Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3N 37806
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 15, T P. Our (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) is Baer's P, where P* = G(u'+s). (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3N (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))

Proof of Theorem hdmaprnlem3N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
2 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
3 hdmaprnlem1.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmaprnlem1.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmaprnlem1.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5lcdlmod 37548 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
7 hdmaprnlem1.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
9 hdmaprnlem1.s . . . . . . 7 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmaprnlem1.ue . . . . . . 7 (𝜑𝑢𝑉)
113, 7, 8, 4, 1, 9, 5, 10hdmapcl 37786 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
12 hdmaprnlem1.se . . . . . . 7 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
1312eldifad 3744 . . . . . 6 (𝜑𝑠𝐷)
14 hdmaprnlem1.a . . . . . . 7 = (+g𝐶)
151, 14lmodvacl 19146 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
166, 11, 13, 15syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
17 eqid 2765 . . . . . 6 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
181, 17, 2lspsncl 19249 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
196, 13, 18syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
201, 2lspsnid 19265 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ (𝐿‘{𝑠}))
216, 13, 20syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑠 ∈ (𝐿‘{𝑠}))
22 hdmaprnlem1.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝐶)
233, 4, 5lcdlvec 37547 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
24 hdmaprnlem1.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝑈)
25 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
263, 7, 5dvhlmod 37066 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmaprnlem1.ve . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑣𝑉)
28 hdmaprnlem1.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
298, 25, 28lspsncl 19249 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3026, 27, 29syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31 hdmaprnlem1.un . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
3224, 25, 26, 30, 10, 31lssneln0 19222 . . . . . . . 8 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
333, 7, 8, 24, 4, 22, 1, 9, 5, 32hdmapnzcl 37801 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
34 hdmaprnlem1.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
35 hdmaprnlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
363, 7, 8, 28, 4, 2, 34, 9, 5, 12, 27, 35, 10, 31hdmaprnlem1N 37805 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
371, 22, 2, 23, 33, 13, 36lspsnne1 19389 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝑆𝑢) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
381, 14, 17, 6, 19, 21, 11, 37lssvancl2 19215 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐿‘{𝑠}))
391, 2, 6, 16, 13, 38lspsnne2 19390 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
4039necomd 2992 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ≠ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
411, 17, 2lspsncl 19249 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
426, 16, 41syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
433, 34, 4, 17, 5mapdrn2 37607 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
4442, 43eleqtrrd 2847 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
453, 34, 5, 44mapdcnvid2 37613 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) = (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))
4640, 35, 453netr4d 3014 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ≠ (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))))
473, 34, 7, 25, 5, 44mapdcnvcl 37608 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
483, 7, 25, 34, 5, 30, 47mapd11 37595 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) = (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))))
4948necon3bid 2981 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ≠ (𝑀‘(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))) ↔ (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}))))
5046, 49mpbid 223 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cdif 3729  {csn 4334  ccnv 5276  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  0gc0g 16366  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LSpanclspn 19243  HLchlt 35306  LHypclh 35940  DVecHcdvh 37034  LCDualclcd 37542  mapdcmpd 37580  HDMapchdma 37748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-riotaBAD 34909
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-undef 7602  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-0g 16368  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-p1 17306  df-lat 17312  df-clat 17374  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-lsm 18315  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lsatoms 34932  df-lshyp 34933  df-lcv 34975  df-lfl 35014  df-lkr 35042  df-ldual 35080  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-llines 35454  df-lplanes 35455  df-lvols 35456  df-lines 35457  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944  df-laut 35945  df-ldil 36060  df-ltrn 36061  df-trl 36115  df-tgrp 36699  df-tendo 36711  df-edring 36713  df-dveca 36959  df-disoa 36985  df-dvech 37035  df-dib 37095  df-dic 37129  df-dih 37185  df-doch 37304  df-djh 37351  df-lcdual 37543  df-mapd 37581  df-hvmap 37713  df-hdmap1 37749  df-hdmap 37750
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem9N  37813  hdmaprnlem3eN  37814
  Copyright terms: Public domain W3C validator