MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspabs2 21015
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspabs2.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspabs2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspabs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspabs2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspabs2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lspabs2.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Assertion
Ref Expression
lspabs2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))

Proof of Theorem lspabs2
StepHypRef Expression
1 lspabs2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20998 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspabs2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5 lspabs2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lspabs2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
75, 6lspsnsubg 20871 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
83, 4, 7syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
9 lspabs2.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
115, 6lspsnsubg 20871 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
123, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1413lsmub2 19620 . . . . 5 (((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
158, 12, 14syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
16 lspabs2.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
1716oveq2d 7442 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
1813lsmidm 19625 . . . . . 6 ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
198, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
20 lspabs2.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
215, 20, 6, 3, 4, 10lspprabs 20987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (𝑋 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
225, 20lmodvacl 20765 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
233, 4, 10, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
245, 6, 13, 3, 4, 23lsmpr 20981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (𝑋 + π‘Œ)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
255, 6, 13, 3, 4, 10lsmpr 20981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2621, 24, 253eqtr3d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2717, 19, 263eqtr3rd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{𝑋}))
2815, 27sseqtrd 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
29 lspabs2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
305, 29, 6, 1, 9, 4lspsncmp 21011 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ↔ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
3128, 30mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3231eqcomd 2734 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4632  {cpr 4634  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  SubGrpcsubg 19082  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995
This theorem is referenced by:  lspindp3  21031
  Copyright terms: Public domain W3C validator