Theorem limsuppnfd 45323

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfd.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfd.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfd	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnfd

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		limsuppnfd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3		limsuppnfd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
4		breq1 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5	4	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
6	5	rexbidv 3169	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
7		breq1 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
8	7	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
9	8	rexbidv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
11		nfv 1910	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑙
12		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
13		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
14		limsuppnfd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
15		nfcv 2892	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
16	14, 15	nffv 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
17	12, 13, 16	nfbr 5200	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
18	11, 17	nfan 1895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19		breq2 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑙))
20		fveq2 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
21	20	breq2d 5165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
22	19, 21	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
23	10, 18, 22	cbvrexw 3295	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
25	9, 24	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
26	6, 25	cbvral2vw 3229	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	3, 26	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28		eqid 2726	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
29	1, 2, 27, 28	limsuppnfdlem 45322	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236   “ cima 5685  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  supcsup 9483  ℝcr 11157  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297   < clt 11298   ≤ cle 11299  [,)cico 13380  lim supclsp 15472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-ico 13384  df-limsup 15473

This theorem is referenced by:  limsupub  45325  limsuppnflem  45331