Theorem lspabs3 21031

Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspabs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspabs2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspabs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspabs3.xy	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
lspabs3.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspabs3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Proof of Theorem lspabs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspabs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspabs2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21013	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspabs2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspabs2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8	7, 1, 2	lspsncl 20883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspabs3.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	7, 1, 2	lspsncl 20883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
14	1, 13	lsmcl 20990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	5, 9, 12, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	7, 2	lspsnsubg 20886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18		lspabs3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
19	18, 17	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
20	7, 2	lspsnid 20899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	5, 6, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	7, 2	lspsnid 20899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	5, 10, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspabs2.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 13	lsmelvali 19580	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	17, 19, 21, 23, 25	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	1, 2, 5, 15, 26	ellspsn5 20902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	18	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
29	13	lsmidm 19593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
30	17, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
32	27, 31	sseqtrd 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
33		lspabs2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	7, 24	lmodvacl 20781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
35	5, 6, 10, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
36		lspabs3.xy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
37		eldifsn 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
38	35, 36, 37	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
39	7, 33, 2, 3, 38, 6	lspsncmp 21026	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋})))
40	32, 39	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋}))
41	40	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  SubGrpcsubg 19052  LSSumclsm 19564  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877  LVecclvec 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010

This theorem is referenced by: (None)