Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp0 40228
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
mapdindp1.p + = (+gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
mapdindp1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
mapdindp1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.W (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdindp1.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
mapdindp1.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdindp1.f (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
mapdindp1.yz (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 mapdindp1.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 mapdindp1.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20582 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 mapdindp1.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3923 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
98, 1, 2lspsncl 20453 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
105, 7, 9syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
11 mapdindp1.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{𝑍}))
1211, 10eqeltrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
13 eqid 2733 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
141, 13lsmcl 20559 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
155, 10, 12, 14syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
161lsssssubg 20434 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
175, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1817, 10sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
1911, 18eqeltrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
208, 2lspsnid 20469 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
215, 7, 20syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
22 mapdindp1.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2322eldifad 3923 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
248, 2lspsnid 20469 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
255, 23, 24syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))
26 mapdindp1.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
2726, 13lsmelvali 19437 . . . . 5 ((((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑍}))) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
291, 2, 5, 15, 28lspsnel5a 20472 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
3011oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
3113lsmidm 19450 . . . . 5 ((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3218, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3330, 32eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3429, 33sseqtrd 3985 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}))
35 mapdindp1.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
368, 26lmodvacl 20351 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
375, 7, 23, 36syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
38 mapdindp1.yz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
39 eldifsn 4748 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
4037, 38, 39sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 20593 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
4234, 41mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  SubGrpcsubg 18927  LSSumclsm 19421  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  mapdindp1  40229  mapdindp2  40230
  Copyright terms: Public domain W3C validator