nncan 11536 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
1914, 17, 18sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
2019fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹𝑦))
2113, 20eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹𝑦))
2221mpteq2ia 5251 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦))
23 iiuni 24921 . . . . . 6 (0[,]1) = II
24 eqid 2735 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
2523, 24cnf 23270 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
2625feqmptd 6977 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
2722, 26eqtr4id 2794 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
2827oveq1d 7446 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺))
292simp3d 1143 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
3029sneqd 4643 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
3130xpeq2d 5719 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32 pcorev2.2 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
3331, 32eqtr4di 2793 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
347, 28, 333brtr3d 5179 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  [,]cicc 13387   Cn ccn 23248  IIcii 24915  phcphtpc 25015  *𝑝cpco 25047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-pco 25052
This theorem is referenced by:  pcophtb  25076  pi1xfr  25102  pi1xfrcnvlem  25103
  Copyright terms: Public domain W3C validator