Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem17 39917
Description: Lemma for lcfr 39943. Condition needed more than once. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem17 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))

Proof of Theorem lcfrlem17
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfrlem17.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfrlem17.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 39468 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 lcfrlem17.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
65eldifad 3920 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 lcfrlem17.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
87eldifad 3920 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
9 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
10 lcfrlem17.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
119, 10lmodvacl 20259 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
124, 6, 8, 11syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
13 lcfrlem17.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
14 lcfrlem17.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
15 lcfrlem17.ne . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
169, 10, 13, 14, 4, 6, 8, 15lmodindp1 20398 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
17 eldifsn 4745 . 2 ((𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 ))
1812, 16, 17sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3905  {csn 4584  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  Basecbs 17017  +gcplusg 17067  0gc0g 17255  LModclmod 20245  LSpanclspn 20355  LSAtomsclsa 37331  HLchlt 37707  LHypclh 38342  DVecHcdvh 39436  ocHcoch 39705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-riotaBAD 37310
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-tpos 8124  df-undef 8171  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-0g 17257  df-proset 18118  df-poset 18136  df-plt 18153  df-lub 18169  df-glb 18170  df-join 18171  df-meet 18172  df-p0 18248  df-p1 18249  df-lat 18255  df-clat 18322  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-oppr 19972  df-dvdsr 19993  df-unit 19994  df-invr 20024  df-dvr 20035  df-drng 20110  df-lmod 20247  df-lss 20316  df-lsp 20356  df-lvec 20487  df-oposet 37533  df-ol 37535  df-oml 37536  df-covers 37623  df-ats 37624  df-atl 37655  df-cvlat 37679  df-hlat 37708  df-llines 37856  df-lplanes 37857  df-lvols 37858  df-lines 37859  df-psubsp 37861  df-pmap 37862  df-padd 38154  df-lhyp 38346  df-laut 38347  df-ldil 38462  df-ltrn 38463  df-trl 38517  df-tendo 39113  df-edring 39115  df-dvech 39437
This theorem is referenced by:  lcfrlem19  39919  lcfrlem20  39920  lcfrlem25  39925  lcfrlem26  39926  lcfrlem35  39935  lcfrlem36  39936
  Copyright terms: Public domain W3C validator