Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilphllem 41566
Description: Lemma for hlhil 25415. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilphllem.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
hlhilphllem.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilphllem.a + = (+g𝐿)
hlhilphllem.s · = ( ·𝑠𝐿)
hlhilphllem.r 𝑅 = (Scalar‘𝐿)
hlhilphllem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hlhilphllem.p = (+g𝑅)
hlhilphllem.t × = (.r𝑅)
hlhilphllem.q 𝑄 = (0g𝑅)
hlhilphllem.z 0 = (0g𝐿)
hlhilphllem.i , = (·𝑖𝑈)
hlhilphllem.j 𝐽 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.e 𝐸 = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝐽𝑦)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hlhilphllem (𝜑𝑈 ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilphllem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilphllem.u . . 3 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilphl.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 hlhilphllem.l . . 3 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hlhilphllem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐿)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 41539 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑈))
7 hlhilphllem.a . . 3 + = (+g𝐿)
81, 2, 3, 4, 7hlhilplus 41540 . 2 (𝜑+ = (+g𝑈))
9 hlhilphllem.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐿)
101, 4, 9, 2, 3hlhilvsca 41554 . 2 (𝜑· = ( ·𝑠𝑈))
11 hlhilphllem.i . . 3 , = (·𝑖𝑈)
1211a1i 11 . 2 (𝜑, = (·𝑖𝑈))
13 hlhilphllem.z . . 3 0 = (0g𝐿)
141, 4, 2, 3, 13hlhil0 41562 . 2 (𝜑0 = (0g𝑈))
15 hlhilphllem.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
1615a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑈))
17 hlhilphllem.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝐿)
18 hlhilphllem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
191, 4, 17, 2, 15, 3, 18hlhilsbase2 41549 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
20 hlhilphllem.p . . 3 = (+g𝑅)
211, 4, 17, 2, 15, 3, 20hlhilsplus2 41550 . 2 (𝜑 = (+g𝐹))
22 hlhilphllem.t . . 3 × = (.r𝑅)
231, 4, 17, 2, 15, 3, 22hlhilsmul2 41551 . 2 (𝜑× = (.r𝐹))
24 hlhilphllem.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
251, 2, 15, 24, 3hlhilnvl 41557 . 2 (𝜑𝐺 = (*𝑟𝐹))
26 hlhilphllem.q . . 3 𝑄 = (0g𝑅)
271, 4, 17, 2, 15, 3, 26hlhils0 41552 . 2 (𝜑𝑄 = (0g𝐹))
281, 2, 3hlhillvec 41558 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
291, 2, 3, 15hlhilsrng 41561 . 2 (𝜑𝐹 ∈ *-Ring)
30 hlhilphllem.j . . . 4 𝐽 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
3133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → 𝑎𝑉)
33 simp3 1135 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
341, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 32, 33hlhilipval 41556 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎 , 𝑏) = ((𝐽𝑏)‘𝑎))
351, 4, 5, 17, 18, 30, 31, 32, 33hdmapipcl 41508 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝐽𝑏)‘𝑎) ∈ 𝐵)
3634, 35eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎 , 𝑏) ∈ 𝐵)
3733ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
38 simp31 1206 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑎𝑉)
39 simp32 1207 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑏𝑉)
40 simp33 1208 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑐𝑉)
41 simp2 1134 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑑𝐵)
421, 4, 5, 7, 9, 17, 18, 20, 22, 30, 37, 38, 39, 40, 41hdmapln1 41509 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝐽𝑐)‘((𝑑 · 𝑎) + 𝑏)) = ((𝑑 × ((𝐽𝑐)‘𝑎)) ((𝐽𝑐)‘𝑏)))
431, 4, 3dvhlmod 40713 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ LMod)
44433ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝐿 ∈ LMod)
455, 17, 9, 18lmodvscl 20773 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑎𝑉) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝑉)
4644, 41, 38, 45syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝑉)
475, 7lmodvacl 20770 . . . . 5 ((𝐿 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝑉𝑏𝑉) → ((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑉)
4844, 46, 39, 47syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑉)
491, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 48, 40hlhilipval 41556 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) , 𝑐) = ((𝐽𝑐)‘((𝑑 · 𝑎) + 𝑏)))
501, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 38, 40hlhilipval 41556 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 , 𝑐) = ((𝐽𝑐)‘𝑎))
5150oveq2d 7435 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑑 × (𝑎 , 𝑐)) = (𝑑 × ((𝐽𝑐)‘𝑎)))
521, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 39, 40hlhilipval 41556 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑏 , 𝑐) = ((𝐽𝑐)‘𝑏))
5351, 52oveq12d 7437 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑑 × (𝑎 , 𝑐)) (𝑏 , 𝑐)) = ((𝑑 × ((𝐽𝑐)‘𝑎)) ((𝐽𝑐)‘𝑏)))
5442, 49, 533eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) , 𝑐) = ((𝑑 × (𝑎 , 𝑐)) (𝑏 , 𝑐)))
553adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
56 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
571, 4, 5, 30, 2, 55, 11, 56, 56hlhilipval 41556 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑎 , 𝑎) = ((𝐽𝑎)‘𝑎))
5857eqeq1d 2727 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → ((𝑎 , 𝑎) = 𝑄 ↔ ((𝐽𝑎)‘𝑎) = 𝑄))
591, 4, 5, 13, 17, 26, 30, 55, 56hdmapip0 41518 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → (((𝐽𝑎)‘𝑎) = 𝑄𝑎 = 0 ))
6058, 59bitrd 278 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉) → ((𝑎 , 𝑎) = 𝑄𝑎 = 0 ))
6160biimp3a 1465 . 2 ((𝜑𝑎𝑉 ∧ (𝑎 , 𝑎) = 𝑄) → 𝑎 = 0 )
621, 4, 5, 30, 24, 31, 32, 33hdmapg 41533 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐺‘((𝐽𝑏)‘𝑎)) = ((𝐽𝑎)‘𝑏))
6334fveq2d 6900 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐺‘(𝑎 , 𝑏)) = (𝐺‘((𝐽𝑏)‘𝑎)))
641, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 33, 32hlhilipval 41556 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑏 , 𝑎) = ((𝐽𝑎)‘𝑏))
6562, 63, 643eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐺‘(𝑎 , 𝑏)) = (𝑏 , 𝑎))
666, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 36, 54, 61, 65isphld 21603 1 (𝜑𝑈 ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  ·𝑖cip 17241  0gc0g 17424  LModclmod 20755  PreHilcphl 21573  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  HDMapchdma 41395  HGMapchg 41486  HLHilchlh 41535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-phl 21575  df-lsatoms 38578  df-lshyp 38579  df-lcv 38621  df-lfl 38660  df-lkr 38688  df-ldual 38726  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tgrp 40346  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-dveca 40606  df-disoa 40632  df-dvech 40682  df-dib 40742  df-dic 40776  df-dih 40832  df-doch 40951  df-djh 40998  df-lcdual 41190  df-mapd 41228  df-hvmap 41360  df-hdmap1 41396  df-hdmap 41397  df-hgmap 41487  df-hlhil 41536
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41567
  Copyright terms: Public domain W3C validator