Theorem ge0p1rpd 13118

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ge0p1rp.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rpd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ge0p1rp.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ge0p1rp 13077	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271  ℝ⁺crp 13044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-rp 13045

This theorem is used by:  lo1bddrp  15614  o1rlimmul  15708  mertenslem1  15975  mertenslem2  15976  nlmvscnlem2  24912  nlmvscnlem1  24913  nghmcn  24972  cnheibor  25184  ipcnlem2  25473  ipcnlem1  25474  pjthlem1  25666  itg2const2  25970  itgulm  26641  abelthlem8  26672  loglesqrt  26996  logdiflbnd  27229  ftalem4  27310  logfacrlim  27458  dchrisumlem3  27725  pntrsumo1  27799  smcnlem  31164  pjhthlem1  31858  faclimlem1  36309  faclimlem3  36311  faclim  36312  iprodfac  36313  isbnd3  38521  totbndbnd  38526  rrntotbnd  38573  aks4d1p1p7  42927  wallispilem4  46883  wallispi  46885  wallispi2lem1  46886  stirlinglem1  46889  stirlinglem4  46892  stirlinglem6  46894  stirlinglem10  46898  stirlinglem11  46899  stirlinglem12  46900  stirlinglem13  46901  fourierdlem30  46952  fourierdlem77  46998