Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlhilphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlhilphllem 39596
Description: Lemma for hlhil 24195. (Contributed by NM, 23-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlhilphl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hlhilphllem.u 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphl.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hlhilphllem.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
hlhilphllem.l 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.v 𝑉 = (Base‘𝐿)
hlhilphllem.a + = (+g𝐿)
hlhilphllem.s · = ( ·𝑠𝐿)
hlhilphllem.r 𝑅 = (Scalar‘𝐿)
hlhilphllem.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hlhilphllem.p = (+g𝑅)
hlhilphllem.t × = (.r𝑅)
hlhilphllem.q 𝑄 = (0g𝑅)
hlhilphllem.z 0 = (0g𝐿)
hlhilphllem.i , = (·𝑖𝑈)
hlhilphllem.j 𝐽 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hlhilphllem.e 𝐸 = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ ((𝐽𝑦)‘𝑥))
Assertion
Ref Expression
hlhilphllem (𝜑𝑈 ∈ PreHil)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑄(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   𝑈(𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   , (𝑥,𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem hlhilphllem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlhilphl.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hlhilphllem.u . . 3 𝑈 = ((HLHil‘𝐾)‘𝑊)
3 hlhilphl.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 hlhilphllem.l . . 3 𝐿 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hlhilphllem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐿)
61, 2, 3, 4, 5hlhilbase 39573 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑈))
7 hlhilphllem.a . . 3 + = (+g𝐿)
81, 2, 3, 4, 7hlhilplus 39574 . 2 (𝜑+ = (+g𝑈))
9 hlhilphllem.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐿)
101, 4, 9, 2, 3hlhilvsca 39584 . 2 (𝜑· = ( ·𝑠𝑈))
11 hlhilphllem.i . . 3 , = (·𝑖𝑈)
1211a1i 11 . 2 (𝜑, = (·𝑖𝑈))
13 hlhilphllem.z . . 3 0 = (0g𝐿)
141, 4, 2, 3, 13hlhil0 39592 . 2 (𝜑0 = (0g𝑈))
15 hlhilphllem.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
1615a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝑈))
17 hlhilphllem.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝐿)
18 hlhilphllem.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
191, 4, 17, 2, 15, 3, 18hlhilsbase2 39579 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐹))
20 hlhilphllem.p . . 3 = (+g𝑅)
211, 4, 17, 2, 15, 3, 20hlhilsplus2 39580 . 2 (𝜑 = (+g𝐹))
22 hlhilphllem.t . . 3 × = (.r𝑅)
231, 4, 17, 2, 15, 3, 22hlhilsmul2 39581 . 2 (𝜑× = (.r𝐹))
24 hlhilphllem.g . . 3 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
251, 2, 15, 24, 3hlhilnvl 39587 . 2 (𝜑𝐺 = (*𝑟𝐹))
26 hlhilphllem.q . . 3 𝑄 = (0g𝑅)
271, 4, 17, 2, 15, 3, 26hlhils0 39582 . 2 (𝜑𝑄 = (0g𝐹))
281, 2, 3hlhillvec 39588 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
291, 2, 3, 15hlhilsrng 39591 . 2 (𝜑𝐹 ∈ *-Ring)
30 hlhilphllem.j . . . 4 𝐽 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
3133ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
32 simp2 1138 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → 𝑎𝑉)
33 simp3 1139 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
341, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 32, 33hlhilipval 39586 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎 , 𝑏) = ((𝐽𝑏)‘𝑎))
351, 4, 5, 17, 18, 30, 31, 32, 33hdmapipcl 39542 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝐽𝑏)‘𝑎) ∈ 𝐵)
3634, 35eqeltrd 2833 . 2 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎 , 𝑏) ∈ 𝐵)
3733ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
38 simp31 1210 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑎𝑉)
39 simp32 1211 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑏𝑉)
40 simp33 1212 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑐𝑉)
41 simp2 1138 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝑑𝐵)
421, 4, 5, 7, 9, 17, 18, 20, 22, 30, 37, 38, 39, 40, 41hdmapln1 39543 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝐽𝑐)‘((𝑑 · 𝑎) + 𝑏)) = ((𝑑 × ((𝐽𝑐)‘𝑎)) ((𝐽𝑐)‘𝑏)))
431, 4, 3dvhlmod 38747 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ LMod)
44433ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → 𝐿 ∈ LMod)
455, 17, 9, 18lmodvscl 19770 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑎𝑉) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝑉)
4644, 41, 38, 45syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝑉)
475, 7lmodvacl 19767 . . . . 5 ((𝐿 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑎) ∈ 𝑉𝑏𝑉) → ((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑉)
4844, 46, 39, 47syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑉)
491, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 48, 40hlhilipval 39586 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) , 𝑐) = ((𝐽𝑐)‘((𝑑 · 𝑎) + 𝑏)))
501, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 38, 40hlhilipval 39586 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 , 𝑐) = ((𝐽𝑐)‘𝑎))
5150oveq2d 7186 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑑 × (𝑎 , 𝑐)) = (𝑑 × ((𝐽𝑐)‘𝑎)))
521, 4, 5, 30, 2, 37, 11, 39, 40hlhilipval 39586 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑏 , 𝑐) = ((𝐽𝑐)‘𝑏))
5351, 52oveq12d 7188 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑑 × (𝑎 , 𝑐)) (𝑏 , 𝑐)) = ((𝑑 × ((𝐽𝑐)‘𝑎)) ((𝐽𝑐)‘𝑏)))
5442, 49, 533eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝑑𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (((𝑑 · 𝑎) + 𝑏) , 𝑐) = ((𝑑 × (𝑎 , 𝑐)) (𝑏 , 𝑐)))
553adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
56 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
571, 4, 5, 30, 2, 55, 11, 56, 56hlhilipval 39586 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑎 , 𝑎) = ((𝐽𝑎)‘𝑎))
5857eqeq1d 2740 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → ((𝑎 , 𝑎) = 𝑄 ↔ ((𝐽𝑎)‘𝑎) = 𝑄))
591, 4, 5, 13, 17, 26, 30, 55, 56hdmapip0 39552 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → (((𝐽𝑎)‘𝑎) = 𝑄𝑎 = 0 ))
6058, 59bitrd 282 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉) → ((𝑎 , 𝑎) = 𝑄𝑎 = 0 ))
6160biimp3a 1470 . 2 ((𝜑𝑎𝑉 ∧ (𝑎 , 𝑎) = 𝑄) → 𝑎 = 0 )
621, 4, 5, 30, 24, 31, 32, 33hdmapg 39567 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐺‘((𝐽𝑏)‘𝑎)) = ((𝐽𝑎)‘𝑏))
6334fveq2d 6678 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐺‘(𝑎 , 𝑏)) = (𝐺‘((𝐽𝑏)‘𝑎)))
641, 4, 5, 30, 2, 31, 11, 33, 32hlhilipval 39586 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑏 , 𝑎) = ((𝐽𝑎)‘𝑏))
6562, 63, 643eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐺‘(𝑎 , 𝑏)) = (𝑏 , 𝑎))
666, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 36, 54, 61, 65isphld 20470 1 (𝜑𝑈 ∈ PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  .rcmulr 16669  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672  ·𝑖cip 16673  0gc0g 16816  LModclmod 19753  PreHilcphl 20440  HLchlt 36987  LHypclh 37621  DVecHcdvh 38715  HDMapchdma 39429  HGMapchg 39520  HLHilchlh 39569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-0g 16818  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-oppg 18592  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-rnghom 19589  df-drng 19623  df-subrg 19652  df-staf 19735  df-srng 19736  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lmhm 19913  df-lvec 19994  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-phl 20442  df-lsatoms 36613  df-lshyp 36614  df-lcv 36656  df-lfl 36695  df-lkr 36723  df-ldual 36761  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tgrp 38380  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-dveca 38640  df-disoa 38666  df-dvech 38716  df-dib 38776  df-dic 38810  df-dih 38866  df-doch 38985  df-djh 39032  df-lcdual 39224  df-mapd 39262  df-hvmap 39394  df-hdmap1 39430  df-hdmap 39431  df-hgmap 39521  df-hlhil 39570
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  39597
  Copyright terms: Public domain W3C validator