Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11lem2 38858
Description: Lemma for hdmapadd 38859. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap11.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap11.p + = (+g𝑈)
hdmap11.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.a = (+g𝐶)
hdmap11.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap11.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmap11.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap11.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmap11.o 0 = (0g𝑈)
hdmap11.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap11.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap11.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap11.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem2 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))

Proof of Theorem hdmap11lem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap11.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap11.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap11.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmap11.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 hdmap11.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
7 hdmap11.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 38462 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10 eqid 2818 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
111, 2, 5dvhlmod 38126 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 19679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1610, 4, 12, 14, 15lspsnel5a 19697 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1716ssneld 3966 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
1817ancld 551 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
1918reximdv 3270 . . . 4 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
209, 19mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
21 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
23 hdmap11.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑈)
24 hdmap11.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
251, 21, 22, 2, 3, 23, 24, 5dvheveccl 38128 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2625eldifad 3945 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 38462 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
29 preq1 4661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = 0 → {𝑋, 𝑌} = { 0 , 𝑌})
30 prcom 4660 . . . . . . . . . . . . 13 { 0 , 𝑌} = {𝑌, 0 }
3129, 30syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 0 → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 0 })
3231fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 0 }))
333, 23, 4, 11, 7lsppr0 19793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 0 }) = (𝑁‘{𝑌}))
3432, 33sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
353, 10, 4, 11, 26, 7lspprcl 19679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
363, 4, 11, 26, 7lspprid2 19699 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
3710, 4, 11, 35, 36lspsnel5a 19697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
3934, 38eqsstrd 4002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4039ssneld 3966 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
413, 4, 11, 26, 7lspprid1 19698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4210, 4, 11, 35, 41lspsnel5a 19697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4443ssneld 3966 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
4540, 44jcad 513 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
4645reximdv 3270 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
4728, 46mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
4847adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋 = 0 ) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
49 hdmap11.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
503, 49lmodvacl 19577 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉𝑋𝑉) → (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5111, 26, 6, 50syl3anc 1363 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5251ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5311ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑈 ∈ LMod)
5413ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
553, 4, 11, 6, 7lspprid1 19698 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5655ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5726ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝐸𝑉)
58 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
593, 49, 10, 53, 54, 56, 57, 58lssvancl2 19646 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
603, 10, 4lspsncl 19678 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉) → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6111, 26, 60syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6261ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
633, 4lspsnid 19694 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
6411, 26, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
6564ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
666ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
671, 2, 5dvhlvec 38125 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
6867ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑈 ∈ LVec)
69 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋0 )
70 eldifsn 4711 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
7166, 69, 70sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7210, 4, 11, 13, 55lspsnel5a 19697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
7372sseld 3963 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
7473con3dimp 409 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7574adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
763, 23, 4, 68, 57, 71, 75lspsnnecom 19820 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
773, 49, 10, 53, 62, 65, 66, 76lssvancl1 19645 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸}))
78 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
7978notbid 319 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
80 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8180notbid 319 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ↔ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8279, 81anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})) ↔ (¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
8382rspcev 3620 . . . . 5 (((𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8452, 59, 77, 83syl12anc 832 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8548, 84pm2.61dane 3101 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8620, 85pm2.61dan 809 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
87 hdmap11.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
88 hdmap11.a . . . 4 = (+g𝐶)
89 hdmap11.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9053ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9163ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑋𝑉)
9273ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑌𝑉)
93 hdmap11.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
94 hdmap11.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
95 hdmap11.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
96 hdmap11.j . . . 4 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
97 hdmap11.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
98 simp2 1129 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑧𝑉)
99 simp3l 1193 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
100113ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑈 ∈ LMod)
101263ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝐸𝑉)
102 simp3r 1194 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
1033, 4, 100, 98, 101, 102lspsnne2 19819 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
1041, 2, 3, 49, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 24, 23, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103hdmap11lem1 38857 . . 3 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
105104rexlimdv3a 3283 . 2 (𝜑 → (∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})) → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))))
10686, 105mpd 15 1 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557  {cpr 4559  cop 4563   I cid 5452  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  DVecHcdvh 38094  LCDualclcd 38602  mapdcmpd 38640  HVMapchvm 38772  HDMap1chdma1 38807  HDMapchdma 38808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lsatoms 35992  df-lshyp 35993  df-lcv 36035  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tgrp 37759  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dveca 38019  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245  df-doch 38364  df-djh 38411  df-lcdual 38603  df-mapd 38641  df-hvmap 38773  df-hdmap1 38809  df-hdmap 38810
This theorem is referenced by:  hdmapadd  38859
  Copyright terms: Public domain W3C validator