Theorem limsupcl 15649

Description: Closure of the superior limit. (Contributed by NM, 26-Oct-2005.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
limsupcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem limsupcl

Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
2		df-limsup 15647	. . . 4 ⊢ lim sup = (𝑓 ∈ V ↦ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
4		inss2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
5		supxrcl 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	4, 5	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	3, 6	fmpti 7117	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ*
8		frn 6722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )):ℝ⟶ℝ* → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ*
10		infxrcl 13471	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ V → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝑓 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	2, 11	fmpti 7117	. . 3 ⊢ lim sup:V⟶ℝ*
13	12	ffvelcdmi 7088	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
14	1, 13	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652   “ cima 5654  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  supcsup 9439  infcinf 9440  ℝcr 11206  +∞cpnf 11347  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  [,)cico 13485  lim supclsp 15646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-limsup 15647

This theorem is used by:  limsuplt  15655  limsupbnd1  15658  caucvgrlem  15849  limsupre  46759  limsupcld  46808  limsupcli  46875  limsupval4  46912  liminfreuzlem  46920