MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprabs 19986
Description: Absorption of vector sum into span of pair. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprabs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprabs.p + = (+g𝑊)
lspprabs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprabs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprabs.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprabs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprabs (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprabs
StepHypRef Expression
1 lspprabs.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2738 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 19849 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lspprabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
6 lspprabs.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lspprabs.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 2, 7lspsncl 19868 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
91, 5, 8syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
104, 9sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lspprabs.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
126, 2, 7lspsncl 19868 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
131, 11, 12syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
144, 13sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15 eqid 2738 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1615lsmub1 18900 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
1710, 14, 16syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
182, 15lsmcl 19974 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
191, 9, 13, 18syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
206, 7lspsnid 19884 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
211, 5, 20syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
226, 7lspsnid 19884 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
231, 11, 22syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24 lspprabs.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
2524, 15lsmelvali 18893 . . . . . 6 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2610, 14, 21, 23, 25syl22anc 838 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
272, 7, 1, 19, 26lspsnel5a 19887 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
286, 24lmodvacl 19767 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
291, 5, 11, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
306, 2, 7lspsncl 19868 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
311, 29, 30syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
324, 31sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
334, 19sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3415lsmlub 18908 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
3510, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
3617, 27, 35mpbi2and 712 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
3715lsmub1 18900 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
3810, 32, 37syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
392, 15lsmcl 19974 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
401, 9, 31, 39syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41 eqid 2738 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
426, 7lspsnid 19884 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
431, 29, 42syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
4441, 15, 32, 10, 43, 21lsmelvalmi 18895 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
45 lmodabl 19800 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
461, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
476, 24, 41ablpncan2 19055 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
4846, 5, 11, 47syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
4915lsmcom 19097 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
5046, 32, 10, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
5144, 48, 503eltr3d 2847 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
522, 7, 1, 40, 51lspsnel5a 19887 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
534, 40sseldd 3878 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5415lsmlub 18908 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
5510, 14, 53, 54syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
5638, 52, 55mpbi2and 712 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
5736, 56eqssd 3894 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
586, 7, 15, 1, 5, 29lsmpr 19980 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
596, 7, 15, 1, 5, 11lsmpr 19980 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
6057, 58, 593eqtr4d 2783 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843  {csn 4516  {cpr 4518  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  -gcsg 18221  SubGrpcsubg 18391  LSSumclsm 18877  Abelcabl 19025  LModclmod 19753  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863
This theorem is referenced by:  lspabs2  20011  lspindp4  20028  mapdindp4  39360
  Copyright terms: Public domain W3C validator