Theorem limsuppnfd 45967

Description: If the restriction of a function to every upper interval is unbounded above, its lim sup is +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsuppnfd.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsuppnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsuppnfd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsuppnfd.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
limsuppnfd	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsuppnfd

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsuppnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		limsuppnfd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3		limsuppnfd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
4		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5	4	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
6	5	rexbidv 3160	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
7		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑗))
8	7	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
9	8	rexbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))))
10		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙(𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗))
11		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑙
12		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
13		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
14		limsuppnfd.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
15		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
16	14, 15	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
17	12, 13, 16	nfbr 5145	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
18	11, 17	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19		breq2 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑖 ≤ 𝑗 ↔ 𝑖 ≤ 𝑙))
20		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
21	20	breq2d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
22	19, 21	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
23	10, 18, 22	cbvrexw 3279	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
25	9, 24	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))))
26	6, 25	cbvral2vw 3218	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
27	3, 26	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙 ∈ 𝐴 (𝑖 ≤ 𝑙 ∧ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
28		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
29	1, 2, 27, 28	limsuppnfdlem 45966	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  supcsup 9345  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  [,)cico 13265  lim supclsp 15395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-ico 13269  df-limsup 15396

This theorem is referenced by:  limsupub  45969  limsuppnflem  45975