Theorem lcfrlem19 42224

Description: Lemma for lcfr 42248. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem17.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem17.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem19	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))

Proof of Theorem lcfrlem19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem17.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfrlem17.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfrlem17.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfrlem17.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfrlem17.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		lcfrlem17.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		lcfrlem17.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
8		lcfrlem17.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9		lcfrlem17.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10		lcfrlem17.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		lcfrlem17.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12		lcfrlem17.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
13	1, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12	lcfrlem17 42222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13	dochnel 42056	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
15	1, 3, 6	dvhlmod 41773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → 𝑈 ∈ LMod)
17	10	eldifad 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	11	eldifad 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	4, 7	lmodvacl 20973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
20	15, 17, 18, 19	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
21	20	snssd 4757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉)
22		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
23	1, 3, 4, 22, 2	dochlss 42017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
24	6, 21, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
25	24	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
27	7, 22	lssvacl 21041	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
28	16, 25, 26, 27	syl21anc 850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
29	14, 28	mtand 827	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
30		ianor 997	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ↔ (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
31	29, 30	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491  LModclmod 20958  LSubSpclss 21029  LSpanclspn 21069  LSAtomsclsa 39637  HLchlt 40013  LHypclh 40647  DVecHcdvh 41741  ocHcoch 42010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-riotaBAD 39616

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-drng 20814  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-lvec 21201  df-lsatoms 39639  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-llines 40161  df-lplanes 40162  df-lvols 40163  df-lines 40164  df-psubsp 40166  df-pmap 40167  df-padd 40459  df-lhyp 40651  df-laut 40652  df-ldil 40767  df-ltrn 40768  df-trl 40822  df-tendo 41418  df-edring 41420  df-disoa 41692  df-dvech 41742  df-dib 41802  df-dic 41836  df-dih 41892  df-doch 42011

This theorem is referenced by:  lcfrlem21  42226