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Theorem lshpkrlem6 38642
Description: Lemma for lshpkrex 38645. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   + (𝑣,𝑒)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒)   π‘ˆ(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑒)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒)   0 (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒)
Proof of Theorem lshpkrlem6
Dummy variables 𝑧 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkrlem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkrlem.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkrlem.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrlem.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkrlem.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
12 simpr2 1192 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
13 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkrlem.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 lshpkrlem.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
17 lshpkrlem.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
18 lshpkrlem.o . . 3 0 = (0gβ€˜π·)
19 lshpkrlem.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
201, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 38639 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
21 simpr3 1193 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 38639 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
23 lveclmod 20993 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
247, 23syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
25 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
261, 15, 17, 16lmodvscl 20763 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
2724, 25, 12, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
281, 2lmodvacl 20760 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
2924, 27, 21, 28syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 38639 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
31 3reeanv 3218 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))))
32 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ πœ‘)
33 simp1r1 1266 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
34 simp1r2 1267 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
35 simp1r3 1268 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
36 simp2ll 1237 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ)
37 simp2lr 1238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
38 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
3937, 38jca 510 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
40 simp31 1206 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
41 simp32 1207 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
42 simp33 1208 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem5 38641 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
4432, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43syl333anc 1399 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
45443exp 1116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4645expdimp 451 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4746rexlimdv 3143 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4847rexlimdvva 3202 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4931, 48biimtrrid 242 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
5020, 22, 30, 49mp3and 1460 1 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  β„©crio 7370  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  LSSumclsm 19591  LModclmod 20745  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  LSHypclsh 38502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lshyp 38504
This theorem is referenced by:  lshpkrcl  38643
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