Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp0 41702
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
mapdindp1.yz (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 mapdindp1.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 mapdindp1.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 21123 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 mapdindp1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3975 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
98, 1, 2lspsncl 20993 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
105, 7, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 mapdindp1.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
1211, 10eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 eqid 2735 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
141, 13lsmcl 21100 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
155, 10, 12, 14syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
161lsssssubg 20974 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
175, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1817, 10sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
1911, 18eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
208, 2lspsnid 21009 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
215, 7, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
22 mapdindp1.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2322eldifad 3975 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
248, 2lspsnid 21009 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
255, 23, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))
26 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
2726, 13lsmelvali 19683 . . . . 5 ((((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∧ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑍}))) → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
291, 2, 5, 15, 28ellspsn5 21012 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3011oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3113lsmidm 19696 . . . . 5 ((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
3218, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑌})) = (𝑁‘{𝑌}))
3330, 32eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})) = (𝑁‘{𝑌}))
3429, 33sseqtrd 4036 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdindp1.o . . 3 0 = (0g𝑊)
368, 26lmodvacl 20890 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
375, 7, 23, 36syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
38 mapdindp1.yz . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
39 eldifsn 4791 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
4037, 38, 39sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 21136 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌})))
4234, 41mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120
This theorem is referenced by:  mapdindp1  41703  mapdindp2  41704
  Copyright terms: Public domain W3C validator