Theorem hdmaprnlem6N 42688

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 18, G(u'+s) = G(u'+t). (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaprnlem1.pt	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem6N	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))

Proof of Theorem hdmaprnlem6N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.pt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
2		hdmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		hdmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmaprnlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hdmaprnlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmaprnlem1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmaprnlem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
8		hdmaprnlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmaprnlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	2, 3, 10	dvhlmod 41944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
13		hdmaprnlem1.se	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
14		hdmaprnlem1.ve	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
15		hdmaprnlem1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
16		hdmaprnlem1.un	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
17		hdmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
18		hdmaprnlem1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
19		hdmaprnlem1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
20		hdmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
21		hdmaprnlem1.t2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
22	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21	hdmaprnlem4tN 42686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)
23		hdmaprnlem1.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
24	4, 23	lmodvacl 21048	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑡 ∈ 𝑉) → (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉)
25	11, 12, 22, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉)
26	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25	hdmap10 42674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝑢 + 𝑡))}))
27	2, 3, 4, 23, 6, 20, 9, 10, 12, 22	hdmapadd 42677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑢 + 𝑡)) = ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)))
28	27	sneqd 4603	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘(𝑢 + 𝑡))} = {((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))})
29	28	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(𝑢 + 𝑡))}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))
30	1, 26, 29	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  0_gc0g 17516  LModclmod 21033  LSpanclspn 21144  HLchlt 40184  LHypclh 40818  DVecHcdvh 41912  LCDualclcd 42420  mapdcmpd 42458  HDMapchdma 42626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-0g 17518  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-oppg 19462  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-nzr 20662  df-rlreg 20845  df-domn 20846  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-lsatoms 39810  df-lshyp 39811  df-lcv 39853  df-lfl 39892  df-lkr 39920  df-ldual 39958  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993  df-tgrp 41577  df-tendo 41589  df-edring 41591  df-dveca 41837  df-disoa 41863  df-dvech 41913  df-dib 41973  df-dic 42007  df-dih 42063  df-doch 42182  df-djh 42229  df-lcdual 42421  df-mapd 42459  df-hvmap 42591  df-hdmap1 42627  df-hdmap 42628

This theorem is used by:  hdmaprnlem7N  42689