Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3N 41375
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 15, T β‰  P. Our (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})) is Baer's P, where P* = G(u'+s). (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3N (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
2 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
63, 4, 5lcdlmod 41117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
9 hdmaprnlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmaprnlem1.ue . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
113, 7, 8, 4, 1, 9, 5, 10hdmapcl 41355 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷)
12 hdmaprnlem1.se . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
1312eldifad 3953 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ 𝐷)
14 hdmaprnlem1.a . . . . . . 7 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
151, 14lmodvacl 20757 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘†β€˜π‘’) ∈ 𝐷 ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
166, 11, 13, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷)
17 eqid 2725 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
181, 17, 2lspsncl 20860 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
196, 13, 18syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
201, 2lspsnid 20876 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) β†’ 𝑠 ∈ (πΏβ€˜{𝑠}))
216, 13, 20syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (πΏβ€˜{𝑠}))
22 hdmaprnlem1.q . . . . . . 7 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
233, 4, 5lcdlvec 41116 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
24 hdmaprnlem1.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
25 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
263, 7, 5dvhlmod 40635 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
27 hdmaprnlem1.ve . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
28 hdmaprnlem1.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
298, 25, 28lspsncl 20860 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3026, 27, 29syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
31 hdmaprnlem1.un . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
3224, 25, 26, 30, 10, 31lssneln0 20836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
333, 7, 8, 24, 4, 22, 1, 9, 5, 32hdmapnzcl 41370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘’) ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
34 hdmaprnlem1.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
35 hdmaprnlem1.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
363, 7, 8, 28, 4, 2, 34, 9, 5, 12, 27, 35, 10, 31hdmaprnlem1N 41374 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{(π‘†β€˜π‘’)}) β‰  (πΏβ€˜{𝑠}))
371, 22, 2, 23, 33, 13, 36lspsnne1 21004 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘†β€˜π‘’) ∈ (πΏβ€˜{𝑠}))
381, 14, 17, 6, 19, 21, 11, 37lssvancl2 20829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ (πΏβ€˜{𝑠}))
391, 2, 6, 16, 13, 38lspsnne2 21005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) β‰  (πΏβ€˜{𝑠}))
4039necomd 2986 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{𝑠}) β‰  (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
411, 17, 2lspsncl 20860 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ LMod ∧ ((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠) ∈ 𝐷) β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
426, 16, 41syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
433, 34, 4, 17, 5mapdrn2 41176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 = (LSubSpβ€˜πΆ))
4442, 43eleqtrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
453, 34, 5, 44mapdcnvid2 41182 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))) = (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))
4640, 35, 453netr4d 3008 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) β‰  (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))))
473, 34, 7, 25, 5, 44mapdcnvcl 41177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
483, 7, 25, 34, 5, 30, 47mapd11 41164 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))) ↔ (π‘β€˜{𝑣}) = (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))))
4948necon3bid 2975 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) β‰  (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))) ↔ (π‘β€˜{𝑣}) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}))))
5046, 49mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑣}) β‰  (β—‘π‘€β€˜(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3938  {csn 4625  β—‘ccnv 5672  ran crn 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  0gc0g 17415  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854  HLchlt 38874  LHypclh 39509  DVecHcdvh 40603  LCDualclcd 41111  mapdcmpd 41149  HDMapchdma 41317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38477
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38500  df-lshyp 38501  df-lcv 38543  df-lfl 38582  df-lkr 38610  df-ldual 38648  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-lplanes 39024  df-lvols 39025  df-lines 39026  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513  df-laut 39514  df-ldil 39629  df-ltrn 39630  df-trl 39684  df-tgrp 40268  df-tendo 40280  df-edring 40282  df-dveca 40528  df-disoa 40554  df-dvech 40604  df-dib 40664  df-dic 40698  df-dih 40754  df-doch 40873  df-djh 40920  df-lcdual 41112  df-mapd 41150  df-hvmap 41282  df-hdmap1 41318  df-hdmap 41319
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  41382  hdmaprnlem3eN  41383
  Copyright terms: Public domain W3C validator