Theorem climbddf 45642

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climbddf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climbddf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbddf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climbddf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ
4		climbddf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
6	4, 5	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
7		nfcv 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
8	6, 7	nfel 2917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
9		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	9	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
11	3, 8, 10	cbvralw 3303	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
12	11	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		climbddf.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	climbdd 15704	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥)
16	1, 2, 13, 15	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥)
17		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘abs
18	17, 6	nffv 6916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘(𝐹‘𝑗))
19		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
20		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
21	18, 19, 20	nfbr 5194	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥
22		nfv 1911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥
23		2fveq3 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑗)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
24	23	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
25	21, 22, 24	cbvralw 3303	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
26	25	rexbii 3091	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
27	16, 26	sylib 218	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  ℂcc 11150  ℝcr 11151   ≤ cle 11293  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  abscabs 15269   ⇝ cli 15516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  45669  climinf3  45671