Theorem climbddf 44972

Description: A converging sequence of complex numbers is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climbddf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climbddf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climbddf	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem climbddf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
3		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ
4		climbddf.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		nfcv 2897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
6	4, 5	nffv 6895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
7		nfcv 2897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
8	6, 7	nfel 2911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
9		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	9	eleq1d 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
11	3, 8, 10	cbvralw 3297	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
12	11	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
13	12	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		climbddf.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
15	14	climbdd 15624	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥)
16	1, 2, 13, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥)
17		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘abs
18	17, 6	nffv 6895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘(𝐹‘𝑗))
19		nfcv 2897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
20		nfcv 2897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
21	18, 19, 20	nfbr 5188	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥
22		nfv 1909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥
23		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑗)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
24	23	breq1d 5151	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥))
25	21, 22, 24	cbvralw 3297	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
26	25	rexbii 3088	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑗)) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)
27	16, 26	sylib 217	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ‘cfv 6537  ℂcc 11110  ℝcr 11111   ≤ cle 11253  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  abscabs 15187   ⇝ cli 15434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438

This theorem is referenced by:  climinf2mpt  44999  climinf3  45001