Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem10 39475
 Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 line 38. (Contributed by NM, 3-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem10 (𝜑𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem10
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem8.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem8.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmap14lem8.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 hdmap14lem8.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap14lem8.e . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
9 eqid 2758 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
10 hdmap14lem8.p . . 3 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
11 hdmap14lem8.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝑃)
12 hdmap14lem8.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap14lem8.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
141, 2, 13dvhlmod 38708 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
15 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3870 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
17 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1817eldifad 3870 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
19 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
203, 19lmodvacl 19716 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2114, 16, 18, 20syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
22 hdmap14lem8.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 22hdmap14lem2a 39465 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
24 hdmap14lem8.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
25 hdmap14lem8.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
26 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
27133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28153ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29173ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30223ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐹𝐵)
31 hdmap14lem8.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
32313ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐺𝐴)
33 hdmap14lem8.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝐴)
34333ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐼𝐴)
35 hdmap14lem8.xx . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
36353ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
37 hdmap14lem8.yy . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
38373ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
39 hdmap14lem8.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40393ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑔𝐴)
42 simp3 1135 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
431, 2, 3, 19, 4, 24, 25, 5, 6, 7, 26, 8, 10, 11, 12, 27, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 41, 42hdmap14lem9 39474 . . 3 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐺 = 𝐼)
4443rexlimdv3a 3210 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) → 𝐺 = 𝐼))
4523, 44mpd 15 1 (𝜑𝐺 = 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3855  {csn 4522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627  0gc0g 16771  LModclmod 19702  LSpanclspn 19811  HLchlt 36948  LHypclh 37582  DVecHcdvh 38676  LCDualclcd 39184  HDMapchdma 39390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36551 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-oppg 18541  df-lsm 18828  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943  df-lsatoms 36574  df-lshyp 36575  df-lcv 36617  df-lfl 36656  df-lkr 36684  df-ldual 36722  df-oposet 36774  df-ol 36776  df-oml 36777  df-covers 36864  df-ats 36865  df-atl 36896  df-cvlat 36920  df-hlat 36949  df-llines 37096  df-lplanes 37097  df-lvols 37098  df-lines 37099  df-psubsp 37101  df-pmap 37102  df-padd 37394  df-lhyp 37586  df-laut 37587  df-ldil 37702  df-ltrn 37703  df-trl 37757  df-tgrp 38341  df-tendo 38353  df-edring 38355  df-dveca 38601  df-disoa 38627  df-dvech 38677  df-dib 38737  df-dic 38771  df-dih 38827  df-doch 38946  df-djh 38993  df-lcdual 39185  df-mapd 39223  df-hvmap 39355  df-hdmap1 39391  df-hdmap 39392 This theorem is referenced by:  hdmap14lem11  39476
 Copyright terms: Public domain W3C validator