MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspabs2 20488
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspabs2.p + = (+g𝑊)
lspabs2.o 0 = (0g𝑊)
lspabs2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspabs2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspabs2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspabs2.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspabs2.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
Assertion
Ref Expression
lspabs2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspabs2
StepHypRef Expression
1 lspabs2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 20474 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lspabs2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
5 lspabs2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lspabs2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
75, 6lspsnsubg 20348 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lspabs2.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3910 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
115, 6lspsnsubg 20348 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
123, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 eqid 2736 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1413lsmub2 19359 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
158, 12, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
16 lspabs2.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
1716oveq2d 7353 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
1813lsmidm 19364 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
198, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
20 lspabs2.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
215, 20, 6, 3, 4, 10lspprabs 20463 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
225, 20lmodvacl 20243 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
233, 4, 10, 22syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
245, 6, 13, 3, 4, 23lsmpr 20457 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, (𝑋 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
255, 6, 13, 3, 4, 10lsmpr 20457 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2621, 24, 253eqtr3d 2784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})))
2717, 19, 263eqtr3rd 2785 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑋}))
2815, 27sseqtrd 3972 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
29 lspabs2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
305, 29, 6, 1, 9, 4lspsncmp 20484 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋})))
3128, 30mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑋}))
3231eqcomd 2742 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3895  wss 3898  {csn 4573  {cpr 4575  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  0gc0g 17247  SubGrpcsubg 18845  LSSumclsm 19335  LModclmod 20229  LSpanclspn 20339  LVecclvec 20470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471
This theorem is referenced by:  lspindp3  20504
  Copyright terms: Public domain W3C validator