Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapinvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapinvlem3 39092
 Description: Line 30 in [Baer] p. 110, f(sw + u, tw - v) = 0. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapinvlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem3.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem3.p + = (+g𝑈)
hdmapinvlem3.m = (-g𝑈)
hdmapinvlem3.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapinvlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem3.t × = (.r𝑅)
hdmapinvlem3.z 0 = (0g𝑅)
hdmapinvlem3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapinvlem3.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapinvlem3.j (𝜑𝐽𝐵)
hdmapinvlem3.ij (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
hdmapinvlem3 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem hdmapinvlem3
StepHypRef Expression
1 hdmapinvlem3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapinvlem3.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapinvlem3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmapinvlem3.m . . . 4 = (-g𝑈)
5 eqid 2820 . . . 4 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2820 . . . 4 (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7 hdmapinvlem3.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmapinvlem3.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 8dvhlmod 38282 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 hdmapinvlem3.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝐵)
11 eqid 2820 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 eqid 2820 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2820 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
14 hdmapinvlem3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
151, 11, 12, 2, 3, 13, 14, 8dvheveccl 38284 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1615eldifad 3925 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑉)
17 hdmapinvlem3.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18 hdmapinvlem3.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
19 hdmapinvlem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
203, 17, 18, 19lmodvscl 19627 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐽𝐵𝐸𝑉) → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
219, 10, 16, 20syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2216snssd 4718 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
23 hdmapinvlem3.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
241, 2, 3, 23dochssv 38527 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
258, 22, 24syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
26 hdmapinvlem3.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2725, 26sseldd 3947 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 27hdmapsub 39019 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷)) = ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷)))
2928fveq1d 6648 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)))
30 eqid 2820 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
31 eqid 2820 . . . 4 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
321, 2, 3, 5, 31, 7, 8, 21hdmapcl 39002 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 · 𝐸)) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
331, 2, 3, 5, 31, 7, 8, 27hdmapcl 39002 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐷) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
34 hdmapinvlem3.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
353, 17, 18, 19lmodvscl 19627 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐵𝐸𝑉) → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
369, 34, 16, 35syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
37 hdmapinvlem3.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
3825, 37sseldd 3947 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
39 hdmapinvlem3.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
403, 39lmodvacl 19624 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉𝐶𝑉) → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
419, 36, 38, 40syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
421, 2, 3, 17, 30, 5, 31, 6, 8, 32, 33, 41lcdvsubval 38790 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))(-g𝑅)((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))))
43 eqid 2820 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
441, 2, 3, 39, 17, 43, 7, 8, 36, 38, 21hdmaplna1 39079 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶)))
45 hdmapinvlem3.t . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
46 hdmapinvlem3.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
471, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 46, 8, 36, 16, 10hdmapglnm2 39083 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸)) = (((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) × (𝐺𝐽)))
481, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 8, 16, 16, 34hdmaplnm1 39081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) = (𝐼 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)))
49 eqid 2820 . . . . . . . . . . 11 ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
50 eqid 2820 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
511, 14, 49, 7, 8, 2, 17, 50hdmapevec2 39008 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐸) = (1r𝑅))
5251oveq2d 7149 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) = (𝐼 × (1r𝑅)))
5317lmodring 19618 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
549, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5519, 45, 50ringridm 19301 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) → (𝐼 × (1r𝑅)) = 𝐼)
5654, 34, 55syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × (1r𝑅)) = 𝐼)
5748, 52, 563eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) = 𝐼)
5857oveq1d 7148 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) × (𝐺𝐽)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
5947, 58eqtrd 2855 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
601, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 46, 8, 38, 16, 10hdmapglnm2 39083 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶) = (((𝑆𝐸)‘𝐶) × (𝐺𝐽)))
61 hdmapinvlem3.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
621, 14, 23, 2, 3, 17, 19, 45, 61, 7, 8, 37hdmapinvlem1 39090 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐶) = 0 )
6362oveq1d 7148 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘𝐶) × (𝐺𝐽)) = ( 0 × (𝐺𝐽)))
641, 2, 17, 19, 46, 8, 10hgmapcl 39061 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐽) ∈ 𝐵)
6519, 45, 61ringlz 19316 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐽) ∈ 𝐵) → ( 0 × (𝐺𝐽)) = 0 )
6654, 64, 65syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 0 × (𝐺𝐽)) = 0 )
6760, 63, 663eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶) = 0 )
6859, 67oveq12d 7151 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶)) = ((𝐼 × (𝐺𝐽))(+g𝑅) 0 ))
69 ringgrp 19281 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7054, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7117, 19, 45lmodmcl 19622 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐵 ∧ (𝐺𝐽) ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵)
729, 34, 64, 71syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵)
7319, 43, 61grprid 18113 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵) → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(+g𝑅) 0 ) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
7470, 72, 73syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(+g𝑅) 0 ) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
7544, 68, 743eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
761, 2, 3, 39, 17, 43, 7, 8, 36, 38, 27hdmaplna1 39079 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆𝐷)‘𝐶)))
771, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 8, 16, 27, 34hdmaplnm1 39081 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸)) = (𝐼 × ((𝑆𝐷)‘𝐸)))
781, 14, 23, 2, 3, 17, 19, 45, 61, 7, 8, 26hdmapinvlem2 39091 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐸) = 0 )
7978oveq2d 7149 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 × ((𝑆𝐷)‘𝐸)) = (𝐼 × 0 ))
8019, 45, 61ringrz 19317 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) → (𝐼 × 0 ) = 0 )
8154, 34, 80syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 × 0 ) = 0 )
8277, 79, 813eqtrrd 2860 . . . . . 6 (𝜑0 = ((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸)))
83 hdmapinvlem3.ij . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
8482, 83oveq12d 7151 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = (((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆𝐷)‘𝐶)))
8519, 43, 61grplid 18112 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
8670, 72, 85syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
8776, 84, 863eqtr2d 2861 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
8875, 87oveq12d 7151 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))(-g𝑅)((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))) = ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))))
8942, 88eqtrd 2855 . 2 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))))
9019, 61, 30grpsubid 18162 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵) → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = 0 )
9170, 72, 90syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = 0 )
9229, 89, 913eqtrd 2859 1 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3913  {csn 4543  ⟨cop 4549   I cid 5435   ↾ cres 5533  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  .rcmulr 16545  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082  -gcsg 18084  1rcur 19230  Ringcrg 19276  LModclmod 19610  HLchlt 36522  LHypclh 37156  LTrncltrn 37273  DVecHcdvh 38250  ocHcoch 38519  LCDualclcd 38758  HVMapchvm 38928  HDMapchdma 38964  HGMapchg 39055 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-riotaBAD 36125 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-ot 4552  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-undef 7917  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36148  df-lshyp 36149  df-lcv 36191  df-lfl 36230  df-lkr 36258  df-ldual 36296  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331  df-tgrp 37915  df-tendo 37927  df-edring 37929  df-dveca 38175  df-disoa 38201  df-dvech 38251  df-dib 38311  df-dic 38345  df-dih 38401  df-doch 38520  df-djh 38567  df-lcdual 38759  df-mapd 38797  df-hvmap 38929  df-hdmap1 38965  df-hdmap 38966  df-hgmap 39056 This theorem is referenced by:  hdmapinvlem4  39093
 Copyright terms: Public domain W3C validator