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Theorem lshpkrlem6 38498
Description: Lemma for lshpkrex 38501. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   π‘ˆ,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑙   𝑒,π‘˜,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   + (𝑣,𝑒)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   Β· (𝑣,𝑒)   π‘ˆ(𝑣,𝑒)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑒)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑒)   0 (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑒)
Proof of Theorem lshpkrlem6
Dummy variables 𝑧 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkrlem.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkrlem.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkrlem.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrlem.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkrlem.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
1110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
12 simpr2 1192 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
13 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkrlem.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 lshpkrlem.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
17 lshpkrlem.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
18 lshpkrlem.o . . 3 0 = (0gβ€˜π·)
19 lshpkrlem.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
201, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 38495 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
21 simpr3 1193 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 38495 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
23 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
247, 23syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
25 simpr1 1191 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
261, 15, 17, 16lmodvscl 20724 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
2724, 25, 12, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉)
281, 2lmodvacl 20721 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑙 Β· 𝑒) ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
2924, 27, 21, 28syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) ∈ 𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 38495 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
31 3reeanv 3221 . . 3 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) ↔ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))))
32 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ πœ‘)
33 simp1r1 1266 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑙 ∈ 𝐾)
34 simp1r2 1267 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
35 simp1r3 1268 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
36 simp2ll 1237 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ)
37 simp2lr 1238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑠 ∈ π‘ˆ)
38 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
3937, 38jca 511 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
40 simp31 1206 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
41 simp32 1207 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)))
42 simp33 1208 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem5 38497 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
4432, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43syl333anc 1399 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍)))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
45443exp 1116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4645expdimp 452 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
4746rexlimdv 3147 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑠 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4847rexlimdvva 3205 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ (𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
4931, 48biimtrrid 242 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ ((βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘ˆ 𝑒 = (π‘Ÿ + ((πΊβ€˜π‘’) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘  ∈ π‘ˆ 𝑣 = (𝑠 + ((πΊβ€˜π‘£) Β· 𝑍)) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ ((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣) = (𝑧 + ((πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) Β· 𝑍))) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£))))
5020, 22, 30, 49mp3and 1460 1 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LSHypclsh 38358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360
This theorem is referenced by:  lshpkrcl  38499
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