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Theorem lshpkrlem6 37623
Description: Lemma for lshpkrex 37626. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   + (𝑣,𝑒)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒)   π‘ˆ(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑒)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒)   0 (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem lshpkrlem6
Dummy variables 𝑧 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkrlem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkrlem.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkrlem.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrlem.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkrlem.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
1110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
12 simpr2 1196 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
13 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkrlem.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 lshpkrlem.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
17 lshpkrlem.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
18 lshpkrlem.o . . 3 0 = (0gβ€˜π·)
19 lshpkrlem.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
201, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 37620 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
21 simpr3 1197 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 37620 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
23 lveclmod 20582 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
247, 23syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
25 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
261, 15, 17, 16lmodvscl 20354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
2724, 25, 12, 26syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
281, 2lmodvacl 20351 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
2924, 27, 21, 28syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 37620 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
31 3reeanv 3217 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))))
32 simp1l 1198 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ πœ‘)
33 simp1r1 1270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
34 simp1r2 1271 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
35 simp1r3 1272 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
36 simp2ll 1241 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ)
37 simp2lr 1242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
38 simp2r 1201 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
3937, 38jca 513 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
40 simp31 1210 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
41 simp32 1211 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
42 simp33 1212 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem5 37622 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
4432, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43syl333anc 1403 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
45443exp 1120 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4645expdimp 454 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4746rexlimdv 3147 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4847rexlimdvva 3202 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4931, 48biimtrrid 242 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
5020, 22, 30, 49mp3and 1465 1 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  LSSumclsm 19421  LModclmod 20336  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578  LSHypclsh 37483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-lshyp 37485
This theorem is referenced by:  lshpkrcl  37624
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