Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupref 44335
Description: If a sequence is bounded, then the limsup is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupref.j 𝑗𝐹
limsupref.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupref.s (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
limsupref.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
limsupref.b (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑏))
Assertion
Ref Expression
limsupref (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑗,𝑘   𝐹,𝑏,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupref
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupref.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 limsupref.s . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3 limsupref.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
4 limsupref.b . . 3 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑏))
5 breq2 5150 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ((abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦))
65imbi2d 341 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦)))
76ralbidv 3178 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦)))
8 breq1 5149 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝑗𝑖𝑗))
98imbi1d 342 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦) ↔ (𝑖𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦)))
109ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑖𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦)))
11 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑥(𝑖𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦)
12 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑗 𝑖𝑥
13 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑗abs
14 limsupref.j . . . . . . . . . . 11 𝑗𝐹
15 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑥
1614, 15nffv 6897 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝐹𝑥)
1713, 16nffv 6897 . . . . . . . . 9 𝑗(abs‘(𝐹𝑥))
18 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑗
19 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑗𝑦
2017, 18, 19nfbr 5193 . . . . . . . 8 𝑗(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦
2112, 20nfim 1900 . . . . . . 7 𝑗(𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)
22 breq2 5150 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → (𝑖𝑗𝑖𝑥))
23 2fveq3 6892 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑗)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
2423breq1d 5156 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑥 → ((abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
2522, 24imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑥 → ((𝑖𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦) ↔ (𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)))
2611, 21, 25cbvralw 3304 . . . . . 6 (∀𝑗𝐴 (𝑖𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
2726a1i 11 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗𝐴 (𝑖𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)))
2810, 27bitrd 279 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦)))
297, 28cbvrex2vw 3240 . . 3 (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
304, 29sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑖𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑦))
311, 2, 3, 30limsupre 44291 1 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  wrex 3071  wss 3946   class class class wbr 5146  wf 6535  cfv 6539  supcsup 9430  cr 11104  +∞cpnf 11240  *cxr 11242   < clt 11243  cle 11244  abscabs 15176  lim supclsp 15409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-ico 13325  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15410
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator