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Theorem lshpkrlem6 37973
Description: Lemma for lshpkrex 37976. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   + (𝑣,𝑒)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒)   π‘ˆ(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑒)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒)   0 (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒)
Proof of Theorem lshpkrlem6
Dummy variables 𝑧 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkrlem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkrlem.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkrlem.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrlem.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkrlem.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
98adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
1110adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
12 simpr2 1195 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
13 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkrlem.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 lshpkrlem.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
17 lshpkrlem.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
18 lshpkrlem.o . . 3 0 = (0gβ€˜π·)
19 lshpkrlem.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
201, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 37970 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
21 simpr3 1196 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 37970 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
23 lveclmod 20709 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
247, 23syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
25 simpr1 1194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
261, 15, 17, 16lmodvscl 20481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
2724, 25, 12, 26syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
281, 2lmodvacl 20478 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
2924, 27, 21, 28syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 37970 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
31 3reeanv 3227 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))))
32 simp1l 1197 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ πœ‘)
33 simp1r1 1269 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
34 simp1r2 1270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
35 simp1r3 1271 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
36 simp2ll 1240 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ)
37 simp2lr 1241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
38 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
3937, 38jca 512 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
40 simp31 1209 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
41 simp32 1210 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
42 simp33 1211 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem5 37972 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
4432, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43syl333anc 1402 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
45443exp 1119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4645expdimp 453 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4746rexlimdv 3153 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4847rexlimdvva 3211 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4931, 48biimtrrid 242 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
5020, 22, 30, 49mp3and 1464 1 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSHypclsh 37833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lshyp 37835
This theorem is referenced by:  lshpkrcl  37974
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