Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6eN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6eN 41253
Description: Lemmma for mapdh6N 41260. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdh6d.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh6d.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh6d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.w (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh6d.wn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdh6eN (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   𝑀,β„Ž   β„Ž,𝑍,π‘₯   ✚ ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘₯   + ,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀)   𝐷(𝑀)   + (𝑀)   ✚ (π‘₯,𝑀)   𝑄(𝑀,β„Ž)   𝑅(𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀)   𝐹(𝑀)   𝐻(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝐼(𝑀)   𝐽(𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑀(𝑀)   βˆ’ (𝑀)   𝑁(𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑀,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,𝑀,β„Ž)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(𝑀)   0 (𝑀)   𝑍(𝑀)

Proof of Theorem mapdh6eN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . 2 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . 2 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . 2 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . 2 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . 2 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . 2 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . 2 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . 2 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . 2 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdh.p . 2 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
19 mapdh.a . 2 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
203, 5, 14dvhlmod 40623 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
21 mapdh6d.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2221eldifad 3961 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
23 mapdh6d.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2423eldifad 3961 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
256, 18lmodvacl 20772 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
2620, 22, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
273, 5, 14dvhlvec 40622 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2817eldifad 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
29 mapdh6d.wn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
306, 9, 27, 22, 28, 24, 29lspindpi 21034 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
3130simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
326, 18, 8, 9, 20, 22, 24, 31lmodindp1 20912 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 + π‘Œ) β‰  0 )
33 eldifsn 4795 . . 3 ((𝑀 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((𝑀 + π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 + π‘Œ) β‰  0 ))
3426, 32, 33sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
35 mapdh6d.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3635eldifad 3961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
37 mapdh6d.yz . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
38 mapdh6d.xn . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
396, 9, 27, 28, 24, 36, 38lspindpi 21034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
4039simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
416, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp3 41235 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}))
426, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29mapdindp4 41236 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (𝑀 + π‘Œ)}))
436, 8, 9, 27, 17, 26, 36, 41, 42lspindp1 21035 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)})))
4443simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)}))
45 prcom 4741 . . . . 5 {(𝑀 + π‘Œ), 𝑍} = {𝑍, (𝑀 + π‘Œ)}
4645fveq2i 6905 . . . 4 (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ), 𝑍}) = (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)})
4746eleq2i 2821 . . 3 (𝑋 ∈ (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ), 𝑍}) ↔ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)}))
4844, 47sylnibr 328 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ), 𝑍}))
496, 9, 27, 36, 28, 26, 42lspindpi 21034 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})))
5049simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}))
5150necomd 2993 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
52 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩))
53 eqidd 2729 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53mapdh6aN 41248 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, ((𝑀 + π‘Œ) + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (𝑀 + π‘Œ)⟩) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946  ifcif 4532  {csn 4632  {cpr 4634  βŸ¨cotp 4640   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  1st c1st 7999  2nd c2nd 8000  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  -gcsg 18906  LModclmod 20757  LSpanclspn 20869  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  LCDualclcd 41099  mapdcmpd 41137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908  df-lcdual 41100  df-mapd 41138
This theorem is referenced by:  mapdh6gN  41255
  Copyright terms: Public domain W3C validator