Theorem limsupcl 15470

Description: Closure of the superior limit. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
limsupcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem limsupcl

Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3481	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
2		df-limsup 15468	. . . 4 ⊢ lim sup = (𝑓 ∈ V ↦ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
3		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4		inss2 4230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5		supxrcl 13343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	3, 6	fmpti 7125	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*
8		frn 6734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ* → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
10		infxrcl 13361	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ V → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	2, 11	fmpti 7125	. . 3 ⊢ lim sup:V⟶ℝ*
13	12	ffvelcdmi 7096	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
14	1, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3945   ⊆ wss 3946   ↦ cmpt 5235  ran crn 5682   “ cima 5684  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  supcsup 9479  infcinf 9480  ℝcr 11153  +∞cpnf 11291  ℝ^*cxr 11293   < clt 11294  [,)cico 13375  lim supclsp 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-po 5593  df-so 5594  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-limsup 15468

This theorem is referenced by:  limsuplt  15476  limsupbnd1  15479  caucvgrlem  15672  limsupre  45199  limsupcld  45248  limsupcli  45315  limsupval4  45352  liminfreuzlem  45360