Theorem hdmaprnlem3uN 42314

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem3uN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaprnlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		hdmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10	8, 4, 9	lspsncl 20966	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11	6, 7, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	mapdcnvid1N 42117	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13		hdmaprnlem1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmaprnlem1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15		hdmaprnlem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7	hdmap10 42303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}))
17		hdmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
18		hdmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
19		hdmaprnlem1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
20	1, 13, 5	lcdlvec 42054	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
21	1, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7	hdmapcl 42293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷)
22		hdmaprnlem1.se	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23		hdmaprnlem1.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
24		hdmaprnlem1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25		hdmaprnlem1.un	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
26	1, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25	hdmaprnlem1N 42312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
27	17, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26	lspindp3 21129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
28	16, 27	eqnetrd 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 11	mapdcl 42116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
30	1, 13, 5	lcdlmod 42055	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
31	22	eldifad 3902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐷)
32	17, 18	lmodvacl 20864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
33	30, 21, 31, 32	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
34		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
35	17, 34, 14	lspsncl 20966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
36	30, 33, 35	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
37	1, 2, 13, 34, 5	mapdrn2 42114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
38	36, 37	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
39	1, 2, 5, 29, 38	mapdcnv11N 42122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
40	39	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
41	28, 40	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
42	12, 41	eqnetrrd 3001	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ^◡ccnv 5624  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  0_gc0g 17396  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920  LSpanclspn 20960  HLchlt 39813  LHypclh 40447  DVecHcdvh 41541  LCDualclcd 42049  mapdcmpd 42087  HDMapchdma 42255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-riotaBAD 39416

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-0g 17398  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-nzr 20484  df-rlreg 20665  df-domn 20666  df-drng 20702  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lvec 21093  df-lsatoms 39439  df-lshyp 39440  df-lcv 39482  df-lfl 39521  df-lkr 39549  df-ldual 39587  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-llines 39961  df-lplanes 39962  df-lvols 39963  df-lines 39964  df-psubsp 39966  df-pmap 39967  df-padd 40259  df-lhyp 40451  df-laut 40452  df-ldil 40567  df-ltrn 40568  df-trl 40622  df-tgrp 41206  df-tendo 41218  df-edring 41220  df-dveca 41466  df-disoa 41492  df-dvech 41542  df-dib 41602  df-dic 41636  df-dih 41692  df-doch 41811  df-djh 41858  df-lcdual 42050  df-mapd 42088  df-hvmap 42220  df-hdmap1 42256  df-hdmap 42257

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  42321