MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspabs2 20968
Description: Absorption law for span of vector sum. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspabs2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspabs2.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspabs2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspabs2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspabs2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspabs2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspabs2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lspabs2.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Assertion
Ref Expression
lspabs2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))

Proof of Theorem lspabs2
StepHypRef Expression
1 lspabs2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20951 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspabs2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5 lspabs2.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lspabs2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
75, 6lspsnsubg 20824 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
83, 4, 7syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
9 lspabs2.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
115, 6lspsnsubg 20824 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
123, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1413lsmub2 19575 . . . . 5 (((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
158, 12, 14syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
16 lspabs2.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
1716oveq2d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
1813lsmidm 19580 . . . . . 6 ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
198, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
20 lspabs2.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘Š)
215, 20, 6, 3, 4, 10lspprabs 20940 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (𝑋 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
225, 20lmodvacl 20718 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
233, 4, 10, 22syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
245, 6, 13, 3, 4, 23lsmpr 20934 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, (𝑋 + π‘Œ)}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
255, 6, 13, 3, 4, 10lsmpr 20934 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2621, 24, 253eqtr3d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})))
2717, 19, 263eqtr3rd 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{𝑋}))
2815, 27sseqtrd 4017 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
29 lspabs2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
305, 29, 6, 1, 9, 4lspsncmp 20964 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ↔ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋})))
3128, 30mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑋}))
3231eqcomd 2732 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  0gc0g 17391  SubGrpcsubg 19044  LSSumclsm 19551  LModclmod 20703  LSpanclspn 20815  LVecclvec 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948
This theorem is referenced by:  lspindp3  20984
  Copyright terms: Public domain W3C validator