Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilphllem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlhilphllem 40926
Description: Lemma for hlhil 24967. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hlhilphllem.u π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphl.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hlhilphllem.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hlhilphllem.l 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphllem.v 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
hlhilphllem.a + = (+gβ€˜πΏ)
hlhilphllem.s Β· = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
hlhilphllem.r 𝑅 = (Scalarβ€˜πΏ)
hlhilphllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hlhilphllem.p ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
hlhilphllem.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
hlhilphllem.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
hlhilphllem.z 0 = (0gβ€˜πΏ)
hlhilphllem.i , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ)
hlhilphllem.j 𝐽 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphllem.g 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hlhilphllem.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ ((π½β€˜π‘¦)β€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
hlhilphllem (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐾   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š,𝑦   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   ⨣ (π‘₯,𝑦)   𝑄(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   Β· (π‘₯,𝑦)   Γ— (π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   , (π‘₯,𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem hlhilphllem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hlhilphllem.u . . 3 π‘ˆ = ((HLHilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hlhilphl.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 hlhilphllem.l . . 3 𝐿 = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hlhilphllem.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜πΏ)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 40899 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 hlhilphllem.a . . 3 + = (+gβ€˜πΏ)
81, 2, 3, 4, 7hlhilplus 40900 . 2 (πœ‘ β†’ + = (+gβ€˜π‘ˆ))
9 hlhilphllem.s . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΏ)
101, 4, 9, 2, 3hlhilvsca 40914 . 2 (πœ‘ β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
11 hlhilphllem.i . . 3 , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ , = (Β·π‘–β€˜π‘ˆ))
13 hlhilphllem.z . . 3 0 = (0gβ€˜πΏ)
141, 4, 2, 3, 13hlhil0 40922 . 2 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜π‘ˆ))
15 hlhilphllem.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
1615a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
17 hlhilphllem.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜πΏ)
18 hlhilphllem.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
191, 4, 17, 2, 15, 3, 18hlhilsbase2 40909 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
20 hlhilphllem.p . . 3 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
211, 4, 17, 2, 15, 3, 20hlhilsplus2 40910 . 2 (πœ‘ β†’ ⨣ = (+gβ€˜πΉ))
22 hlhilphllem.t . . 3 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
231, 4, 17, 2, 15, 3, 22hlhilsmul2 40911 . 2 (πœ‘ β†’ Γ— = (.rβ€˜πΉ))
24 hlhilphllem.g . . 3 𝐺 = ((HGMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
251, 2, 15, 24, 3hlhilnvl 40917 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (*π‘Ÿβ€˜πΉ))
26 hlhilphllem.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
271, 4, 17, 2, 15, 3, 26hlhils0 40912 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (0gβ€˜πΉ))
281, 2, 3hlhillvec 40918 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
291, 2, 3, 15hlhilsrng 40921 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
30 hlhilphllem.j . . . 4 𝐽 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3133ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
32 simp2 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
33 simp3 1138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
341, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 32, 33hlhilipval 40916 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž , 𝑏) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž))
351, 4, 5, 17, 18, 30, 31, 32, 33hdmapipcl 40868 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
3634, 35eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž , 𝑏) ∈ 𝐡)
3733ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
38 simp31 1209 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
39 simp32 1210 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
40 simp33 1211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
41 simp2 1137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
421, 4, 5, 7, 9, 17, 18, 20, 22, 30, 37, 38, 39, 40, 41hdmapln1 40869 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π½β€˜π‘)β€˜((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏)) = ((𝑑 Γ— ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ⨣ ((π½β€˜π‘)β€˜π‘)))
431, 4, 3dvhlmod 40073 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ LMod)
44433ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐿 ∈ LMod)
455, 17, 9, 18lmodvscl 20493 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· π‘Ž) ∈ 𝑉)
4644, 41, 38, 45syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑑 Β· π‘Ž) ∈ 𝑉)
475, 7lmodvacl 20490 . . . . 5 ((𝐿 ∈ LMod ∧ (𝑑 Β· π‘Ž) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑉)
4844, 46, 39, 47syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ 𝑉)
491, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 48, 40hlhilipval 40916 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) , 𝑐) = ((π½β€˜π‘)β€˜((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏)))
501, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 38, 40hlhilipval 40916 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ž , 𝑐) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž))
5150oveq2d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑑 Γ— (π‘Ž , 𝑐)) = (𝑑 Γ— ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
521, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 39, 40hlhilipval 40916 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑏 , 𝑐) = ((π½β€˜π‘)β€˜π‘))
5351, 52oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑑 Γ— (π‘Ž , 𝑐)) ⨣ (𝑏 , 𝑐)) = ((𝑑 Γ— ((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)) ⨣ ((π½β€˜π‘)β€˜π‘)))
5442, 49, 533eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑑 Β· π‘Ž) + 𝑏) , 𝑐) = ((𝑑 Γ— (π‘Ž , 𝑐)) ⨣ (𝑏 , 𝑐)))
553adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
56 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
571, 4, 5, 30, 2, 55, 11, 56, 56hlhilipval 40916 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž , π‘Ž) = ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž))
5857eqeq1d 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž , π‘Ž) = 𝑄 ↔ ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 𝑄))
591, 4, 5, 13, 17, 26, 30, 55, 56hdmapip0 40878 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 𝑄 ↔ π‘Ž = 0 ))
6058, 59bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž , π‘Ž) = 𝑄 ↔ π‘Ž = 0 ))
6160biimp3a 1469 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž , π‘Ž) = 𝑄) β†’ π‘Ž = 0 )
621, 4, 5, 30, 24, 31, 32, 33hdmapg 40893 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)) = ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
6334fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(π‘Ž , 𝑏)) = (πΊβ€˜((π½β€˜π‘)β€˜π‘Ž)))
641, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 33, 32hlhilipval 40916 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 , π‘Ž) = ((π½β€˜π‘Ž)β€˜π‘))
6562, 63, 643eqtr4d 2782 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(π‘Ž , 𝑏)) = (𝑏 , π‘Ž))
666, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 36, 54, 61, 65isphld 21213 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  Β·π‘–cip 17204  0gc0g 17387  LModclmod 20475  PreHilcphl 21183  HLchlt 38312  LHypclh 38947  DVecHcdvh 40041  HDMapchdma 40755  HGMapchg 40846  HLHilchlh 40895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37915
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-0g 17389  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-staf 20457  df-srng 20458  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lmhm 20638  df-lvec 20719  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-phl 21185  df-lsatoms 37938  df-lshyp 37939  df-lcv 37981  df-lfl 38020  df-lkr 38048  df-ldual 38086  df-oposet 38138  df-ol 38140  df-oml 38141  df-covers 38228  df-ats 38229  df-atl 38260  df-cvlat 38284  df-hlat 38313  df-llines 38461  df-lplanes 38462  df-lvols 38463  df-lines 38464  df-psubsp 38466  df-pmap 38467  df-padd 38759  df-lhyp 38951  df-laut 38952  df-ldil 39067  df-ltrn 39068  df-trl 39122  df-tgrp 39706  df-tendo 39718  df-edring 39720  df-dveca 39966  df-disoa 39992  df-dvech 40042  df-dib 40102  df-dic 40136  df-dih 40192  df-doch 40311  df-djh 40358  df-lcdual 40550  df-mapd 40588  df-hvmap 40720  df-hdmap1 40756  df-hdmap 40757  df-hgmap 40847  df-hlhil 40896
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  40927
  Copyright terms: Public domain W3C validator