Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem7N 37931
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 19, s-St G(u'+s) = P*. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem1.t2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
hdmaprnlem1.p + = (+g𝑈)
hdmaprnlem1.pt (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem7N (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))

Proof of Theorem hdmaprnlem7N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
2 hdmaprnlem1.a . . 3 = (+g𝐶)
3 eqid 2826 . . 3 (-g𝐶) = (-g𝐶)
4 hdmaprnlem1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 hdmaprnlem1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6lcdlmod 37668 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
8 lmodabl 19267 . . . 4 (𝐶 ∈ LMod → 𝐶 ∈ Abel)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Abel)
10 hdmaprnlem1.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmaprnlem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 hdmaprnlem1.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (𝜑𝑢𝑉)
144, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 13hdmapcl 37906 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
15 hdmaprnlem1.se . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
1615eldifad 3811 . . 3 (𝜑𝑠𝐷)
17 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
18 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
19 hdmaprnlem1.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20 hdmaprnlem1.ve . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
21 hdmaprnlem1.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
22 hdmaprnlem1.un . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
23 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
24 hdmaprnlem1.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
25 hdmaprnlem1.t2 . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
264, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25hdmaprnlem4tN 37928 . . . 4 (𝜑𝑡𝑉)
274, 10, 11, 5, 1, 12, 6, 26hdmapcl 37906 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑡) ∈ 𝐷)
281, 2, 3, 9, 14, 16, 27, 9, 14, 16, 27ablpnpcan 18579 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑢) 𝑠)(-g𝐶)((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))) = (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)))
291, 2lmodvacl 19234 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
307, 14, 16, 29syl3anc 1496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
31 eqid 2826 . . . . 5 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
321, 31, 18lspsncl 19337 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
337, 30, 32syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
341, 18lspsnid 19353 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
357, 30, 34syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
361, 2lmodvacl 19234 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆𝑡) ∈ 𝐷) → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ 𝐷)
377, 14, 27, 36syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ 𝐷)
381, 18lspsnid 19353 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ 𝐷) → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))}))
397, 37, 38syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))}))
40 hdmaprnlem1.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
41 hdmaprnlem1.pt . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
424, 10, 11, 17, 5, 18, 19, 12, 6, 15, 20, 21, 13, 22, 1, 23, 24, 2, 25, 40, 41hdmaprnlem6N 37930 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))}))
4339, 42eleqtrrd 2910 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
443, 31lssvsubcl 19301 . . 3 (((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶)) ∧ (((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∧ ((𝑆𝑢) (𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) → (((𝑆𝑢) 𝑠)(-g𝐶)((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
457, 33, 35, 43, 44syl22anc 874 . 2 (𝜑 → (((𝑆𝑢) 𝑠)(-g𝐶)((𝑆𝑢) (𝑆𝑡))) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
4628, 45eqeltrrd 2908 1 (𝜑 → (𝑠(-g𝐶)(𝑆𝑡)) ∈ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cdif 3796  {csn 4398  cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  0gc0g 16454  -gcsg 17779  Abelcabl 18548  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331  HLchlt 35426  LHypclh 36060  DVecHcdvh 37154  LCDualclcd 37662  mapdcmpd 37700  HDMapchdma 37868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-lsatoms 35052  df-lshyp 35053  df-lcv 35095  df-lfl 35134  df-lkr 35162  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tgrp 36819  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dveca 37079  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424  df-djh 37471  df-lcdual 37663  df-mapd 37701  df-hvmap 37833  df-hdmap1 37869  df-hdmap 37870
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  37933
  Copyright terms: Public domain W3C validator