Theorem lspprabs 21082

Description: Absorption of vector sum into span of pair. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprabs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprabs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspprabs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprabs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprabs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprabs	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprabs.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lspprabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lspprabs.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lspprabs.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 2, 7	lspsncl 20963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	1, 5, 8	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	4, 9	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lspprabs.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	6, 2, 7	lspsncl 20963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	1, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	4, 13	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
16	15	lsmub1 19623	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
17	10, 14, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
18	2, 15	lsmcl 21070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	1, 9, 13, 18	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	6, 7	lspsnid 20979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	1, 5, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	6, 7	lspsnid 20979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	1, 11, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspprabs.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 15	lsmelvali 19616	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	10, 14, 21, 23, 25	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	2, 7, 1, 19, 26	ellspsn5 20982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	6, 24	lmodvacl 20861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
29	1, 5, 11, 28	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
30	6, 2, 7	lspsncl 20963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	1, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
32	4, 31	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	4, 19	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
34	15	lsmlub 19630	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
36	17, 27, 35	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
37	15	lsmub1 19623	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
38	10, 32, 37	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
39	2, 15	lsmcl 21070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	1, 9, 31, 39	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
42	6, 7	lspsnid 20979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
43	1, 29, 42	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
44	41, 15, 32, 10, 43, 21	lsmelvalmi 19618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
45		lmodabl 20895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
47	6, 24, 41	ablpncan2 19781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
48	46, 5, 11, 47	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
49	15	lsmcom 19824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
50	46, 32, 10, 49	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
51	44, 48, 50	3eltr3d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
52	2, 7, 1, 40, 51	ellspsn5 20982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
53	4, 40	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
54	15	lsmlub 19630	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
55	10, 14, 53, 54	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
56	38, 52, 55	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
57	36, 56	eqssd 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
58	6, 7, 15, 1, 5, 29	lsmpr 21076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
59	6, 7, 15, 1, 5, 11	lsmpr 21076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
60	57, 58, 59	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  -_gcsg 18902  SubGrpcsubg 19087  LSSumclsm 19600  Abelcabl 19747  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958

This theorem is referenced by:  lspabs2  21110  lspindp4  21127  mapdindp4  42183