MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iirevcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iirevcn 24245
Description: The reversion function is a continuous map of the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
iirevcn (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)

Proof of Theorem iirevcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2 dfii2 24197 . . 3 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
3 unitssre 13370 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . 3 (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℝ)
5 iirev 24244 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑥) ∈ (0[,]1))
65adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑥) ∈ (0[,]1))
71cnfldtopon 24098 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
9 1cnd 11108 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
108, 8, 9cnmptc 22965 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
118cnmptid 22964 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
121subcn 24181 . . . . 5 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1312a1i 11 . . . 4 (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
148, 10, 11, 13cnmpt12f 22969 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
151, 2, 2, 4, 4, 6, 14cnmptre 24242 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
1615mptru 1548 1 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1542  wcel 2106  wss 3908  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  cmin 11343  [,]cicc 13221  TopOpenctopn 17263  fldccnfld 20749  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527   ×t ctx 22863  IIcii 24190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-ii 24192
This theorem is referenced by:  htpycom  24291  reparphti  24312  pcorevcl  24340  pcorevlem  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator