MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspabs3 21016
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspabs2.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspabs2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspabs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspabs2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspabs2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspabs3.xy (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
lspabs3.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspabs3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspabs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 lspabs2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20998 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lspabs2.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 lspabs2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
87, 1, 2lspsncl 20868 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
95, 6, 8syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10 lspabs3.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
117, 1, 2lspsncl 20868 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
125, 10, 11syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
13 eqid 2728 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
141, 13lsmcl 20975 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
155, 9, 12, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
167, 2lspsnsubg 20871 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
175, 6, 16syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 lspabs3.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1918, 17eqeltrrd 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
207, 2lspsnid 20884 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
215, 6, 20syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
227, 2lspsnid 20884 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
235, 10, 22syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
24 lspabs2.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
2524, 13lsmelvali 19612 . . . . . 6 ((((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 20887 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2818oveq2d 7442 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2913lsmidm 19625 . . . . . 6 ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
3017, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
3128, 30eqtr3d 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{𝑋}))
3227, 31sseqtrd 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
33 lspabs2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
347, 24lmodvacl 20765 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
355, 6, 10, 34syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
36 lspabs3.xy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
37 eldifsn 4795 . . . . 5 ((𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 ))
3835, 36, 37sylanbrc 581 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 21011 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ↔ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑋})))
4032, 39mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
4140eqcomd 2734 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  SubGrpcsubg 19082  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator