Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupbnd1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupbnd1f 44987
Description: If a sequence is eventually at most 𝐴, then the limsup is also at most 𝐴. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd1f.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupbnd1f.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
limsupbnd1f.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
limsupbnd1f.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
limsupbnd1f.5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
limsupbnd1f (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   𝐡,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupbnd1f
Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd1f.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
2 limsupbnd1f.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΅βŸΆβ„*)
3 limsupbnd1f.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 limsupbnd1f.5 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴))
5 breq1 5145 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ↔ 𝑖 ≀ 𝑗))
65imbi1d 341 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)))
76ralbidv 3172 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)))
8 nfv 1910 . . . . . . 7 Ⅎ𝑙(𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴)
9 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ≀ 𝑙
10 limsupbnd1f.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝐹
11 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝑙
1210, 11nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
13 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
14 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝐴
1512, 13, 14nfbr 5189 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴
169, 15nfim 1892 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴)
17 breq2 5146 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑙 β†’ (𝑖 ≀ 𝑗 ↔ 𝑖 ≀ 𝑙))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘™))
1918breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴))
2017, 19imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑙 β†’ ((𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴)))
218, 16, 20cbvralw 3298 . . . . . 6 (βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴))
2221a1i 11 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴)))
237, 22bitrd 279 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ βˆ€π‘™ ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴)))
2423cbvrexvw 3230 . . 3 (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐡 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝐴) ↔ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴))
254, 24sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘™ ∈ 𝐡 (𝑖 ≀ 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝐴))
261, 2, 3, 25limsupbnd1 15444 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β„²wnfc 2878  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11123  β„*cxr 11263   ≀ cle 11265  lim supclsp 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-ico 13348  df-limsup 15433
This theorem is referenced by:  limsuppnflem  45011
  Copyright terms: Public domain W3C validator