Theorem hdmaprnlem6N 42729

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 18, G(u'+s) = G(u'+t). (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaprnlem1.pt	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem6N	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))

Proof of Theorem hdmaprnlem6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.pt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
2		hdmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmaprnlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hdmaprnlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmaprnlem1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmaprnlem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
8		hdmaprnlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmaprnlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	2, 3, 10	dvhlmod 41985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
13		hdmaprnlem1.se	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
14		hdmaprnlem1.ve	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
15		hdmaprnlem1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
16		hdmaprnlem1.un	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
17		hdmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
18		hdmaprnlem1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
19		hdmaprnlem1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
20		hdmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
21		hdmaprnlem1.t2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21	hdmaprnlem4tN 42727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)
23		hdmaprnlem1.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
24	4, 23	lmodvacl 21063	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉)
25	11, 12, 22, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉)
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25	hdmap10 42715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝑢 + 𝑡))}))
27	2, 3, 4, 23, 6, 20, 9, 10, 12, 22	hdmapadd 42718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑢 + 𝑡)) = ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)))
28	27	sneqd 4599	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘(𝑢 + 𝑡))} = {((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))})
29	28	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(𝑢 + 𝑡))}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))
30	1, 26, 29	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  0_gc0g 17528  LModclmod 21048  LSpanclspn 21159  HLchlt 40225  LHypclh 40859  DVecHcdvh 41953  LCDualclcd 42461  mapdcmpd 42499  HDMapchdma 42667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39828

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-oppg 19477  df-lsm 19767  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-dvr 20546  df-nzr 20677  df-rlreg 20860  df-domn 20861  df-drng 20896  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-lsp 21160  df-lvec 21291  df-lsatoms 39851  df-lshyp 39852  df-lcv 39894  df-lfl 39933  df-lkr 39961  df-ldual 39999  df-oposet 40051  df-ol 40053  df-oml 40054  df-covers 40141  df-ats 40142  df-atl 40173  df-cvlat 40197  df-hlat 40226  df-llines 40373  df-lplanes 40374  df-lvols 40375  df-lines 40376  df-psubsp 40378  df-pmap 40379  df-padd 40671  df-lhyp 40863  df-laut 40864  df-ldil 40979  df-ltrn 40980  df-trl 41034  df-tgrp 41618  df-tendo 41630  df-edring 41632  df-dveca 41878  df-disoa 41904  df-dvech 41954  df-dib 42014  df-dic 42048  df-dih 42104  df-doch 42223  df-djh 42270  df-lcdual 42462  df-mapd 42500  df-hvmap 42632  df-hdmap1 42668  df-hdmap 42669

This theorem is used by:  hdmaprnlem7N  42730