Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupref 44391
Description: If a sequence is bounded, then the limsup is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupref.j Ⅎ𝑗𝐹
limsupref.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupref.s (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
limsupref.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
limsupref.b (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏))
Assertion
Ref Expression
limsupref (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑗,π‘˜   𝐹,𝑏,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupref
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupref.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 limsupref.s . 2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3 limsupref.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 limsupref.b . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏))
5 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦))
65imbi2d 340 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
76ralbidv 3177 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
8 breq1 5151 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ↔ 𝑖 ≀ 𝑗))
98imbi1d 341 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
109ralbidv 3177 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
11 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)
12 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ≀ π‘₯
13 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗abs
14 limsupref.j . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗𝐹
15 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗π‘₯
1614, 15nffv 6901 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘₯)
1713, 16nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))
18 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
19 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑦
2017, 18, 19nfbr 5195 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦
2112, 20nfim 1899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
22 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝑖 ≀ 𝑗 ↔ 𝑖 ≀ π‘₯))
23 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2423breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
2522, 24imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘₯ β†’ ((𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)))
2611, 21, 25cbvralw 3303 . . . . . 6 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
2726a1i 11 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)))
2810, 27bitrd 278 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)))
297, 28cbvrex2vw 3239 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
304, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
311, 2, 3, 30limsupre 44347 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  supcsup 9434  β„cr 11108  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  abscabs 15180  lim supclsp 15413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator