Theorem lspabs3 21405

Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspabs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspabs2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspabs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspabs3.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
lspabs3.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspabs3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Proof of Theorem lspabs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspabs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspabs2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21387	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspabs2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspabs2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7, 1, 2	lspsncl 21258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspabs3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	7, 1, 2	lspsncl 21258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	5, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
14	1, 13	lsmcl 21364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	5, 9, 12, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	7, 2	lspsnsubg 21261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	5, 6, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lspabs3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
19	18, 17	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	7, 2	lspsnid 21274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	5, 6, 20	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	7, 2	lspsnid 21274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	5, 10, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspabs2.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 13	lsmelvali 19870	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	17, 19, 21, 23, 25	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	1, 2, 5, 15, 26	ellspsn5 21277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	18	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
29	13	lsmidm 19883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
30	17, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
32	27, 31	sseqtrd 3944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
33		lspabs2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 24	lmodvacl 21156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
35	5, 6, 10, 34	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
36		lspabs3.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
37		eldifsn 4744	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
38	35, 36, 37	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39	7, 33, 2, 3, 38, 6	lspsncmp 21400	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋})))
40	32, 39	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋}))
41	40	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  SubGrpcsubg 19336  LSSumclsm 19854  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212  LSpanclspn 21252  LVecclvec 21383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cntz 19537  df-lsm 19856  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384

This theorem is used by: (None)