Theorem hdmaprnlem3uN 42050

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem3uN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaprnlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		hdmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10	8, 4, 9	lspsncl 20926	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	mapdcnvid1N 41853	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13		hdmaprnlem1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmaprnlem1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15		hdmaprnlem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7	hdmap10 42039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}))
17		hdmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
18		hdmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
19		hdmaprnlem1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
20	1, 13, 5	lcdlvec 41790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
21	1, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7	hdmapcl 42029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷)
22		hdmaprnlem1.se	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23		hdmaprnlem1.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
24		hdmaprnlem1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25		hdmaprnlem1.un	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
26	1, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25	hdmaprnlem1N 42048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
27	17, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26	lspindp3 21089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
28	16, 27	eqnetrd 2997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 11	mapdcl 41852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
30	1, 13, 5	lcdlmod 41791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
31	22	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐷)
32	17, 18	lmodvacl 20824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
33	30, 21, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
34		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
35	17, 34, 14	lspsncl 20926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
36	30, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
37	1, 2, 13, 34, 5	mapdrn2 41850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
38	36, 37	eleqtrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
39	1, 2, 5, 29, 38	mapdcnv11N 41858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
40	39	necon3bid 2974	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
41	28, 40	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
42	12, 41	eqnetrrd 2998	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896  {csn 4578  ^◡ccnv 5621  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357  LModclmod 20809  LSubSpclss 20880  LSpanclspn 20920  HLchlt 39549  LHypclh 40183  DVecHcdvh 41277  LCDualclcd 41785  mapdcmpd 41823  HDMapchdma 41991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-riotaBAD 39152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-0g 17359  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-nzr 20444  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053  df-lsatoms 39175  df-lshyp 39176  df-lcv 39218  df-lfl 39257  df-lkr 39285  df-ldual 39323  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-llines 39697  df-lplanes 39698  df-lvols 39699  df-lines 39700  df-psubsp 39702  df-pmap 39703  df-padd 39995  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304  df-trl 40358  df-tgrp 40942  df-tendo 40954  df-edring 40956  df-dveca 41202  df-disoa 41228  df-dvech 41278  df-dib 41338  df-dic 41372  df-dih 41428  df-doch 41547  df-djh 41594  df-lcdual 41786  df-mapd 41824  df-hvmap 41956  df-hdmap1 41992  df-hdmap 41993

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  42057