Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem7b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem7b 37996
Description: Lemma for hdmapg 37998. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem7.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem7.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem7.p + = (+g𝑈)
hdmapglem7.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem7.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem7.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem7.a = (LSSum‘𝑈)
hdmapglem7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapglem7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem7.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmapglem7.t × = (.r𝑅)
hdmapglem7.z 0 = (0g𝑅)
hdmapglem7.c = (+g𝑅)
hdmapglem7.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7b.u (𝜑𝑥 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem7b.v (𝜑𝑦 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapglem7b.k (𝜑𝑚𝐵)
hdmapglem7b.l (𝜑𝑛𝐵)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7b (𝜑 → ((𝑆‘((𝑚 · 𝐸) + 𝑥))‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))

Proof of Theorem hdmapglem7b
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapglem7.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapglem7.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmapglem7.p . . 3 + = (+g𝑈)
5 hdmapglem7.q . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
6 hdmapglem7.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
7 hdmapglem7.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 hdmapglem7.c . . 3 = (+g𝑅)
9 hdmapglem7.t . . 3 × = (.r𝑅)
10 hdmapglem7.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapglem7.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
12 hdmapglem7.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
131, 2, 12dvhlmod 37178 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
14 hdmapglem7b.l . . . . 5 (𝜑𝑛𝐵)
15 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16 eqid 2825 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 eqid 2825 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
18 hdmapglem7.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
191, 15, 16, 2, 3, 17, 18, 12dvheveccl 37180 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2019eldifad 3810 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑉)
213, 6, 5, 7lmodvscl 19236 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑛𝐵𝐸𝑉) → (𝑛 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2213, 14, 20, 21syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2320snssd 4558 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
24 hdmapglem7.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
251, 2, 3, 24dochssv 37423 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
2612, 23, 25syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
27 hdmapglem7b.v . . . . 5 (𝜑𝑦 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2826, 27sseldd 3828 . . . 4 (𝜑𝑦𝑉)
293, 4lmodvacl 19233 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑛 · 𝐸) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑛 · 𝐸) + 𝑦) ∈ 𝑉)
3013, 22, 28, 29syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 · 𝐸) + 𝑦) ∈ 𝑉)
31 hdmapglem7b.u . . . 4 (𝜑𝑥 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
3226, 31sseldd 3828 . . 3 (𝜑𝑥𝑉)
33 hdmapglem7b.k . . 3 (𝜑𝑚𝐵)
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 30, 20, 32, 33hdmapgln2 37980 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑚 · 𝐸) + 𝑥))‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 28, 20, 14hdmapln1 37974 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) ((𝑆𝐸)‘𝑦)))
36 eqid 2825 . . . . . . . . 9 ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
37 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
381, 18, 36, 10, 12, 2, 6, 37hdmapevec2 37904 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐸) = (1r𝑅))
3938oveq2d 6921 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) = (𝑛 × (1r𝑅)))
406lmodring 19227 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4113, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
427, 9, 37ringridm 18926 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛𝐵) → (𝑛 × (1r𝑅)) = 𝑛)
4341, 14, 42syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 × (1r𝑅)) = 𝑛)
4439, 43eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) = 𝑛)
45 hdmapglem7.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
461, 18, 24, 2, 3, 6, 7, 9, 45, 10, 12, 27hdmapinvlem1 37986 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝑦) = 0 )
4744, 46oveq12d 6923 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) ((𝑆𝐸)‘𝑦)) = (𝑛 0 ))
48 ringgrp 18906 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4941, 48syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
507, 8, 45grprid 17807 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑛𝐵) → (𝑛 0 ) = 𝑛)
5149, 14, 50syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 0 ) = 𝑛)
5235, 47, 513eqtrd 2865 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = 𝑛)
5352oveq1d 6920 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) × (𝐺𝑚)) = (𝑛 × (𝐺𝑚)))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 28, 32, 14hdmapln1 37974 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
551, 18, 24, 2, 3, 6, 7, 9, 45, 10, 12, 31hdmapinvlem2 37987 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘𝐸) = 0 )
5655oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) = (𝑛 × 0 ))
577, 9, 45ringrz 18942 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛𝐵) → (𝑛 × 0 ) = 0 )
5841, 14, 57syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 × 0 ) = 0 )
5956, 58eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) = 0 )
6059oveq1d 6920 . . . 4 (𝜑 → ((𝑛 × ((𝑆𝑥)‘𝐸)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)) = ( 0 ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
611, 2, 3, 6, 7, 10, 12, 28, 32hdmapipcl 37973 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐵)
627, 8, 45grplid 17806 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑆𝑥)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 ((𝑆𝑥)‘𝑦)) = ((𝑆𝑥)‘𝑦))
6349, 61, 62syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ( 0 ((𝑆𝑥)‘𝑦)) = ((𝑆𝑥)‘𝑦))
6454, 60, 633eqtrd 2865 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑆𝑥)‘𝑦))
6553, 64oveq12d 6923 . 2 (𝜑 → ((((𝑆𝐸)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦))) = ((𝑛 × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
6634, 65eqtrd 2861 1 (𝜑 → ((𝑆‘((𝑚 · 𝐸) + 𝑥))‘((𝑛 · 𝐸) + 𝑦)) = ((𝑛 × (𝐺𝑚)) ((𝑆𝑥)‘𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798  {csn 4397  cop 4403   I cid 5249  cres 5344  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  .rcmulr 16306  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  Grpcgrp 17776  LSSumclsm 18400  1rcur 18855  Ringcrg 18901  LModclmod 19219  LSpanclspn 19330  HLchlt 35418  LHypclh 36052  LTrncltrn 36169  DVecHcdvh 37146  ocHcoch 37415  HVMapchvm 37824  HDMapchdma 37860  HGMapchg 37951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35021
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35044  df-lshyp 35045  df-lcv 35087  df-lfl 35126  df-lkr 35154  df-ldual 35192  df-oposet 35244  df-ol 35246  df-oml 35247  df-covers 35334  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419  df-llines 35566  df-lplanes 35567  df-lvols 35568  df-lines 35569  df-psubsp 35571  df-pmap 35572  df-padd 35864  df-lhyp 36056  df-laut 36057  df-ldil 36172  df-ltrn 36173  df-trl 36227  df-tgrp 36811  df-tendo 36823  df-edring 36825  df-dveca 37071  df-disoa 37097  df-dvech 37147  df-dib 37207  df-dic 37241  df-dih 37297  df-doch 37416  df-djh 37463  df-lcdual 37655  df-mapd 37693  df-hvmap 37825  df-hdmap1 37861  df-hdmap 37862  df-hgmap 37952
This theorem is referenced by:  hdmapglem7  37997
  Copyright terms: Public domain W3C validator