Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmap11lem2 40805
Description: Lemma for hdmapadd 40806. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap11.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap11.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap11.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap11.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
hdmap11.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmap11.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap11.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmap11.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap11.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.j 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap11.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
hdmap11lem2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem hdmap11lem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap11.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap11.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap11.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 hdmap11.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 hdmap11.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 hdmap11.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvh3dim 40409 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
98adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
111, 2, 5dvhlmod 40073 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
133, 10, 4, 11, 6, 7lspprcl 20594 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
15 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1610, 4, 12, 14, 15lspsnel5a 20612 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
1716ssneld 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
1817ancld 551 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
1918reximdv 3170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
209, 19mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
22 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
23 hdmap11.o . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
24 hdmap11.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
251, 21, 22, 2, 3, 23, 24, 5dvheveccl 40075 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2625eldifad 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
271, 2, 3, 4, 5, 26, 7dvh3dim 40409 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
29 preq1 4737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋, π‘Œ} = { 0 , π‘Œ})
30 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . 13 { 0 , π‘Œ} = {π‘Œ, 0 }
3129, 30eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋, π‘Œ} = {π‘Œ, 0 })
3231fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }))
333, 23, 4, 11, 7lsppr0 20708 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 0 }) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3432, 33sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
353, 10, 4, 11, 26, 7lspprcl 20594 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
363, 4, 11, 26, 7lspprid2 20614 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
3710, 4, 11, 35, 36lspsnel5a 20612 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
3934, 38eqsstrd 4020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4039ssneld 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
413, 4, 11, 26, 7lspprid1 20613 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4210, 4, 11, 35, 41lspsnel5a 20612 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}))
4443ssneld 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
4540, 44jcad 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
4645reximdv 3170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸, π‘Œ}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
4728, 46mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
4847adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
49 hdmap11.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
503, 49lmodvacl 20490 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5111, 26, 6, 50syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5251ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉)
5311ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5413ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
553, 4, 11, 6, 7lspprid1 20613 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5655ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5726ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
58 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
593, 49, 10, 53, 54, 56, 57, 58lssvancl2 20561 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
603, 10, 4lspsncl 20593 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6111, 26, 60syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6261ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
633, 4lspsnid 20609 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
6411, 26, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
6564ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
666ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
671, 2, 5dvhlvec 40072 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
6867ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
69 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 β‰  0 )
70 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
7166, 69, 70sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
7210, 4, 11, 13, 55lspsnel5a 20612 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
7372sseld 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
7473con3dimp 409 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
7574adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
763, 23, 4, 68, 57, 71, 75lspsnnecom 20738 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
773, 49, 10, 53, 62, 65, 66, 76lssvancl1 20560 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
78 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
7978notbid 317 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
80 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ↔ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8180notbid 317 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ↔ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8279, 81anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐸 + 𝑋) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})) ↔ (Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸}))))
8382rspcev 3612 . . . . 5 (((𝐸 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (𝐸 + 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8452, 59, 77, 83syl12anc 835 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8548, 84pm2.61dane 3029 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
8620, 85pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})))
87 hdmap11.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
88 hdmap11.a . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
89 hdmap11.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9053ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9163ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
9273ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
93 hdmap11.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
94 hdmap11.l . . . 4 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
95 hdmap11.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96 hdmap11.j . . . 4 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
97 hdmap11.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
98 simp2 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
99 simp3l 1201 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
100113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
101263ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
102 simp3r 1202 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))
1033, 4, 100, 98, 101, 102lspsnne2 20737 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
1041, 2, 3, 49, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 24, 23, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 103hdmap11lem1 40804 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸}))) β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
105104rexlimdv3a 3159 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝐸})) β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ))))
10686, 105mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋 + π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹) ✚ (π‘†β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  LSpanclspn 20587  LVecclvec 20718  HLchlt 38312  LHypclh 38947  LTrncltrn 39064  DVecHcdvh 40041  LCDualclcd 40549  mapdcmpd 40587  HVMapchvm 40719  HDMap1chdma1 40754  HDMapchdma 40755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37938  df-lshyp 37939  df-lcv 37981  df-lfl 38020  df-lkr 38048  df-ldual 38086  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-llines 38461  df-lplanes 38462  df-lvols 38463  df-lines 38464  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-lhyp 38951  df-laut 38952  df-ldil 39067  df-ltrn 39068  df-trl 39122  df-tgrp 39706  df-tendo 39718  df-edring 39720  df-dveca 39966  df-disoa 39992  df-dvech 40042  df-dib 40102  df-dic 40136  df-dih 40192  df-doch 40311  df-djh 40358  df-lcdual 40550  df-mapd 40588  df-hvmap 40720  df-hdmap1 40756  df-hdmap 40757
This theorem is referenced by:  hdmapadd  40806
  Copyright terms: Public domain W3C validator