Theorem hdmaprnlem7N 41380

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19, s-St ∈ G(u'+s) = P*. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmaprnlem1.pt	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem7N	⊢ (𝜑 → (𝑠(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))

Proof of Theorem hdmaprnlem7N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
2		hdmaprnlem1.a	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
4		hdmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		hdmaprnlem1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	lcdlmod 41117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
8		lmodabl 20791	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Abel)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Abel)
10		hdmaprnlem1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmaprnlem1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		hdmaprnlem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
14	4, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 13	hdmapcl 41355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷)
15		hdmaprnlem1.se	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
16	15	eldifad 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐷)
17		hdmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18		hdmaprnlem1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
19		hdmaprnlem1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20		hdmaprnlem1.ve	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		hdmaprnlem1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
22		hdmaprnlem1.un	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
23		hdmaprnlem1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
24		hdmaprnlem1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
25		hdmaprnlem1.t2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
26	4, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25	hdmaprnlem4tN 41377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)
27	4, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 26	hdmapcl 41355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑡) ∈ 𝐷)
28	1, 2, 3, 9, 14, 16, 27, 9, 14, 16, 27	ablpnpcan 19773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)(-g‘𝐶)((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))) = (𝑠(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑡)))
29	1, 2	lmodvacl 20757	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
30	7, 14, 16, 29	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
31		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
32	1, 31, 18	lspsncl 20860	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
33	7, 30, 32	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
34	1, 18	lspsnid 20876	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
35	7, 30, 34	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
36	1, 2	lmodvacl 20757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆‘𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ 𝐷)
37	7, 14, 27, 36	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ 𝐷)
38	1, 18	lspsnid 20876	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))
39	7, 37, 38	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))
40		hdmaprnlem1.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
41		hdmaprnlem1.pt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
42	4, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25, 40, 41	hdmaprnlem6N 41379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))}))
43	39, 42	eleqtrrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
44	3, 31	lssvsubcl 20827	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶)) ∧ (((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))) → (((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)(-g‘𝐶)((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
45	7, 33, 35, 43, 44	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)(-g‘𝐶)((𝑆‘𝑢) ✚ (𝑆‘𝑡))) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
46	28, 45	eqeltrrd 2826	1 ⊢ (𝜑 → (𝑠(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3938  {csn 4625  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17415  -_gcsg 18891  Abelcabl 19735  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854  HLchlt 38874  LHypclh 39509  DVecHcdvh 40603  LCDualclcd 41111  mapdcmpd 41149  HDMapchdma 41317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38477

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38500  df-lshyp 38501  df-lcv 38543  df-lfl 38582  df-lkr 38610  df-ldual 38648  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-lplanes 39024  df-lvols 39025  df-lines 39026  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513  df-laut 39514  df-ldil 39629  df-ltrn 39630  df-trl 39684  df-tgrp 40268  df-tendo 40280  df-edring 40282  df-dveca 40528  df-disoa 40554  df-dvech 40604  df-dib 40664  df-dic 40698  df-dih 40754  df-doch 40873  df-djh 40920  df-lcdual 41112  df-mapd 41150  df-hvmap 41282  df-hdmap1 41318  df-hdmap 41319

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  41382