Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp0 41103
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
mapdindp1.yz (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 mapdindp1.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 mapdindp1.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 mapdindp1.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
98, 1, 2lspsncl 20824 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
105, 7, 9syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
11 mapdindp1.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
1211, 10eqeltrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
13 eqid 2726 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
141, 13lsmcl 20931 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
155, 10, 12, 14syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
161lsssssubg 20805 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
175, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1817, 10sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1911, 18eqeltrrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
208, 2lspsnid 20840 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
215, 7, 20syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
22 mapdindp1.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2322eldifad 3955 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
248, 2lspsnid 20840 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
255, 23, 24syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
26 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
2726, 13lsmelvali 19570 . . . . 5 ((((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
291, 2, 5, 15, 28lspsnel5a 20843 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
3011oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
3113lsmidm 19583 . . . . 5 ((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3218, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3330, 32eqtr3d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3429, 33sseqtrd 4017 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}))
35 mapdindp1.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
368, 26lmodvacl 20721 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
375, 7, 23, 36syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
38 mapdindp1.yz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
39 eldifsn 4785 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
4037, 38, 39sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 20967 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
4234, 41mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  mapdindp1  41104  mapdindp2  41105
  Copyright terms: Public domain W3C validator