Theorem lspabs3 21124

Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspabs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspabs2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspabs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspabs3.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
lspabs3.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspabs3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Proof of Theorem lspabs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspabs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspabs2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21106	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspabs2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspabs2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7, 1, 2	lspsncl 20976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspabs3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	7, 1, 2	lspsncl 20976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
14	1, 13	lsmcl 21083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	5, 9, 12, 14	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	7, 2	lspsnsubg 20979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lspabs3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
19	18, 17	eqeltrrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	7, 2	lspsnid 20992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	5, 6, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	7, 2	lspsnid 20992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	5, 10, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspabs2.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 13	lsmelvali 19669	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	17, 19, 21, 23, 25	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	1, 2, 5, 15, 26	ellspsn5 20995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	18	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
29	13	lsmidm 19682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
30	17, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
32	27, 31	sseqtrd 4019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
33		lspabs2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 24	lmodvacl 20874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
35	5, 6, 10, 34	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
36		lspabs3.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
37		eldifsn 4785	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
38	35, 36, 37	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39	7, 33, 2, 3, 38, 6	lspsncmp 21119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋})))
40	32, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋}))
41	40	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17485  SubGrpcsubg 19139  LSSumclsm 19653  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970  LVecclvec 21102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103

This theorem is referenced by: (None)