Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climeldmeqmpt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climeldmeqmpt3 45644
Description: Two functions that are eventually equal, either both are convergent or both are divergent. TODO: this is more general than climeldmeqmpt 45623 and should replace it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climeldmeqmpt3.k 𝑘𝜑
climeldmeqmpt3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeldmeqmpt3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeldmeqmpt3.a (𝜑𝐴𝑉)
climeldmeqmpt3.c (𝜑𝐶𝑊)
climeldmeqmpt3.i (𝜑𝑍𝐴)
climeldmeqmpt3.s (𝜑𝑍𝐶)
climeldmeqmpt3.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈)
climeldmeqmpt3.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climeldmeqmpt3 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeldmeqmpt3
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeldmeqmpt3.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeldmeqmpt3.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
32mptexd 7243 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climeldmeqmpt3.c . . 3 (𝜑𝐶𝑊)
54mptexd 7243 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climeldmeqmpt3.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climeldmeqmpt3.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1911 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1896 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcsb1v 3932 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
11 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1211nfcsb1 3931 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1310, 12nfeq 2916 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1893 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1w 2821 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3921 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3921 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2750 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climeldmeqmpt3.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvarfv 2237 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climeldmeqmpt3.i . . . . 5 (𝜑𝑍𝐴)
2423sselda 3994 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
25 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝑈
2610, 25nfel 2917 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑈
279, 26nfim 1893 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)
2817eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑈𝑗 / 𝑘𝐵𝑈))
2916, 28imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)))
30 climeldmeqmpt3.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈)
3127, 29, 30chvarfv 2237 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)
3211nfcsb1 3931 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
33 eqid 2734 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
3411, 32, 17, 33fvmptf 7036 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑈) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3524, 31, 34syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
36 climeldmeqmpt3.s . . . . 5 (𝜑𝑍𝐶)
3736sselda 3994 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
3822, 31eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑈)
39 eqid 2734 . . . . 5 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
4011, 12, 18, 39fvmptf 7036 . . . 4 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑈) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
4137, 38, 40syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
4222, 35, 413eqtr4d 2784 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
431, 3, 5, 6, 42climeldmeq 45620 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑘𝐶𝐷) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  Vcvv 3477  csb 3907  wss 3962  cmpt 5230  dom cdm 5688  cfv 6562  cz 12610  cuz 12875  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520
This theorem is referenced by:  smflimmpt  46765
  Copyright terms: Public domain W3C validator