Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp0 41431
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
mapdindp1.yz (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 mapdindp1.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 mapdindp1.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 21080 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 mapdindp1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3958 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
98, 1, 2lspsncl 20950 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
105, 7, 9syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 mapdindp1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
1211, 10eqeltrrd 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
141, 13lsmcl 21057 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
155, 10, 12, 14syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161lsssssubg 20931 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
175, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1817, 10sseldd 3979 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1911, 18eqeltrrd 2827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
208, 2lspsnid 20966 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
215, 7, 20syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
22 mapdindp1.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2322eldifad 3958 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
248, 2lspsnid 20966 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
255, 23, 24syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
26 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
2726, 13lsmelvali 19644 . . . . 5 ((((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∧ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
291, 2, 5, 15, 28ellspsn5 20969 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3011oveq2d 7432 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3113lsmidm 19657 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
3218, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
3330, 32eqtr3d 2768 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘{𝑌}))
3429, 33sseqtrd 4019 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
368, 26lmodvacl 20847 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
375, 7, 23, 36syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38 mapdindp1.yz . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
39 eldifsn 4785 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
4037, 38, 39sylanbrc 581 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 21093 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌})))
4234, 41mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3943  wss 3946  {csn 4623  {cpr 4625  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  0gc0g 17449  SubGrpcsubg 19110  LSSumclsm 19628  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  LSpanclspn 20944  LVecclvec 21076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-cntz 19307  df-lsm 19630  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-drng 20705  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lvec 21077
This theorem is referenced by:  mapdindp1  41432  mapdindp2  41433
  Copyright terms: Public domain W3C validator