Theorem hdmaprnlem3uN 42725

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem3uN	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3uN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaprnlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		hdmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		hdmaprnlem1.ue	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
8		hdmaprnlem1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10	8, 4, 9	lspsncl 21162	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
11	6, 7, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	mapdcnvid1N 42528	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (𝑁‘{𝑢}))
13		hdmaprnlem1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		hdmaprnlem1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15		hdmaprnlem1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16	1, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 7	hdmap10 42714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}))
17		hdmaprnlem1.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
18		hdmaprnlem1.a	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
19		hdmaprnlem1.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
20	1, 13, 5	lcdlvec 42465	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
21	1, 3, 8, 13, 17, 15, 5, 7	hdmapcl 42704	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷)
22		hdmaprnlem1.se	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23		hdmaprnlem1.ve	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
24		hdmaprnlem1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25		hdmaprnlem1.un	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
26	1, 3, 8, 9, 13, 14, 2, 15, 5, 22, 23, 24, 7, 25	hdmaprnlem1N 42723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
27	17, 18, 19, 14, 20, 21, 22, 26	lspindp3 21324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑢)}) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
28	16, 27	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}))
29	1, 2, 3, 4, 5, 11	mapdcl 42527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ ran 𝑀)
30	1, 13, 5	lcdlmod 42466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
31	22	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ 𝐷)
32	17, 18	lmodvacl 21060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑢) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
33	30, 21, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
34		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
35	17, 34, 14	lspsncl 21162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
36	30, 33, 35	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
37	1, 2, 13, 34, 5	mapdrn2 42525	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
38	36, 37	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
39	1, 2, 5, 29, 38	mapdcnv11N 42533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) = (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
40	39	necon3bid 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ≠ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
41	28, 40	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))
42	12, 41	eqnetrrd 3023	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (◡𝑀‘(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DVecHcdvh 41952  LCDualclcd 42460  mapdcmpd 42498  HDMapchdma 42666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-oppg 19474  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-nzr 20674  df-rlreg 20857  df-domn 20858  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-lshyp 39851  df-lcv 39893  df-lfl 39932  df-lkr 39960  df-ldual 39998  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tgrp 41617  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-dveca 41877  df-disoa 41903  df-dvech 41953  df-dib 42013  df-dic 42047  df-dih 42103  df-doch 42222  df-djh 42269  df-lcdual 42461  df-mapd 42499  df-hvmap 42631  df-hdmap1 42667  df-hdmap 42668

This theorem is used by:  hdmaprnlem3eN  42732