Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem7N 41252
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19, s-St ∈ G(u'+s) = P*. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.t2 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.pt (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem7N (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))

Proof of Theorem hdmaprnlem7N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
2 hdmaprnlem1.a . . 3 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
3 eqid 2727 . . 3 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
4 hdmaprnlem1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 hdmaprnlem1.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6lcdlmod 40989 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
8 lmodabl 20774 . . . 4 (𝐢 ∈ LMod β†’ 𝐢 ∈ Abel)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Abel)
10 hdmaprnlem1.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 hdmaprnlem1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 hdmaprnlem1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
144, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 13hdmapcl 41227 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷)
15 hdmaprnlem1.se . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
1615eldifad 3956 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐷)
17 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
18 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
19 hdmaprnlem1.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 hdmaprnlem1.ve . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
21 hdmaprnlem1.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
22 hdmaprnlem1.un . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
23 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
24 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
25 hdmaprnlem1.t2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
264, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25hdmaprnlem4tN 41249 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
274, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 26hdmapcl 41227 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‘) ∈ 𝐷)
281, 2, 3, 9, 14, 16, 27, 9, 14, 16, 27ablpnpcan 19758 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)(-gβ€˜πΆ)((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘))) = (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)))
291, 2lmodvacl 20740 . . . . 5 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
307, 14, 16, 29syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
31 eqid 2727 . . . . 5 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
321, 31, 18lspsncl 20843 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
337, 30, 32syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
341, 18lspsnid 20859 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
357, 30, 34syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
361, 2lmodvacl 20740 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷 ∧ (π‘†β€˜π‘‘) ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ 𝐷)
377, 14, 27, 36syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ 𝐷)
381, 18lspsnid 20859 . . . . 5 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘))}))
397, 37, 38syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘))}))
40 hdmaprnlem1.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
41 hdmaprnlem1.pt . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
424, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25, 40, 41hdmaprnlem6N 41251 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘))}))
4339, 42eleqtrrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
443, 31lssvsubcl 20810 . . 3 (((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ)) ∧ (((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))) β†’ (((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)(-gβ€˜πΆ)((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘))) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
457, 33, 35, 43, 44syl22anc 838 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)(-gβ€˜πΆ)((π‘†β€˜π‘’) ✚ (π‘†β€˜π‘‘))) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
4628, 45eqeltrrd 2829 1 (πœ‘ β†’ (𝑠(-gβ€˜πΆ)(π‘†β€˜π‘‘)) ∈ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  0gc0g 17406  -gcsg 18877  Abelcabl 19720  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  LSpanclspn 20837  HLchlt 38746  LHypclh 39381  DVecHcdvh 40475  LCDualclcd 40983  mapdcmpd 41021  HDMapchdma 41189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-lshyp 38373  df-lcv 38415  df-lfl 38454  df-lkr 38482  df-ldual 38520  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tgrp 40140  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-dveca 40400  df-disoa 40426  df-dvech 40476  df-dib 40536  df-dic 40570  df-dih 40626  df-doch 40745  df-djh 40792  df-lcdual 40984  df-mapd 41022  df-hvmap 41154  df-hdmap1 41190  df-hdmap 41191
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  41254
  Copyright terms: Public domain W3C validator