Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt3 43824
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. TODO: this is more general than climeldmeqmpt 43803 and should replace it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt3.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt3.a (𝜑𝐴𝑉)
climeldmeqmpt3.c (𝜑𝐶𝑊)
climeldmeqmpt3.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt3.s (𝜑𝑍𝐶)
climeldmeqmpt3.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈)
climeldmeqmpt3.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt3 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt3
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt3.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeldmeqmpt3.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
32mptexd 7170 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climeldmeqmpt3.c . . 3 (𝜑𝐶𝑊)
54mptexd 7170 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climeldmeqmpt3.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climeldmeqmpt3.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1902 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcsb1v 3878 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
11 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1211nfcsb1 3877 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1310, 12nfeq 2918 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1899 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1w 2820 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 629 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3867 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climeldmeqmpt3.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvarfv 2233 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climeldmeqmpt3.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
2423sselda 3942 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
25 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘𝑈
2610, 25nfel 2919 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑈
279, 26nfim 1899 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)
2817eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑈𝑗 / 𝑘𝐵𝑈))
2916, 28imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)))
30 climeldmeqmpt3.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈)
3127, 29, 30chvarfv 2233 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)
3211nfcsb1 3877 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
33 eqid 2737 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
3411, 32, 17, 33fvmptf 6966 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑈) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3524, 31, 34syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
36 climeldmeqmpt3.s . . . . 5 (𝜑𝑍𝐶)
3736sselda 3942 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
3822, 31eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑈)
39 eqid 2737 . . . . 5 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
4011, 12, 18, 39fvmptf 6966 . . . 4 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑈) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
4137, 38, 40syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
4222, 35, 413eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
431, 3, 5, 6, 42climeldmeq 43800 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  Vcvv 3443  csb 3853  wss 3908  cmpt 5186  dom cdm 5631  cfv 6493  cz 12457  cuz 12721  cli 15325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14943  df-re 14944  df-im 14945  df-sqrt 15079  df-abs 15080  df-clim 15329
This theorem is referenced by:  smflimmpt  44945
  Copyright terms: Public domain W3C validator