Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3uN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3uN 39052
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3uN (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmaprnlem1.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmaprnlem1.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2824 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmaprnlem1.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 38311 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.ue . . . 4 (𝜑𝑢𝑉)
8 hdmaprnlem1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmaprnlem1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
108, 4, 9lspsncl 19737 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
116, 7, 10syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 2, 3, 4, 5, 11mapdcnvid1N 38855 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13 hdmaprnlem1.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15 hdmaprnlem1.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
161, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7hdmap10 39041 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
17 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
18 hdmaprnlem1.a . . . . 5 = (+g𝐶)
19 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
201, 13, 5lcdlvec 38792 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
211, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7hdmapcl 39031 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
22 hdmaprnlem1.se . . . . 5 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23 hdmaprnlem1.ve . . . . . 6 (𝜑𝑣𝑉)
24 hdmaprnlem1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25 hdmaprnlem1.un . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
261, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25hdmaprnlem1N 39050 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
2717, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26lspindp3 19896 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
2816, 27eqnetrd 3080 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
291, 2, 3, 4, 5, 11mapdcl 38854 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
301, 13, 5lcdlmod 38793 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
3122eldifad 3930 . . . . . . . 8 (𝜑𝑠𝐷)
3217, 18lmodvacl 19636 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
3330, 21, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
34 eqid 2824 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3517, 34, 14lspsncl 19737 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
3630, 33, 35syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
371, 2, 13, 34, 5mapdrn2 38852 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
3836, 37eleqtrrd 2919 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
391, 2, 5, 29, 38mapdcnv11N 38860 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4039necon3bid 3057 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4128, 40mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
4212, 41eqnetrrd 3081 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cdif 3915  {csn 4548  ccnv 5537  ran crn 5539  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  0gc0g 16704  LModclmod 19622  LSubSpclss 19691  LSpanclspn 19731  HLchlt 36551  LHypclh 37185  DVecHcdvh 38279  LCDualclcd 38787  mapdcmpd 38825  HDMapchdma 38993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-riotaBAD 36154
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-iin 4905  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-tpos 7877  df-undef 7924  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19364  df-dvdsr 19382  df-unit 19383  df-invr 19413  df-dvr 19424  df-drng 19492  df-lmod 19624  df-lss 19692  df-lsp 19732  df-lvec 19863  df-lsatoms 36177  df-lshyp 36178  df-lcv 36220  df-lfl 36259  df-lkr 36287  df-ldual 36325  df-oposet 36377  df-ol 36379  df-oml 36380  df-covers 36467  df-ats 36468  df-atl 36499  df-cvlat 36523  df-hlat 36552  df-llines 36699  df-lplanes 36700  df-lvols 36701  df-lines 36702  df-psubsp 36704  df-pmap 36705  df-padd 36997  df-lhyp 37189  df-laut 37190  df-ldil 37305  df-ltrn 37306  df-trl 37360  df-tgrp 37944  df-tendo 37956  df-edring 37958  df-dveca 38204  df-disoa 38230  df-dvech 38280  df-dib 38340  df-dic 38374  df-dih 38430  df-doch 38549  df-djh 38596  df-lcdual 38788  df-mapd 38826  df-hvmap 38958  df-hdmap1 38994  df-hdmap 38995
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  39059
  Copyright terms: Public domain W3C validator