Theorem lspprabs 21090

Description: Absorption of vector sum into span of pair. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprabs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprabs.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspprabs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprabs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspprabs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspprabs.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspprabs	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspprabs.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lspprabs.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		lspprabs.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		lspprabs.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 2, 7	lspsncl 20972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	1, 5, 8	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10	4, 9	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lspprabs.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	6, 2, 7	lspsncl 20972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	1, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14	4, 13	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
16	15	lsmub1 19632	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
17	10, 14, 16	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
18	2, 15	lsmcl 21078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	1, 9, 13, 18	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
20	6, 7	lspsnid 20988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21	1, 5, 20	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	6, 7	lspsnid 20988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
23	1, 11, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24		lspprabs.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝑊)
25	24, 15	lsmelvali 19625	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
26	10, 14, 21, 23, 25	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
27	2, 7, 1, 19, 26	ellspsn5 20991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
28	6, 24	lmodvacl 20870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
29	1, 5, 11, 28	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
30	6, 2, 7	lspsncl 20972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
31	1, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
32	4, 31	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
33	4, 19	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
34	15	lsmlub 19639	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
35	10, 32, 33, 34	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
36	17, 27, 35	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
37	15	lsmub1 19632	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
38	10, 32, 37	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
39	2, 15	lsmcl 21078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	1, 9, 31, 39	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
42	6, 7	lspsnid 20988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
43	1, 29, 42	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
44	41, 15, 32, 10, 43, 21	lsmelvalmi 19627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
45		lmodabl 20904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
46	1, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
47	6, 24, 41	ablpncan2 19790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
48	46, 5, 11, 47	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
49	15	lsmcom 19833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
50	46, 32, 10, 49	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
51	44, 48, 50	3eltr3d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
52	2, 7, 1, 40, 51	ellspsn5 20991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
53	4, 40	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
54	15	lsmlub 19639	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
55	10, 14, 53, 54	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
56	38, 52, 55	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
57	36, 56	eqssd 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
58	6, 7, 15, 1, 5, 29	lsmpr 21084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
59	6, 7, 15, 1, 5, 11	lsmpr 21084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
60	57, 58, 59	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  -_gcsg 18911  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  Abelcabl 19756  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967

This theorem is referenced by:  lspabs2  21118  lspindp4  21135  mapdindp4  42169