Theorem limsuppnfd 46711

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfd.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfd.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfd	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnfd

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		limsuppnfd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3		limsuppnfd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
4		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5	4	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
6	5	rexbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
7		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
8	7	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
9	8	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
11		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑙
12		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
13		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
14		limsuppnfd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
15		nfcv 2923	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
16	14, 15	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
17	12, 13, 16	nfbr 5152	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
18	11, 17	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19		breq2 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑙))
20		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
21	20	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
22	19, 21	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
23	10, 18, 22	cbvrexw 3306	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
25	9, 24	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
26	6, 25	cbvral2vw 3245	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	3, 26	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
29	1, 2, 27, 28	limsuppnfdlem 46710	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   “ cima 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9432  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  [,)cico 13478  lim supclsp 15637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-ico 13482  df-limsup 15638

This theorem is used by:  limsupub  46713  limsuppnflem  46719