Theorem lshpkrlem6 39975

Description: Lemma for lshpkrex 39978. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   + (𝑣, 𝑢)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   · (𝑣, 𝑢)   𝑈(𝑣, 𝑢)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   𝐾(𝑦, 𝑣, 𝑢)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   𝑉(𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑙)   𝑋(𝑣, 𝑢)   0 (𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑙)   𝑍(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem lshpkrlem6

Dummy variables 𝑧 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkrlem.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkrlem.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkrlem.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrlem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkrlem.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
12		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑢 ∈ 𝑉)
13		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15		lshpkrlem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16		lshpkrlem.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
17		lshpkrlem.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18		lshpkrlem.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
19		lshpkrlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem3 39972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ∃𝑟 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
21		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
22	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem3 39972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ∃𝑠 ∈ 𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
23		lveclmod 21291	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
24	7, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
25		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → 𝑙 ∈ 𝐾)
26	1, 15, 17, 16	lmodvscl 21063	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
27	24, 25, 12, 26	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
28	1, 2	lmodvacl 21060	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
29	24, 27, 21, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
30	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem3 39972	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ∃𝑧 ∈ 𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
31		3reeanv 3237	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝑈 ∃𝑠 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) ↔ (∃𝑟 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))))
32		simp1l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝜑)
33		simp1r1 1288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑙 ∈ 𝐾)
34		simp1r2 1289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 ∈ 𝑉)
35		simp1r3 1290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 ∈ 𝑉)
36		simp2ll 1259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟 ∈ 𝑈)
37		simp2lr 1260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠 ∈ 𝑈)
38		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
39	37, 38	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈))
40		simp31 1228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)))
41		simp32 1229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)))
42		simp33 1230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19	lshpkrlem5 39974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑟 ∈ 𝑈 ∧ (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
44	32, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43	syl333anc 1429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
45	44	3exp 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (((𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
46	45	expdimp 458	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈)) → (𝑧 ∈ 𝑈 → ((𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
47	46	rexlimdv 3163	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑠 ∈ 𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣))))
48	47	rexlimdvva 3221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (∃𝑟 ∈ 𝑈 ∃𝑠 ∈ 𝑈 ∃𝑧 ∈ 𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣))))
49	31, 48	biimtrrid 246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → ((∃𝑟 ∈ 𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺‘𝑢) · 𝑍)) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺‘𝑣) · 𝑍)) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣))))
50	20, 22, 30, 49	mp3and 1493	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528  LSSumclsm 19762  LModclmod 21045  LSpanclspn 21156  LVecclvec 21287  LSHypclsh 39835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lshyp 39837

This theorem is used by:  lshpkrcl  39976