Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11lem2 40351
Description: Lemma for hdmapadd 40352. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap11.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap11.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap11.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap11.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
hdmap11.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmap11.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmap11.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap11.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.j 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem hdmap11lem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap11.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap11.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap11.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 hdmap11.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 hdmap11.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 hdmap11.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 39955 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 39619 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 20454 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1413adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
15 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1610, 4, 12, 14, 15lspsnel5a 20472 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1716ssneld 3947 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
1817ancld 552 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
1918reximdv 3164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
209, 19mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
21 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
23 hdmap11.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
24 hdmap11.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
251, 21, 22, 2, 3, 23, 24, 5dvheveccl 39621 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2625eldifad 3923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 39955 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
29 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋, π‘Œ} = { 0 , π‘Œ})
30 prcom 4694 . . . . . . . . . . . . 13 { 0 , π‘Œ} = {π‘Œ, 0 }
3129, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋, π‘Œ} = {π‘Œ, 0 })
3231fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }))
333, 23, 4, 11, 7lsppr0 20568 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3432, 33sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
353, 10, 4, 11, 26, 7lspprcl 20454 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
363, 4, 11, 26, 7lspprid2 20474 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
3710, 4, 11, 35, 36lspsnel5a 20472 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
3837adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
3934, 38eqsstrd 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4039ssneld 3947 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
413, 4, 11, 26, 7lspprid1 20473 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4210, 4, 11, 35, 41lspsnel5a 20472 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4342adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4443ssneld 3947 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
4540, 44jcad 514 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
4645reximdv 3164 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
4728, 46mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
4847adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
49 hdmap11.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
503, 49lmodvacl 20351 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5111, 26, 6, 50syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5251ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5311ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5413ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
553, 4, 11, 6, 7lspprid1 20473 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5655ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5726ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
58 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
593, 49, 10, 53, 54, 56, 57, 58lssvancl2 20421 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
603, 10, 4lspsncl 20453 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6111, 26, 60syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6261ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
633, 4lspsnid 20469 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
6411, 26, 63syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
6564ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
666ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
671, 2, 5dvhlvec 39618 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
6867ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
69 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 β‰  0 )
70 eldifsn 4748 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
7166, 69, 70sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
7210, 4, 11, 13, 55lspsnel5a 20472 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
7372sseld 3944 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
7473con3dimp 410 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
7574adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
763, 23, 4, 68, 57, 71, 75lspsnnecom 20596 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
773, 49, 10, 53, 62, 65, 66, 76lssvancl1 20420 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
78 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
7978notbid 318 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
80 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8180notbid 318 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ↔ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8279, 81anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})) ↔ (Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
8382rspcev 3580 . . . . 5 (((𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8452, 59, 77, 83syl12anc 836 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8548, 84pm2.61dane 3029 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8620, 85pm2.61dan 812 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
87 hdmap11.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
88 hdmap11.a . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
89 hdmap11.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9053ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9163ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9273ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
93 hdmap11.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
94 hdmap11.l . . . 4 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
95 hdmap11.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96 hdmap11.j . . . 4 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
97 hdmap11.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
98 simp2 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
99 simp3l 1202 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
100113ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
101263ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
102 simp3r 1203 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
1033, 4, 100, 98, 101, 102lspsnne2 20595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
1041, 2, 3, 49, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 24, 23, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103hdmap11lem1 40350 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
105104rexlimdv3a 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})) β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))))
10686, 105mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  DVecHcdvh 39587  LCDualclcd 40095  mapdcmpd 40133  HVMapchvm 40265  HDMap1chdma1 40300  HDMapchdma 40301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-oppg 19129  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-lsatoms 37484  df-lshyp 37485  df-lcv 37527  df-lfl 37566  df-lkr 37594  df-ldual 37632  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tgrp 39252  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-dveca 39512  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738  df-doch 39857  df-djh 39904  df-lcdual 40096  df-mapd 40134  df-hvmap 40266  df-hdmap1 40302  df-hdmap 40303
This theorem is referenced by:  hdmapadd  40352
  Copyright terms: Public domain W3C validator