Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem19 37582
Description: Lemma for lcfr 37606. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem19 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))

Proof of Theorem lcfrlem19
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
6 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 lcfrlem17.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
8 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9 lcfrlem17.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 lcfrlem17.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
131, 2, 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 37580 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13dochnel 37414 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
151, 3, 6dvhlmod 37131 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1615adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → 𝑈 ∈ LMod)
1710eldifad 3781 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
1811eldifad 3781 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
194, 7lmodvacl 19195 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2015, 17, 18, 19syl3anc 1491 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
2120snssd 4528 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉)
22 eqid 2799 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
231, 3, 4, 22, 2dochlss 37375 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉) → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
246, 21, 23syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2524adantr 473 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26 simpr 478 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
277, 22lssvacl 19275 . . . 4 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
2816, 25, 26, 27syl21anc 867 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
2914, 28mtand 851 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
30 ianor 1005 . 2 (¬ (𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ↔ (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
3129, 30sylib 210 1 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cdif 3766  wss 3769  {csn 4368  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  0gc0g 16415  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292  LSAtomsclsa 34995  HLchlt 35371  LHypclh 36005  DVecHcdvh 37099  ocHcoch 37368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-riotaBAD 34974
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-undef 7637  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-0g 16417  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-lsm 18364  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lvec 19424  df-lsatoms 34997  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521  df-lines 35522  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-tendo 36776  df-edring 36778  df-disoa 37050  df-dvech 37100  df-dib 37160  df-dic 37194  df-dih 37250  df-doch 37369
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  37584
  Copyright terms: Public domain W3C validator