Theorem limsuppnfd 46493

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfd.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfd.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfd	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnfd

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		limsuppnfd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3		limsuppnfd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
4		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5	4	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
6	5	rexbidv 3191	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
7		breq1 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
8	7	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
9	8	rexbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
11		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑙
12		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
13		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
14		limsuppnfd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
15		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
16	14, 15	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
17	12, 13, 16	nfbr 5160	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
18	11, 17	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19		breq2 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑙))
20		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
21	20	breq2d 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
22	19, 21	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
23	10, 18, 22	cbvrexw 3310	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
25	9, 24	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
26	6, 25	cbvral2vw 3249	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	3, 26	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28		eqid 2765	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
29	1, 2, 27, 28	limsuppnfdlem 46492	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnfc 2912  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  supcsup 9407  ℝcr 11118  +∞cpnf 11259  ℝ^*cxr 11261   < clt 11262   ≤ cle 11263  [,)cico 13394  lim supclsp 15549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-ico 13398  df-limsup 15550

This theorem is used by:  limsupub  46495  limsuppnflem  46501