Theorem lspprabs 19860

Description: Absorption of vector sum into span of pair. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprabs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprabs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspprabs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprabs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprabs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprabs	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprabs.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 19723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lspprabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lspprabs.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lspprabs.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 2, 7	lspsncl 19742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	1, 5, 8	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	4, 9	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lspprabs.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	6, 2, 7	lspsncl 19742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	1, 11, 12	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	4, 13	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
16	15	lsmub1 18774	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
17	10, 14, 16	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
18	2, 15	lsmcl 19848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	1, 9, 13, 18	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	6, 7	lspsnid 19758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	1, 5, 20	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	6, 7	lspsnid 19758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	1, 11, 22	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspprabs.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 15	lsmelvali 18767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	10, 14, 21, 23, 25	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	2, 7, 1, 19, 26	lspsnel5a 19761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	6, 24	lmodvacl 19641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
29	1, 5, 11, 28	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
30	6, 2, 7	lspsncl 19742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	1, 29, 30	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
32	4, 31	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	4, 19	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
34	15	lsmlub 18782	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
36	17, 27, 35	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
37	15	lsmub1 18774	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
38	10, 32, 37	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
39	2, 15	lsmcl 19848	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	1, 9, 31, 39	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
42	6, 7	lspsnid 19758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
43	1, 29, 42	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
44	41, 15, 32, 10, 43, 21	lsmelvalmi 18769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
45		lmodabl 19674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
47	6, 24, 41	ablpncan2 18929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
48	46, 5, 11, 47	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
49	15	lsmcom 18971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
50	46, 32, 10, 49	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
51	44, 48, 50	3eltr3d 2904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
52	2, 7, 1, 40, 51	lspsnel5a 19761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
53	4, 40	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
54	15	lsmlub 18782	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
55	10, 14, 53, 54	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
56	38, 52, 55	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
57	36, 56	eqssd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
58	6, 7, 15, 1, 5, 29	lsmpr 19854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
59	6, 7, 15, 1, 5, 11	lsmpr 19854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
60	57, 58, 59	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  -_gcsg 18097  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  Abelcabl 18899  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737

This theorem is referenced by:  lspabs2  19885  lspindp4  19902  mapdindp4  39019