Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp4 40215
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (𝑀 + π‘Œ)}))

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 mapdindp1.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 mapdindp1.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 mapdindp1.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
5 mapdindp1.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
6 lveclmod 20583 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 mapdindp1.W . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
98eldifad 3927 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
10 mapdindp1.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110eldifad 3927 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
131, 12lmodvacl 20352 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
147, 9, 11, 13syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
15 mapdindp1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1615eldifad 3927 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
17 mapdindp1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 20609 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
2019simprd 497 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2120necomd 3000 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 20613 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑀)}))
231, 12lmodcom 20384 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑀))
247, 9, 11, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑀))
2524sneqd 4603 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑀 + π‘Œ)} = {(π‘Œ + 𝑀)})
2625fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑀)}))
2722, 26neeqtrrd 3019 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}))
2817, 27eqnetrrd 3013 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}))
29 mapdindp1.ne . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 20610 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ})))
3130simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ}))
32 eqid 2737 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
335eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 20566 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)}) = ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})))
351, 12lmodcom 20384 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑀) = (𝑀 + π‘Œ))
367, 11, 9, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑀) = (𝑀 + π‘Œ))
3736preq2d 4706 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Œ, (π‘Œ + 𝑀)} = {π‘Œ, (𝑀 + π‘Œ)})
3837fveq2d 6851 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, (π‘Œ + 𝑀)}) = (π‘β€˜{π‘Œ, (𝑀 + π‘Œ)}))
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 20572 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, (π‘Œ + 𝑀)}) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 20566 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, (𝑀 + π‘Œ)}) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})))
4138, 39, 403eqtr3rd 2786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})) = (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
4217oveq1d 7377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})) = ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})))
43 prcom 4698 . . . . . . . 8 {π‘Œ, 𝑀} = {𝑀, π‘Œ}
4443fveq2i 6850 . . . . . . 7 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}) = (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ})
4544a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}) = (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ}))
4641, 42, 453eqtr3d 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑍})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)})) = (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ}))
4734, 46eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)}) = (π‘β€˜{𝑀, π‘Œ}))
4831, 47neleqtrrd 2861 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑍, (𝑀 + π‘Œ)}))
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 20610 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑀 + π‘Œ)}) ∧ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (𝑀 + π‘Œ)})))
5049simprd 497 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, (𝑀 + π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448  LVecclvec 20579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  40232  hdmap1l6e  40306
  Copyright terms: Public domain W3C validator