MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorev2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcorev2 23612
Description: Concatenation with the reverse path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev2.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev2.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
Assertion
Ref Expression
pcorev2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pcorev2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev2.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
21pcorevcl 23609 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐺‘1) = (𝐹‘0)))
32simp1d 1139 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4 eqid 2821 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))
5 eqid 2821 . . . 4 ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐺‘1)})
64, 5pcorev 23611 . . 3 (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
73, 6syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐺‘1)}))
8 iiuni 23465 . . . . . 6 (0[,]1) = II
9 eqid 2821 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
108, 9cnf 21830 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
1110feqmptd 6706 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦)))
12 iirev 23513 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ (0[,]1))
13 oveq2 7138 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑦)))
1413fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
15 fvex 6656 . . . . . . . 8 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) ∈ V
1614, 1, 15fvmpt 6741 . . . . . . 7 ((1 − 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
1712, 16syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))))
18 ax-1cn 10572 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
19 unitssre 12867 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℝ
2019sseli 3939 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
2120recnd 10646 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
22 nncan 10892 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
2318, 21, 22sylancr 590 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑦)) = 𝑦)
2423fveq2d 6647 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑦))) = (𝐹𝑦))
2517, 24eqtrd 2856 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(1 − 𝑦)) = (𝐹𝑦))
2625mpteq2ia 5130 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑦))
2711, 26syl6reqr 2875 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦))) = 𝐹)
2827oveq1d 7145 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐺‘(1 − 𝑦)))(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺))
292simp3d 1141 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
3029sneqd 4552 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → {(𝐺‘1)} = {(𝐹‘0)})
3130xpeq2d 5558 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)}))
32 pcorev2.2 . . 3 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘0)})
3331, 32syl6eqr 2874 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((0[,]1) × {(𝐺‘1)}) = 𝑃)
347, 28, 333brtr3d 5070 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  {csn 4540   cuni 4811   class class class wbr 5039  cmpt 5119   × cxp 5526  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515  cmin 10847  [,]cicc 12719   Cn ccn 21808  IIcii 23459  phcphtpc 23553  *𝑝cpco 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-ii 23461  df-htpy 23554  df-phtpy 23555  df-phtpc 23576  df-pco 23589
This theorem is referenced by:  pcophtb  23613  pi1xfr  23639  pi1xfrcnvlem  23640
  Copyright terms: Public domain W3C validator