MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspprabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspprabs 21112
Description: Absorption of vector sum into span of pair. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprabs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspprabs.p + = (+g𝑊)
lspprabs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspprabs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspprabs.x (𝜑𝑋𝑉)
lspprabs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspprabs (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspprabs
StepHypRef Expression
1 lspprabs.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2735 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 20974 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lspprabs.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
6 lspprabs.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lspprabs.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 2, 7lspsncl 20993 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
91, 5, 8syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
104, 9sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lspprabs.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
126, 2, 7lspsncl 20993 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
131, 11, 12syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
144, 13sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
15 eqid 2735 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1615lsmub1 19690 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
1710, 14, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
182, 15lsmcl 21100 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
191, 9, 13, 18syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
206, 7lspsnid 21009 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
211, 5, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
226, 7lspsnid 21009 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
231, 11, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
24 lspprabs.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
2524, 15lsmelvali 19683 . . . . . 6 ((((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2610, 14, 21, 23, 25syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
272, 7, 1, 19, 26ellspsn5 21012 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
286, 24lmodvacl 20890 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
291, 5, 11, 28syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
306, 2, 7lspsncl 20993 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
311, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
324, 31sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
334, 19sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3415lsmlub 19697 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
3510, 32, 33, 34syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌}))))
3617, 27, 35mpbi2and 712 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
3715lsmub1 19690 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
3810, 32, 37syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
392, 15lsmcl 21100 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
401, 9, 31, 39syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
41 eqid 2735 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
426, 7lspsnid 21009 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
431, 29, 42syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
4441, 15, 32, 10, 43, 21lsmelvalmi 19685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
45 lmodabl 20924 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
461, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
476, 24, 41ablpncan2 19848 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
4846, 5, 11, 47syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
4915lsmcom 19891 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
5046, 32, 10, 49syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
5144, 48, 503eltr3d 2853 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
522, 7, 1, 40, 51ellspsn5 21012 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
534, 40sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5415lsmlub 19697 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
5510, 14, 53, 54syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))) ↔ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))))
5638, 52, 55mpbi2and 712 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
5736, 56eqssd 4013 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
586, 7, 15, 1, 5, 29lsmpr 21106 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
596, 7, 15, 1, 5, 11lsmpr 21106 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
6057, 58, 593eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988
This theorem is referenced by:  lspabs2  21140  lspindp4  21157  mapdindp4  41706
  Copyright terms: Public domain W3C validator