Theorem lspabs3 20466

Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspabs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspabs2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspabs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspabs3.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
lspabs3.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspabs3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Proof of Theorem lspabs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspabs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspabs2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20451	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspabs2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspabs2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7, 1, 2	lspsncl 20322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspabs3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	7, 1, 2	lspsncl 20322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
14	1, 13	lsmcl 20428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	5, 9, 12, 14	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	7, 2	lspsnsubg 20325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lspabs3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
19	18, 17	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	7, 2	lspsnid 20338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	5, 6, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	7, 2	lspsnid 20338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	5, 10, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspabs2.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 13	lsmelvali 19331	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	17, 19, 21, 23, 25	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	1, 2, 5, 15, 26	lspsnel5a 20341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	18	oveq2d 7333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
29	13	lsmidm 19344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
30	17, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
32	27, 31	sseqtrd 3971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
33		lspabs2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 24	lmodvacl 20220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
35	5, 6, 10, 34	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
36		lspabs3.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
37		eldifsn 4732	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
38	35, 36, 37	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39	7, 33, 2, 3, 38, 6	lspsncmp 20461	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋})))
40	32, 39	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋}))
41	40	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4571  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  Basecbs 16989  +_gcplusg 17039  0_gc0g 17227  SubGrpcsubg 18825  LSSumclsm 19315  LModclmod 20206  LSubSpclss 20276  LSpanclspn 20316  LVecclvec 20447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-tpos 8091  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-0g 17229  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-subg 18828  df-cntz 18999  df-lsm 19317  df-cmn 19463  df-abl 19464  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-drng 20072  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-lsp 20317  df-lvec 20448

This theorem is referenced by: (None)