Theorem ge0p1rpd 12967

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0p1rp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ge0p1rp.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ge0p1rp 12926	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  15432  o1rlimmul  15526  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  nlmvscnlem2  24571  nlmvscnlem1  24572  nghmcn  24631  cnheibor  24852  ipcnlem2  25142  ipcnlem1  25143  pjthlem1  25335  itg2const2  25640  itgulm  26315  abelthlem8  26347  loglesqrt  26669  logdiflbnd  26903  ftalem4  26984  logfacrlim  27133  dchrisumlem3  27400  pntrsumo1  27474  smcnlem  30645  pjhthlem1  31339  faclimlem1  35736  faclimlem3  35738  faclim  35739  iprodfac  35740  isbnd3  37784  totbndbnd  37789  rrntotbnd  37836  aks4d1p1p7  42067  wallispilem4  46069  wallispi  46071  wallispi2lem1  46072  stirlinglem1  46075  stirlinglem4  46078  stirlinglem6  46080  stirlinglem10  46084  stirlinglem11  46085  stirlinglem12  46086  stirlinglem13  46087  fourierdlem30  46138  fourierdlem77  46184