Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp0 41721
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
mapdindp1.yz (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 mapdindp1.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 mapdindp1.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 21105 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 mapdindp1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3963 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
98, 1, 2lspsncl 20975 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
105, 7, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 mapdindp1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
1211, 10eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 eqid 2737 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
141, 13lsmcl 21082 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
155, 10, 12, 14syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161lsssssubg 20956 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
175, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1817, 10sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1911, 18eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
208, 2lspsnid 20991 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
215, 7, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
22 mapdindp1.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2322eldifad 3963 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
248, 2lspsnid 20991 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
255, 23, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
26 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
2726, 13lsmelvali 19668 . . . . 5 ((((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∧ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
291, 2, 5, 15, 28ellspsn5 20994 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3011oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3113lsmidm 19681 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
3218, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
3330, 32eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘{𝑌}))
3429, 33sseqtrd 4020 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
368, 26lmodvacl 20873 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
375, 7, 23, 36syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38 mapdindp1.yz . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
39 eldifsn 4786 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
4037, 38, 39sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 21118 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌})))
4234, 41mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102
This theorem is referenced by:  mapdindp1  41722  mapdindp2  41723
  Copyright terms: Public domain W3C validator