Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6e 38942
Description: Lemmma for hdmap1l6 38949. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6e
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.p . 2 + = (+g𝑈)
5 hdmap1l6.s . 2 = (-g𝑈)
6 hdmap1l6c.o . 2 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1l6.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1l6.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1l6.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 hdmap1l6.a . 2 = (+g𝐶)
11 hdmap1l6.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
12 hdmap1l6.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
13 hdmap1l6.l . 2 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14 hdmap1l6.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.i . 2 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap1l6.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hdmap1l6.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
201, 2, 16dvhlmod 38238 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
21 hdmap1l6d.w . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2221eldifad 3946 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
23 hdmap1l6d.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2423eldifad 3946 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
253, 4lmodvacl 19640 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2620, 22, 24, 25syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
271, 2, 16dvhlvec 38237 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2818eldifad 3946 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
29 hdmap1l6d.wn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
303, 7, 27, 22, 28, 24, 29lspindpi 19896 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
3130simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
323, 4, 6, 7, 20, 22, 24, 31lmodindp1 19778 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 )
33 eldifsn 4711 . . 3 ((𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 ))
3426, 32, 33sylanbrc 585 . 2 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 hdmap1l6d.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3635eldifad 3946 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
37 hdmap1l6d.yz . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
38 hdmap1l6d.xn . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
393, 7, 27, 28, 24, 36, 38lspindpi 19896 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
4039simpld 497 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
413, 4, 6, 7, 27, 18, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp3 38850 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
423, 4, 6, 7, 27, 18, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp4 38851 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
433, 6, 7, 27, 18, 26, 36, 41, 42lspindp1 19897 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})))
4443simprd 498 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
45 prcom 4660 . . . . 5 {(𝑤 + 𝑌), 𝑍} = {𝑍, (𝑤 + 𝑌)}
4645fveq2i 6666 . . . 4 (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})
4746eleq2i 2902 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
4844, 47sylnibr 331 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}))
493, 7, 27, 36, 28, 26, 42lspindpi 19896 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 498 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
5150necomd 3069 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
52 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩))
53 eqidd 2820 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53hdmap1l6a 38937 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  cdif 3931  {csn 4559  {cpr 4561  cotp 4567  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  -gcsg 18097  LModclmod 19626  LSpanclspn 19735  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  LCDualclcd 38714  mapdcmpd 38752  HDMap1chdma1 38919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-lshyp 36105  df-lcv 36147  df-lfl 36186  df-lkr 36214  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tgrp 37871  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dveca 38131  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476  df-djh 38523  df-lcdual 38715  df-mapd 38753  df-hdmap1 38921
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  38944
  Copyright terms: Public domain W3C validator