MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcvx 25961
Description: The exponential function on the reals is a strictly convex function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
efcvx (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (expβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < ((𝑇 Β· (expβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (expβ€˜π΅))))

Proof of Theorem efcvx
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpl2 1193 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 simpl3 1194 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 < 𝐡)
4 reeff1o 25959 . . . . . . 7 (exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
5 f1of 6834 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+
7 rpssre 12981 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
8 fss 6735 . . . . . 6 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„+ ∧ ℝ+ βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
96, 7, 8mp2an 691 . . . . 5 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
10 iccssre 13406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
111, 2, 10syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
12 fssres2 6760 . . . . 5 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
139, 11, 12sylancr 588 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
14 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
1511, 14sstrdi 3995 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
16 efcn 25955 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
17 rescncf 24413 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ (exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
19 cncfcdm 24414 . . . . 5 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
2014, 18, 19sylancr 588 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
2113, 20mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
22 reefiso 25960 . . . . . 6 (exp β†Ύ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+)
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (exp β†Ύ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+))
24 ioossre 13385 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
26 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡)) = ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡)))
27 isores3 7332 . . . . 5 (((exp β†Ύ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ ∧ ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡)) = ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡))) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡))))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡))))
29 ssid 4005 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ
30 fss 6735 . . . . . . . . 9 (((exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„‚)
319, 14, 30mp2an 691 . . . . . . . 8 (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„‚
32 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3332tgioo2 24319 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3432, 33dvres 25428 . . . . . . . 8 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (exp β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„‚) ∧ (ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
3514, 31, 34mpanl12 701 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
3629, 11, 35sylancr 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))))
3711resabs1d 6013 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
3837oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = (ℝ D (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))))
39 reelprrecn 11202 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
40 eff 16025 . . . . . . . . . 10 exp:β„‚βŸΆβ„‚
41 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
42 dvef 25497 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‚ D exp) = exp
4342dmeqi 5905 . . . . . . . . . . . 12 dom (β„‚ D exp) = dom exp
4440fdmi 6730 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = β„‚
4543, 44eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 dom (β„‚ D exp) = β„‚
4614, 45sseqtrri 4020 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp)
47 dvres3 25430 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ exp:β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D exp))) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ))
4839, 40, 41, 46, 47mp4an 692 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ)
4942reseq1i 5978 . . . . . . . . 9 ((β„‚ D exp) β†Ύ ℝ) = (exp β†Ύ ℝ)
5048, 49eqtri 2761 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = (exp β†Ύ ℝ)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) = (exp β†Ύ ℝ))
52 iccntr 24337 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
531, 2, 52syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
5451, 53reseq12d 5983 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ ℝ)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡))) = ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
5536, 38, 543eqtr3d 2781 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))
56 isoeq1 7314 . . . . 5 ((ℝ D (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡))) ↔ ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡)))))
5755, 56syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡))) ↔ ((exp β†Ύ ℝ) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡)))))
5828, 57mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ((exp β†Ύ ℝ) β€œ (𝐴(,)𝐡))))
59 simpr 486 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0(,)1))
60 eqid 2733 . . 3 ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))
611, 2, 3, 21, 58, 59, 60dvcvx 25537 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < ((𝑇 Β· ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅))))
62 ax-1cn 11168 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
63 ioossre 13385 . . . . . . . . 9 (0(,)1) βŠ† ℝ
6463, 59sselid 3981 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
6564recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
66 nncan 11489 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
6762, 65, 66sylancr 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
6867oveq1d 7424 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) = (𝑇 Β· 𝐴))
6968oveq1d 7424 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)))
70 ioossicc 13410 . . . . . . 7 (0(,)1) βŠ† (0[,]1)
7170, 59sselid 3981 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0[,]1))
72 iirev 24445 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
7371, 72syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
74 lincmb01cmp 13472 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7573, 74syldan 592 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7669, 75eqeltrrd 2835 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7776fvresd 6912 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = (expβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
781rexrd 11264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
792rexrd 11264 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
801, 2, 3ltled 11362 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
81 lbicc2 13441 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8278, 79, 80, 81syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8382fvresd 6912 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄) = (expβ€˜π΄))
8483oveq2d 7425 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = (𝑇 Β· (expβ€˜π΄)))
85 ubicc2 13442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8678, 79, 80, 85syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8786fvresd 6912 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) = (expβ€˜π΅))
8887oveq2d 7425 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (expβ€˜π΅)))
8984, 88oveq12d 7427 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((exp β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅))) = ((𝑇 Β· (expβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (expβ€˜π΅))))
9061, 77, 893brtr3d 5180 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (expβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < ((𝑇 Β· (expβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (expβ€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  expce 16005  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator