Theorem mapdh6eN 39351

Description: Lemmma for mapdh6N 39358. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6eN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   𝑤,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   ✚ (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6eN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdhc.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdhc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdhcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
20	3, 5, 14	dvhlmod 38721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21		mapdh6d.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	21	eldifad 3872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
23		mapdh6d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	6, 18	lmodvacl 19730	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
27	3, 5, 14	dvhlvec 38720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
28	17	eldifad 3872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29		mapdh6d.wn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
30	6, 9, 27, 22, 28, 24, 29	lspindpi 19986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
31	30	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	6, 18, 8, 9, 20, 22, 24, 31	lmodindp1 19868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 )
33		eldifsn 4680	. . 3 ⊢ ((𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 ))
34	26, 32, 33	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35		mapdh6d.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36	35	eldifad 3872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
37		mapdh6d.yz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
38		mapdh6d.xn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
39	6, 9, 27, 28, 24, 36, 38	lspindpi 19986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
40	39	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41	6, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29	mapdindp3 39333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
42	6, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29	mapdindp4 39334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
43	6, 8, 9, 27, 17, 26, 36, 41, 42	lspindp1 19987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})))
44	43	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
45		prcom 4628	. . . . 5 ⊢ {(𝑤 + 𝑌), 𝑍} = {𝑍, (𝑤 + 𝑌)}
46	45	fveq2i 6666	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})
47	46	eleq2i 2843	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
48	44, 47	sylnibr 332	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}))
49	6, 9, 27, 36, 28, 26, 42	lspindpi 19986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
50	49	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
51	50	necomd 3006	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
52		eqidd 2759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩))
53		eqidd 2759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53	mapdh6aN 39346	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857  ifcif 4423  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5116  ‘cfv 6340  ℩crio 7113  (class class class)co 7156  1^st c1st 7697  2^nd c2nd 7698  Basecbs 16555  +_gcplusg 16637  0_gc0g 16785  -_gcsg 18185  LModclmod 19716  LSpanclspn 19825  HLchlt 36961  LHypclh 37595  DVecHcdvh 38689  LCDualclcd 39197  mapdcmpd 39235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-riotaBAD 36564

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-undef 7955  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-0g 16787  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-proset 17618  df-poset 17636  df-plt 17648  df-lub 17664  df-glb 17665  df-join 17666  df-meet 17667  df-p0 17729  df-p1 17730  df-lat 17736  df-clat 17798  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-subg 18357  df-cntz 18528  df-oppg 18555  df-lsm 18842  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-oppr 19458  df-dvdsr 19476  df-unit 19477  df-invr 19507  df-dvr 19518  df-drng 19586  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-lsp 19826  df-lvec 19957  df-lsatoms 36587  df-lshyp 36588  df-lcv 36630  df-lfl 36669  df-lkr 36697  df-ldual 36735  df-oposet 36787  df-ol 36789  df-oml 36790  df-covers 36877  df-ats 36878  df-atl 36909  df-cvlat 36933  df-hlat 36962  df-llines 37109  df-lplanes 37110  df-lvols 37111  df-lines 37112  df-psubsp 37114  df-pmap 37115  df-padd 37407  df-lhyp 37599  df-laut 37600  df-ldil 37715  df-ltrn 37716  df-trl 37770  df-tgrp 38354  df-tendo 38366  df-edring 38368  df-dveca 38614  df-disoa 38640  df-dvech 38690  df-dib 38750  df-dic 38784  df-dih 38840  df-doch 38959  df-djh 39006  df-lcdual 39198  df-mapd 39236

This theorem is referenced by:  mapdh6gN  39353