MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupcl 15506
Description: Closure of the superior limit. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
limsupcl (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem limsupcl
Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3499 . 2 (𝐹𝑉𝐹 ∈ V)
2 df-limsup 15504 . . . 4 lim sup = (𝑓 ∈ V ↦ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
3 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4 inss2 4246 . . . . . . . 8 ((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5 supxrcl 13354 . . . . . . . 8 (((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
73, 6fmpti 7132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*
8 frn 6744 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ* → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
10 infxrcl 13372 . . . . 5 (ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10mp1i 13 . . . 4 (𝑓 ∈ V → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
122, 11fmpti 7132 . . 3 lim sup:V⟶ℝ*
1312ffvelcdmi 7103 . 2 (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
141, 13syl 17 1 (𝐹𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  cmpt 5231  ran crn 5690  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  infcinf 9479  cr 11152  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  [,)cico 13386  lim supclsp 15503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-limsup 15504
This theorem is referenced by:  limsuplt  15512  limsupbnd1  15515  caucvgrlem  15706  limsupre  45597  limsupcld  45646  limsupcli  45713  limsupval4  45750  liminfreuzlem  45758
  Copyright terms: Public domain W3C validator