Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupcl 14822
 Description: Closure of the superior limit. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
limsupcl (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem limsupcl
Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3511 . 2 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
2 df-limsup 14820 . . . 4 lim sup = (𝑓 ∈ V ↦ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
3 eqid 2819 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4 inss2 4204 . . . . . . . 8 ((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5 supxrcl 12700 . . . . . . . 8 (((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
73, 6fmpti 6869 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*
8 frn 6513 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ* → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
10 infxrcl 12718 . . . . 5 (ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝑓 ∈ V → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
122, 11fmpti 6869 . . 3 lim sup:V⟶ℝ*
1312ffvelrni 6843 . 2 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
141, 13syl 17 1 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549   “ cima 5551  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  infcinf 8897  ℝcr 10528  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667  [,)cico 12732  lim supclsp 14819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-limsup 14820 This theorem is referenced by:  limsuplt  14828  limsupbnd1  14831  caucvgrlem  15021  limsupre  41911  limsupcld  41960  limsupcli  42027  limsupval4  42064  liminfreuzlem  42072
 Copyright terms: Public domain W3C validator