Theorem climbddf 41397

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climbddf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climbddf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbddf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climbddf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1116	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp2 1117	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3		nfv 1873	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ
4		climbddf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		nfcv 2933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
6	4, 5	nffv 6509	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
7		nfcv 2933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
8	6, 7	nfel 2945	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
9		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	9	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
11	3, 8, 10	cbvral 3380	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
12	11	biimpi 208	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant3 1115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		climbddf.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	climbdd 14889	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥)
16	1, 2, 13, 15	syl3anc 1351	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥)
17		nfcv 2933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘abs
18	17, 6	nffv 6509	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘(𝐹‘𝑗))
19		nfcv 2933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
20		nfcv 2933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
21	18, 19, 20	nfbr 4976	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥
22		nfv 1873	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥
23		2fveq3 6504	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑗)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
24	23	breq1d 4939	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
25	21, 22, 24	cbvral 3380	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
26	25	rexbii 3195	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
27	16, 26	sylib 210	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Ⅎwnfc 2917  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  ‘cfv 6188  ℂcc 10333  ℝcr 10334   ≤ cle 10475  ℤcz 11793  ℤ_≥cuz 12058  abscabs 14454   ⇝ cli 14702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  41424  climinf3  41426