Theorem limsuppnfd 45625

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfd.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfd.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfd	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnfd

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		limsuppnfd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3		limsuppnfd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
4		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5	4	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
6	5	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
7		breq1 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
8	7	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
9	8	rexbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
11		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑙
12		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
13		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
14		limsuppnfd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
15		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
16	14, 15	nffv 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
17	12, 13, 16	nfbr 5213	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
18	11, 17	nfan 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19		breq2 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑙))
20		fveq2 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
21	20	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
22	19, 21	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
23	10, 18, 22	cbvrexw 3313	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
25	9, 24	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
26	6, 25	cbvral2vw 3247	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	3, 26	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
29	1, 2, 27, 28	limsuppnfdlem 45624	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnfc 2893  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   “ cima 5703  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  supcsup 9511  ℝcr 11185  +∞cpnf 11323  ℝ^*cxr 11325   < clt 11326   ≤ cle 11327  [,)cico 13411  lim supclsp 15518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-ico 13415  df-limsup 15519

This theorem is referenced by:  limsupub  45627  limsuppnflem  45633