Theorem mapdh6eN 40611

Description: Lemmma for mapdh6N 40618. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdh6d.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6d.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.w	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh6d.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh6eN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   𝑤,ℎ   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑥   + ,ℎ,𝑥   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝐷(𝑤)   + (𝑤)   ✚ (𝑥,𝑤)   𝑄(𝑤,ℎ)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑥,𝑤,ℎ)   𝐼(𝑤)   𝐽(𝑤)   𝐾(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑀(𝑤)   − (𝑤)   𝑁(𝑤)   𝑉(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,ℎ)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)   0 (𝑤)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem mapdh6eN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdhc.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdhc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdhcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh.a	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
20	3, 5, 14	dvhlmod 39981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
21		mapdh6d.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	21	eldifad 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
23		mapdh6d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
24	23	eldifad 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	6, 18	lmodvacl 20486	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
27	3, 5, 14	dvhlvec 39980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
28	17	eldifad 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
29		mapdh6d.wn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
30	6, 9, 27, 22, 28, 24, 29	lspindpi 20745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
31	30	simprd 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
32	6, 18, 8, 9, 20, 22, 24, 31	lmodindp1 20625	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 )
33		eldifsn 4791	. . 3 ⊢ ((𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑤 + 𝑌) ≠ 0 ))
34	26, 32, 33	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35		mapdh6d.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
36	35	eldifad 3961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
37		mapdh6d.yz	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
38		mapdh6d.xn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
39	6, 9, 27, 28, 24, 36, 38	lspindpi 20745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
40	39	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
41	6, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29	mapdindp3 40593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
42	6, 18, 8, 9, 27, 17, 23, 35, 21, 37, 40, 29	mapdindp4 40594	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
43	6, 8, 9, 27, 17, 26, 36, 41, 42	lspindp1 20746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})))
44	43	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
45		prcom 4737	. . . . 5 ⊢ {(𝑤 + 𝑌), 𝑍} = {𝑍, (𝑤 + 𝑌)}
46	45	fveq2i 6895	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) = (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)})
47	46	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
48	44, 47	sylnibr 329	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌), 𝑍}))
49	6, 9, 27, 36, 28, 26, 42	lspindpi 20745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
50	49	simprd 497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
51	50	necomd 2997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
52		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩))
53		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 34, 35, 48, 51, 52, 53	mapdh6aN 40606	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, ((𝑤 + 𝑌) + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631  ⟨cotp 4637   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  ℩crio 7364  (class class class)co 7409  1^st c1st 7973  2^nd c2nd 7974  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  -_gcsg 18821  LModclmod 20471  LSpanclspn 20582  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  LCDualclcd 40457  mapdcmpd 40495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lshyp 37847  df-lcv 37889  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-ldual 37994  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266  df-lcdual 40458  df-mapd 40496

This theorem is referenced by:  mapdh6gN  40613