MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcvx 25341
Description: The exponential function on the reals is a strictly convex function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
efcvx (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · (exp‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵))))

Proof of Theorem efcvx
StepHypRef Expression
1 simpl1 1193 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpl2 1194 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 1195 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 𝐵)
4 reeff1o 25339 . . . . . . 7 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
5 f1of 6661 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
7 rpssre 12593 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
8 fss 6562 . . . . . 6 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
96, 7, 8mp2an 692 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
10 iccssre 13017 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
111, 2, 10syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
12 fssres2 6587 . . . . 5 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
139, 11, 12sylancr 590 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
14 ax-resscn 10786 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
1511, 14sstrdi 3913 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
16 efcn 25335 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
17 rescncf 23794 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (exp ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
19 cncffvrn 23795 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
2014, 18, 19sylancr 590 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
2113, 20mpbird 260 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
22 reefiso 25340 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+)
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+))
24 ioossre 12996 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
26 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)) = ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)))
27 isores3 7144 . . . . 5 (((exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)) = ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))) → ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))))
29 ssid 3923 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
30 fss 6562 . . . . . . . . 9 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
319, 14, 30mp2an 692 . . . . . . . 8 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ
32 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3332tgioo2 23700 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3432, 33dvres 24808 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
3514, 31, 34mpanl12 702 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
3629, 11, 35sylancr 590 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
3711resabs1d 5882 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)))
3837oveq2d 7229 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))))
39 reelprrecn 10821 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
40 eff 15643 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
41 ssid 3923 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
42 dvef 24877 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
4342dmeqi 5773 . . . . . . . . . . . 12 dom (ℂ D exp) = dom exp
4440fdmi 6557 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = ℂ
4543, 44eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 dom (ℂ D exp) = ℂ
4614, 45sseqtrri 3938 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ dom (ℂ D exp)
47 dvres3 24810 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ exp:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D exp))) → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ))
4839, 40, 41, 46, 47mp4an 693 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ)
4942reseq1i 5847 . . . . . . . . 9 ((ℂ D exp) ↾ ℝ) = (exp ↾ ℝ)
5048, 49eqtri 2765 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (exp ↾ ℝ)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (exp ↾ ℝ))
52 iccntr 23718 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
531, 2, 52syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5451, 53reseq12d 5852 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
5536, 38, 543eqtr3d 2785 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
56 isoeq1 7126 . . . . 5 ((ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))) ↔ ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)))))
5755, 56syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))) ↔ ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)))))
5828, 57mpbird 260 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))))
59 simpr 488 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0(,)1))
60 eqid 2737 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
611, 2, 3, 21, 58, 59, 60dvcvx 24917 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵))))
62 ax-1cn 10787 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
63 ioossre 12996 . . . . . . . . 9 (0(,)1) ⊆ ℝ
6463, 59sseldi 3899 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
6564recnd 10861 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
66 nncan 11107 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
6762, 65, 66sylancr 590 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
6867oveq1d 7228 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) = (𝑇 · 𝐴))
6968oveq1d 7228 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
70 ioossicc 13021 . . . . . . 7 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
7170, 59sseldi 3899 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
72 iirev 23826 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
7371, 72syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
74 lincmb01cmp 13083 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7573, 74syldan 594 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7669, 75eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7776fvresd 6737 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
781rexrd 10883 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
792rexrd 10883 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
801, 2, 3ltled 10980 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴𝐵)
81 lbicc2 13052 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8278, 79, 80, 81syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8382fvresd 6737 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (exp‘𝐴))
8483oveq2d 7229 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝑇 · (exp‘𝐴)))
85 ubicc2 13053 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8678, 79, 80, 85syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8786fvresd 6737 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (exp‘𝐵))
8887oveq2d 7229 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵)) = ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵)))
8984, 88oveq12d 7231 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵))) = ((𝑇 · (exp‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵))))
9061, 77, 893brtr3d 5084 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · (exp‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wss 3866  {cpr 4543   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  cima 5554  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380   Isom wiso 6381  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  +crp 12586  (,)cioo 12935  [,]cicc 12938  expce 15623  TopOpenctopn 16926  topGenctg 16942  fldccnfld 20363  intcnt 21914  cnccncf 23773   D cdv 24760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator