Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11lem2 39453
 Description: Lemma for hdmapadd 39454. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap11.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap11.p + = (+g𝑈)
hdmap11.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.a = (+g𝐶)
hdmap11.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap11.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmap11.y (𝜑𝑌𝑉)
hdmap11.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmap11.o 0 = (0g𝑈)
hdmap11.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap11.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap11.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap11.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem2 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))

Proof of Theorem hdmap11lem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap11.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap11.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap11.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 hdmap11.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 hdmap11.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
7 hdmap11.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 39057 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10 eqid 2758 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
111, 2, 5dvhlmod 38721 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 19832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1413adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1610, 4, 12, 14, 15lspsnel5a 19850 . . . . . . 7 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
1716ssneld 3896 . . . . . 6 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
1817ancld 554 . . . . 5 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
1918reximdv 3197 . . . 4 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
209, 19mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
21 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
23 hdmap11.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑈)
24 hdmap11.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
251, 21, 22, 2, 3, 23, 24, 5dvheveccl 38723 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2625eldifad 3872 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 39057 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
2827adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
29 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = 0 → {𝑋, 𝑌} = { 0 , 𝑌})
30 prcom 4628 . . . . . . . . . . . . 13 { 0 , 𝑌} = {𝑌, 0 }
3129, 30eqtrdi 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 0 → {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 0 })
3231fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 0 }))
333, 23, 4, 11, 7lsppr0 19946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 0 }) = (𝑁‘{𝑌}))
3432, 33sylan9eqr 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌}))
353, 10, 4, 11, 26, 7lspprcl 19832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
363, 4, 11, 26, 7lspprid2 19852 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
3710, 4, 11, 35, 36lspsnel5a 19850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
3837adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
3934, 38eqsstrd 3932 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4039ssneld 3896 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
413, 4, 11, 26, 7lspprid1 19851 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4210, 4, 11, 35, 41lspsnel5a 19850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4342adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}))
4443ssneld 3896 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
4540, 44jcad 516 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
4645reximdv 3197 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (∃𝑧𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑌}) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
4728, 46mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
4847adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋 = 0 ) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
49 hdmap11.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
503, 49lmodvacl 19730 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉𝑋𝑉) → (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5111, 26, 6, 50syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5251ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5311ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑈 ∈ LMod)
5413ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
553, 4, 11, 6, 7lspprid1 19851 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5655ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5726ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝐸𝑉)
58 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
593, 49, 10, 53, 54, 56, 57, 58lssvancl2 19799 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
603, 10, 4lspsncl 19831 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉) → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6111, 26, 60syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6261ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
633, 4lspsnid 19847 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
6411, 26, 63syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
6564ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
666ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
671, 2, 5dvhlvec 38720 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
6867ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑈 ∈ LVec)
69 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋0 )
70 eldifsn 4680 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
7166, 69, 70sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7210, 4, 11, 13, 55lspsnel5a 19850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
7372sseld 3893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
7473con3dimp 412 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7574adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
763, 23, 4, 68, 57, 71, 75lspsnnecom 19973 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
773, 49, 10, 53, 62, 65, 66, 76lssvancl1 19798 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸}))
78 eleq1 2839 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
7978notbid 321 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
80 eleq1 2839 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8180notbid 321 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ↔ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8279, 81anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) → ((¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})) ↔ (¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸}))))
8382rspcev 3543 . . . . 5 (((𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8452, 59, 77, 83syl12anc 835 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ∧ 𝑋0 ) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8548, 84pm2.61dane 3038 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
8620, 85pm2.61dan 812 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})))
87 hdmap11.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
88 hdmap11.a . . . 4 = (+g𝐶)
89 hdmap11.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9053ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9163ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑋𝑉)
9273ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑌𝑉)
93 hdmap11.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
94 hdmap11.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
95 hdmap11.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
96 hdmap11.j . . . 4 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
97 hdmap11.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
98 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑧𝑉)
99 simp3l 1198 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
100113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝑈 ∈ LMod)
101263ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → 𝐸𝑉)
102 simp3r 1199 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))
1033, 4, 100, 98, 101, 102lspsnne2 19972 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
1041, 2, 3, 49, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 24, 23, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103hdmap11lem1 39452 . . 3 ((𝜑𝑧𝑉 ∧ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸}))) → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
105104rexlimdv3a 3210 . 2 (𝜑 → (∃𝑧𝑉𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝐸})) → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))))
10686, 105mpd 15 1 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   I cid 5433   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  +gcplusg 16637  0gc0g 16785  LModclmod 19716  LSubSpclss 19785  LSpanclspn 19825  LVecclvec 19956  HLchlt 36961  LHypclh 37595  LTrncltrn 37712  DVecHcdvh 38689  LCDualclcd 39197  mapdcmpd 39235  HVMapchvm 39367  HDMap1chdma1 39402  HDMapchdma 39403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-riotaBAD 36564 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-undef 7955  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-0g 16787  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-proset 17618  df-poset 17636  df-plt 17648  df-lub 17664  df-glb 17665  df-join 17666  df-meet 17667  df-p0 17729  df-p1 17730  df-lat 17736  df-clat 17798  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-subg 18357  df-cntz 18528  df-oppg 18555  df-lsm 18842  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-oppr 19458  df-dvdsr 19476  df-unit 19477  df-invr 19507  df-dvr 19518  df-drng 19586  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-lsp 19826  df-lvec 19957  df-lsatoms 36587  df-lshyp 36588  df-lcv 36630  df-lfl 36669  df-lkr 36697  df-ldual 36735  df-oposet 36787  df-ol 36789  df-oml 36790  df-covers 36877  df-ats 36878  df-atl 36909  df-cvlat 36933  df-hlat 36962  df-llines 37109  df-lplanes 37110  df-lvols 37111  df-lines 37112  df-psubsp 37114  df-pmap 37115  df-padd 37407  df-lhyp 37599  df-laut 37600  df-ldil 37715  df-ltrn 37716  df-trl 37770  df-tgrp 38354  df-tendo 38366  df-edring 38368  df-dveca 38614  df-disoa 38640  df-dvech 38690  df-dib 38750  df-dic 38784  df-dih 38840  df-doch 38959  df-djh 39006  df-lcdual 39198  df-mapd 39236  df-hvmap 39368  df-hdmap1 39404  df-hdmap 39405 This theorem is referenced by:  hdmapadd  39454
 Copyright terms: Public domain W3C validator