Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climbddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climbddf 45122
Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climbddf.1 𝑘𝐹
climbddf.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climbddf ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climbddf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 simp2 1134 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3 nfv 1909 . . . . . 6 𝑗(𝐹𝑘) ∈ ℂ
4 climbddf.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
5 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
64, 5nffv 6912 . . . . . . 7 𝑘(𝐹𝑗)
7 nfcv 2899 . . . . . . 7 𝑘
86, 7nfel 2914 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
9 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
109eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
113, 8, 10cbvralw 3301 . . . . 5 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1211biimpi 215 . . . 4 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
13123ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 climbddf.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
1514climbdd 15660 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥)
161, 2, 13, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥)
17 nfcv 2899 . . . . . 6 𝑘abs
1817, 6nffv 6912 . . . . 5 𝑘(abs‘(𝐹𝑗))
19 nfcv 2899 . . . . 5 𝑘
20 nfcv 2899 . . . . 5 𝑘𝑥
2118, 19, 20nfbr 5199 . . . 4 𝑘(abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥
22 nfv 1909 . . . 4 𝑗(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥
23 2fveq3 6907 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑗)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
2423breq1d 5162 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
2521, 22, 24cbvralw 3301 . . 3 (∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
2625rexbii 3091 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
2716, 26sylib 217 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2879  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  cfv 6553  cc 11146  cr 11147  cle 11289  cz 12598  cuz 12862  abscabs 15223  cli 15470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474
This theorem is referenced by:  climinf2mpt  45149  climinf3  45151
  Copyright terms: Public domain W3C validator