Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climbddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climbddf 41397
Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climbddf.1 𝑘𝐹
climbddf.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climbddf ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climbddf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1116 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 simp2 1117 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3 nfv 1873 . . . . . 6 𝑗(𝐹𝑘) ∈ ℂ
4 climbddf.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐹
5 nfcv 2933 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
64, 5nffv 6509 . . . . . . 7 𝑘(𝐹𝑗)
7 nfcv 2933 . . . . . . 7 𝑘
86, 7nfel 2945 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
9 fveq2 6499 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
109eleq1d 2851 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
113, 8, 10cbvral 3380 . . . . 5 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1211biimpi 208 . . . 4 (∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
13123ad2ant3 1115 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 climbddf.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
1514climbdd 14889 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥)
161, 2, 13, 15syl3anc 1351 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥)
17 nfcv 2933 . . . . . 6 𝑘abs
1817, 6nffv 6509 . . . . 5 𝑘(abs‘(𝐹𝑗))
19 nfcv 2933 . . . . 5 𝑘
20 nfcv 2933 . . . . 5 𝑘𝑥
2118, 19, 20nfbr 4976 . . . 4 𝑘(abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥
22 nfv 1873 . . . 4 𝑗(abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥
23 2fveq3 6504 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑗)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
2423breq1d 4939 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥))
2521, 22, 24cbvral 3380 . . 3 (∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
2625rexbii 3195 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐹𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
2716, 26sylib 210 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘𝑍 (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wnfc 2917  wral 3089  wrex 3090   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  cfv 6188  cc 10333  cr 10334  cle 10475  cz 11793  cuz 12058  abscabs 14454  cli 14702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706
This theorem is referenced by:  climinf2mpt  41424  climinf3  41426
  Copyright terms: Public domain W3C validator