Theorem ge0p1rpd 12964

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0p1rp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ge0p1rp.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ge0p1rp 12923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   ≤ cle 11147  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15432  o1rlimmul  15526  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  nlmvscnlem2  24600  nlmvscnlem1  24601  nghmcn  24660  cnheibor  24881  ipcnlem2  25171  ipcnlem1  25172  pjthlem1  25364  itg2const2  25669  itgulm  26344  abelthlem8  26376  loglesqrt  26698  logdiflbnd  26932  ftalem4  27013  logfacrlim  27162  dchrisumlem3  27429  pntrsumo1  27503  smcnlem  30677  pjhthlem1  31371  faclimlem1  35787  faclimlem3  35789  faclim  35790  iprodfac  35791  isbnd3  37823  totbndbnd  37828  rrntotbnd  37875  aks4d1p1p7  42166  wallispilem4  46165  wallispi  46167  wallispi2lem1  46168  stirlinglem1  46171  stirlinglem4  46174  stirlinglem6  46176  stirlinglem10  46180  stirlinglem11  46181  stirlinglem12  46182  stirlinglem13  46183  fourierdlem30  46234  fourierdlem77  46280