Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp4 39382
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 mapdindp1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 mapdindp1.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 mapdindp1.z . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lveclmod 19999 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3855 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
10 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3855 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
12 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
131, 12lmodvacl 19769 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
147, 9, 11, 13syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdindp1.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1615eldifad 3855 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdindp1.e . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 20025 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
2019simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2120necomd 2989 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 20029 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
231, 12lmodcom 19801 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
247, 9, 11, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑤))
2524sneqd 4528 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝑤 + 𝑌)} = {(𝑌 + 𝑤)})
2625fveq2d 6680 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 + 𝑤)}))
2722, 26neeqtrrd 3008 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
2817, 27eqnetrrd 3002 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
29 mapdindp1.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 20026 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
3130simprd 499 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
32 eqid 2738 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
335eldifad 3855 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 19982 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
351, 12lmodcom 19801 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑤𝑉) → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
367, 11, 9, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑌))
3736preq2d 4631 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌, (𝑌 + 𝑤)} = {𝑌, (𝑤 + 𝑌)})
3837fveq2d 6680 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}))
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 19988 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑌 + 𝑤)}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 19982 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, (𝑤 + 𝑌)}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
4138, 39, 403eqtr3rd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
4217oveq1d 7187 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
43 prcom 4623 . . . . . . . 8 {𝑌, 𝑤} = {𝑤, 𝑌}
4443fveq2i 6679 . . . . . . 7 (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌})
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4641, 42, 453eqtr3d 2781 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4734, 46eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
4831, 47neleqtrrd 2855 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, (𝑤 + 𝑌)}))
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 20026 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)})))
5049simprd 499 1 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, (𝑤 + 𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cdif 3840  {csn 4516  {cpr 4518  cfv 6339  (class class class)co 7172  Basecbs 16588  +gcplusg 16670  0gc0g 16818  LSSumclsm 18879  LModclmod 19755  LSpanclspn 19864  LVecclvec 19995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-tpos 7923  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-0g 16820  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-subg 18396  df-cntz 18567  df-lsm 18881  df-cmn 19028  df-abl 19029  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-ring 19420  df-oppr 19497  df-dvdsr 19515  df-unit 19516  df-invr 19546  df-drng 19625  df-lmod 19757  df-lss 19825  df-lsp 19865  df-lvec 19996
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  39399  hdmap1l6e  39473
  Copyright terms: Public domain W3C validator