MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspabs3 20598
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspabs2.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspabs2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspabs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspabs2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspabs2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspabs3.xy (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
lspabs3.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspabs3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))

Proof of Theorem lspabs3
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspabs2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 lspabs2.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20582 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lspabs2.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
7 lspabs2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
87, 1, 2lspsncl 20453 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
95, 6, 8syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10 lspabs3.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
117, 1, 2lspsncl 20453 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
125, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
141, 13lsmcl 20559 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
155, 9, 12, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
167, 2lspsnsubg 20456 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
175, 6, 16syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 lspabs3.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1918, 17eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
207, 2lspsnid 20469 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
215, 6, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
227, 2lspsnid 20469 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
235, 10, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
24 lspabs2.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
2524, 13lsmelvali 19437 . . . . . 6 ((((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2617, 19, 21, 23, 25syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
271, 2, 5, 15, 26lspsnel5a 20472 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2818oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2913lsmidm 19450 . . . . . 6 ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
3017, 29syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
3128, 30eqtr3d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{𝑋}))
3227, 31sseqtrd 3985 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
33 lspabs2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
347, 24lmodvacl 20351 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
355, 6, 10, 34syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
36 lspabs3.xy . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 )
37 eldifsn 4748 . . . . 5 ((𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + π‘Œ) β‰  0 ))
3835, 36, 37sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
397, 33, 2, 3, 38, 6lspsncmp 20593 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ↔ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑋})))
4032, 39mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
4140eqcomd 2739 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  SubGrpcsubg 18927  LSSumclsm 19421  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator