Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupref 45136
Description: If a sequence is bounded, then the limsup is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupref.j Ⅎ𝑗𝐹
limsupref.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupref.s (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
limsupref.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
limsupref.b (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏))
Assertion
Ref Expression
limsupref (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑗,π‘˜   𝐹,𝑏,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜,𝑏)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupref
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupref.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 limsupref.s . 2 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
3 limsupref.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
4 limsupref.b . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏))
5 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦))
65imbi2d 339 . . . . 5 (𝑏 = 𝑦 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
76ralbidv 3168 . . . 4 (𝑏 = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
8 breq1 5146 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ↔ 𝑖 ≀ 𝑗))
98imbi1d 340 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
109ralbidv 3168 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)))
11 nfv 1909 . . . . . . 7 β„²π‘₯(𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦)
12 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑖 ≀ π‘₯
13 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗abs
14 limsupref.j . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗𝐹
15 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗π‘₯
1614, 15nffv 6902 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘₯)
1713, 16nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))
18 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
19 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑦
2017, 18, 19nfbr 5190 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦
2112, 20nfim 1891 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)
22 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘₯ β†’ (𝑖 ≀ 𝑗 ↔ 𝑖 ≀ π‘₯))
23 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2423breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
2522, 24imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘₯ β†’ ((𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)))
2611, 21, 25cbvralw 3294 . . . . . 6 (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
2726a1i 11 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)))
2810, 27bitrd 278 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦)))
297, 28cbvrex2vw 3230 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) ≀ 𝑏) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
304, 29sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (𝑖 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 𝑦))
311, 2, 3, 30limsupre 45092 1 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  supcsup 9463  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  abscabs 15213  lim supclsp 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator