Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilphllem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlhilphllem 41138
Description: Lemma for hlhil 25192. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhilphllem.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphl.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilphllem.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hlhilphllem.l 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphllem.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
hlhilphllem.a + = (+gβ€˜πΏ)
hlhilphllem.s Β· = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
hlhilphllem.r 𝑅 = (Scalarβ€˜πΏ)
hlhilphllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hlhilphllem.p ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
hlhilphllem.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
hlhilphllem.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
hlhilphllem.z 0 = (0gβ€˜πΏ)
hlhilphllem.i , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ)
hlhilphllem.j 𝐽 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphllem.g 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphllem.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((π½β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
hlhilphllem (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐾   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š,𝑦   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   ⨣ (π‘₯,𝑦)   𝑄(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   Γ— (π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem hlhilphllem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hlhilphllem.u . . 3 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hlhilphl.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 hlhilphllem.l . . 3 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hlhilphllem.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 41111 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 hlhilphllem.a . . 3 + = (+gβ€˜πΏ)
81, 2, 3, 4, 7hlhilplus 41112 . 2 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘ˆ))
9 hlhilphllem.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
101, 4, 9, 2, 3hlhilvsca 41126 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
11 hlhilphllem.i . . 3 , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ))
13 hlhilphllem.z . . 3 0 = (0gβ€˜πΏ)
141, 4, 2, 3, 13hlhil0 41134 . 2 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘ˆ))
15 hlhilphllem.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
1615a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
17 hlhilphllem.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜πΏ)
18 hlhilphllem.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
191, 4, 17, 2, 15, 3, 18hlhilsbase2 41121 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
20 hlhilphllem.p . . 3 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
211, 4, 17, 2, 15, 3, 20hlhilsplus2 41122 . 2 (πœ‘ β†’ ⨣ = (+gβ€˜πΉ))
22 hlhilphllem.t . . 3 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
231, 4, 17, 2, 15, 3, 22hlhilsmul2 41123 . 2 (πœ‘ β†’ Γ— = (.rβ€˜πΉ))
24 hlhilphllem.g . . 3 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
251, 2, 15, 24, 3hlhilnvl 41129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
26 hlhilphllem.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
271, 4, 17, 2, 15, 3, 26hlhils0 41124 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (0gβ€˜πΉ))
281, 2, 3hlhillvec 41130 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
291, 2, 3, 15hlhilsrng 41133 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
30 hlhilphllem.j . . . 4 𝐽 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3133ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simp2 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
33 simp3 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
341, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 32, 33hlhilipval 41128 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž , 𝑏) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž))
351, 4, 5, 17, 18, 30, 31, 32, 33hdmapipcl 41080 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
3634, 35eqeltrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž , 𝑏) ∈ 𝐡)
3733ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
38 simp31 1208 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
39 simp32 1209 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
40 simp33 1210 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
41 simp2 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
421, 4, 5, 7, 9, 17, 18, 20, 22, 30, 37, 38, 39, 40, 41hdmapln1 41081 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π½β€˜π‘)β€˜((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏)) = ((𝑑 Γ— ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ⨣ ((π½β€˜π‘)β€˜π‘)))
431, 4, 3dvhlmod 40285 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ LMod)
44433ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐿 ∈ LMod)
455, 17, 9, 18lmodvscl 20633 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· π‘Ž) ∈ 𝑉)
4644, 41, 38, 45syl3anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑑 Β· π‘Ž) ∈ 𝑉)
475, 7lmodvacl 20630 . . . . 5 ((𝐿 ∈ LMod ∧ (𝑑 Β· π‘Ž) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑉)
4844, 46, 39, 47syl3anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑉)
491, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 48, 40hlhilipval 41128 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) , 𝑐) = ((π½β€˜π‘)β€˜((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏)))
501, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 38, 40hlhilipval 41128 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž , 𝑐) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž))
5150oveq2d 7428 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑑 Γ— (π‘Ž , 𝑐)) = (𝑑 Γ— ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
521, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 39, 40hlhilipval 41128 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑏 , 𝑐) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘))
5351, 52oveq12d 7430 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑑 Γ— (π‘Ž , 𝑐)) ⨣ (𝑏 , 𝑐)) = ((𝑑 Γ— ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ⨣ ((π½β€˜π‘)β€˜π‘)))
5442, 49, 533eqtr4d 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) , 𝑐) = ((𝑑 Γ— (π‘Ž , 𝑐)) ⨣ (𝑏 , 𝑐)))
553adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
56 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
571, 4, 5, 30, 2, 55, 11, 56, 56hlhilipval 41128 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž , π‘Ž) = ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž))
5857eqeq1d 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž , π‘Ž) = 𝑄 ↔ ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 𝑄))
591, 4, 5, 13, 17, 26, 30, 55, 56hdmapip0 41090 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 𝑄 ↔ π‘Ž = 0 ))
6058, 59bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž , π‘Ž) = 𝑄 ↔ π‘Ž = 0 ))
6160biimp3a 1468 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž , π‘Ž) = 𝑄) β†’ π‘Ž = 0 )
621, 4, 5, 30, 24, 31, 32, 33hdmapg 41105 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
6334fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(π‘Ž , 𝑏)) = (πΊβ€˜((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
641, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 33, 32hlhilipval 41128 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 , π‘Ž) = ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
6562, 63, 643eqtr4d 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(π‘Ž , 𝑏)) = (𝑏 , π‘Ž))
666, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 36, 54, 61, 65isphld 21427 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Β·π‘–cip 17207  0gc0g 17390  LModclmod 20615  PreHilcphl 21397  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  HDMapchdma 40967  HGMapchg 41058  HLHilchlh 41107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lmhm 20778  df-lvec 20859  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-phl 21399  df-lsatoms 38150  df-lshyp 38151  df-lcv 38193  df-lfl 38232  df-lkr 38260  df-ldual 38298  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570  df-lcdual 40762  df-mapd 40800  df-hvmap 40932  df-hdmap1 40968  df-hdmap 40969  df-hgmap 41059  df-hlhil 41108
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41139
  Copyright terms: Public domain W3C validator