Theorem hdmap11lem1 42615

Description: Lemma for hdmapadd 42617. (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap11.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap11.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap11.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmap11.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmap11.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap11.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap11.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap11.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap11.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap11lem0.1a	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝑉)
hdmap11lem0.6	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
hdmap11lem0.2a	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))

Assertion

Ref	Expression
hdmap11lem1	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋) ✚ (𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmap11lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap11.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap11.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap11.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap11.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
5		hdmap11.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmap11.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		hdmap11.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap11.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		hdmap11.a	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
10		hdmap11.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
11		hdmap11.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap11.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap11.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
15		hdmap11.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18		hdmap11.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
19	1, 16, 17, 2, 3, 5, 18, 13	dvheveccl 41886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 5, 7, 8, 14, 15, 13, 19	hvmapcl2 42540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
21	20	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
22	1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 15, 13, 19	mapdhvmap 42543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝐿‘{(𝐽‘𝐸)}))
23		hdmap11lem0.2a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
24	23	necomd 3013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑧}))
25		hdmap11lem0.1a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝑉)
26	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 21, 22, 24, 19, 25	hdmap1cl 42578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) ∈ 𝐷)
27		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
28	1, 2, 13	dvhlmod 41884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
29		hdmap11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
30		hdmap11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	3, 27, 6, 28, 29, 30	lspprcl 21099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32		hdmap11lem0.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
33	5, 27, 28, 31, 25, 32	lssneln0 21074	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
34		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩))
35		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
36		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
37	1, 2, 3, 35, 5, 6, 7, 8, 36, 10, 11, 12, 13, 19, 21, 33, 26, 24, 22	hdmap1eq 42575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑧)})) = (𝐿‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩))}))))
38	34, 37	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑧)})) = (𝐿‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩))})))
39	38	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑧})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩)}))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 26, 33, 29, 30, 32, 39	hdmap1l6 42595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), (𝑋 + 𝑌)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑋⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑌⟩)))
41		hdmap11.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
42	3, 4	lmodvacl 20996	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
43	28, 29, 30, 42	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
44	1, 2, 13	dvhlvec 41883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
45	19	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
46	3, 4, 6, 28, 29, 30	lspprvacl 21120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
47	27, 6, 28, 31, 46	ellspsn5 21117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
48	47, 32	ssneldd 3940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
49	3, 6, 28, 25, 43, 48	lspsnne2 21242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
50	3, 6, 5, 44, 45, 43, 33, 23, 49	hdmaplem4 42548	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
51	1, 18, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 12, 41, 13, 43, 25, 50	hdmapval2 42606	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), (𝑋 + 𝑌)⟩))
52	3, 6, 44, 25, 29, 30, 32	lspindpi 21256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
53	52	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
54	3, 6, 5, 44, 45, 29, 33, 23, 53	hdmaplem4 42548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
55	1, 18, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 12, 41, 13, 29, 25, 54	hdmapval2 42606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑋⟩))
56	52	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑧}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
57	3, 6, 5, 44, 45, 30, 33, 23, 56	hdmaplem4 42548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑌})))
58	1, 18, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 12, 41, 13, 30, 25, 57	hdmapval2 42606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) = (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑌⟩))
59	55, 58	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) ✚ (𝑆‘𝑌)) = ((𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑋⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑧, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑧⟩), 𝑌⟩)))
60	40, 51, 59	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋) ✚ (𝑆‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  -_gcsg 18997  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  LSpanclspn 21092  HLchlt 40124  LHypclh 40758  LTrncltrn 40875  DVecHcdvh 41852  LCDualclcd 42360  mapdcmpd 42398  HVMapchvm 42530  HDMap1chdma1 42565  HDMapchdma 42566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39727

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-nzr 20610  df-rlreg 20793  df-domn 20794  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39750  df-lshyp 39751  df-lcv 39793  df-lfl 39832  df-lkr 39860  df-ldual 39898  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274  df-lines 40275  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570  df-lhyp 40762  df-laut 40763  df-ldil 40878  df-ltrn 40879  df-trl 40933  df-tgrp 41517  df-tendo 41529  df-edring 41531  df-dveca 41777  df-disoa 41803  df-dvech 41853  df-dib 41913  df-dic 41947  df-dih 42003  df-doch 42122  df-djh 42169  df-lcdual 42361  df-mapd 42399  df-hvmap 42531  df-hdmap1 42567  df-hdmap 42568

This theorem is referenced by:  hdmap11lem2  42616