Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem10 40736
Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 line 38. (Contributed by NM, 3-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem10 (𝜑𝐺 = 𝐼)

Proof of Theorem hdmap14lem10
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap14lem8.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
5 hdmap14lem8.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 hdmap14lem8.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 hdmap14lem8.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap14lem8.e . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
9 eqid 2732 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
10 hdmap14lem8.p . . 3 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
11 hdmap14lem8.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝑃)
12 hdmap14lem8.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap14lem8.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
141, 2, 13dvhlmod 39969 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
15 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3959 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
17 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1817eldifad 3959 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
19 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
203, 19lmodvacl 20478 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2114, 16, 18, 20syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
22 hdmap14lem8.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 22hdmap14lem2a 40726 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
24 hdmap14lem8.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
25 hdmap14lem8.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
26 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
27133ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28153ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29173ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30223ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐹𝐵)
31 hdmap14lem8.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
32313ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐺𝐴)
33 hdmap14lem8.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝐴)
34333ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐼𝐴)
35 hdmap14lem8.xx . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
36353ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
37 hdmap14lem8.yy . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
38373ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
39 hdmap14lem8.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
40393ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41 simp2 1137 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝑔𝐴)
42 simp3 1138 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
431, 2, 3, 19, 4, 24, 25, 5, 6, 7, 26, 8, 10, 11, 12, 27, 28, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 41, 42hdmap14lem9 40735 . . 3 ((𝜑𝑔𝐴 ∧ (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)))) → 𝐺 = 𝐼)
4443rexlimdv3a 3159 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐴 (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑔 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) → 𝐺 = 𝐼))
4523, 44mpd 15 1 (𝜑𝐺 = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  cdif 3944  {csn 4627  cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  LCDualclcd 40445  HDMapchdma 40651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835  df-lcv 37877  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254  df-lcdual 40446  df-mapd 40484  df-hvmap 40616  df-hdmap1 40652  df-hdmap 40653
This theorem is referenced by:  hdmap14lem11  40737
  Copyright terms: Public domain W3C validator