Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapinvlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapinvlem3 41285
Description: Line 30 in [Baer] p. 110, f(sw + u, tw - v) = 0. (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapinvlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem3.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem3.p + = (+g𝑈)
hdmapinvlem3.m = (-g𝑈)
hdmapinvlem3.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapinvlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem3.t × = (.r𝑅)
hdmapinvlem3.z 0 = (0g𝑅)
hdmapinvlem3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapinvlem3.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapinvlem3.j (𝜑𝐽𝐵)
hdmapinvlem3.ij (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
hdmapinvlem3 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem hdmapinvlem3
StepHypRef Expression
1 hdmapinvlem3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapinvlem3.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapinvlem3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmapinvlem3.m . . . 4 = (-g𝑈)
5 eqid 2724 . . . 4 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2724 . . . 4 (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7 hdmapinvlem3.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmapinvlem3.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 8dvhlmod 40475 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 hdmapinvlem3.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝐵)
11 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 eqid 2724 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2724 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
14 hdmapinvlem3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
151, 11, 12, 2, 3, 13, 14, 8dvheveccl 40477 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1615eldifad 3953 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑉)
17 hdmapinvlem3.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
18 hdmapinvlem3.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
19 hdmapinvlem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
203, 17, 18, 19lmodvscl 20716 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐽𝐵𝐸𝑉) → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
219, 10, 16, 20syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2216snssd 4805 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
23 hdmapinvlem3.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
241, 2, 3, 23dochssv 40720 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
258, 22, 24syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
26 hdmapinvlem3.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2725, 26sseldd 3976 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 27hdmapsub 41212 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷)) = ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷)))
2928fveq1d 6884 . 2 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)))
30 eqid 2724 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
31 eqid 2724 . . . 4 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
321, 2, 3, 5, 31, 7, 8, 21hdmapcl 41195 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 · 𝐸)) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
331, 2, 3, 5, 31, 7, 8, 27hdmapcl 41195 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐷) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
34 hdmapinvlem3.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
353, 17, 18, 19lmodvscl 20716 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐵𝐸𝑉) → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
369, 34, 16, 35syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
37 hdmapinvlem3.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
3825, 37sseldd 3976 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
39 hdmapinvlem3.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
403, 39lmodvacl 20713 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉𝐶𝑉) → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
419, 36, 38, 40syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
421, 2, 3, 17, 30, 5, 31, 6, 8, 32, 33, 41lcdvsubval 40983 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))(-g𝑅)((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))))
43 eqid 2724 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
441, 2, 3, 39, 17, 43, 7, 8, 36, 38, 21hdmaplna1 41272 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶)))
45 hdmapinvlem3.t . . . . . . . 8 × = (.r𝑅)
46 hdmapinvlem3.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
471, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 46, 8, 36, 16, 10hdmapglnm2 41276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸)) = (((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) × (𝐺𝐽)))
481, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 8, 16, 16, 34hdmaplnm1 41274 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) = (𝐼 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)))
49 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
50 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
511, 14, 49, 7, 8, 2, 17, 50hdmapevec2 41201 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐸) = (1r𝑅))
5251oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × ((𝑆𝐸)‘𝐸)) = (𝐼 × (1r𝑅)))
5317lmodring 20706 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
549, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5519, 45, 50ringridm 20161 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) → (𝐼 × (1r𝑅)) = 𝐼)
5654, 34, 55syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × (1r𝑅)) = 𝐼)
5748, 52, 563eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) = 𝐼)
5857oveq1d 7417 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘(𝐼 · 𝐸)) × (𝐺𝐽)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
5947, 58eqtrd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
601, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 46, 8, 38, 16, 10hdmapglnm2 41276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶) = (((𝑆𝐸)‘𝐶) × (𝐺𝐽)))
61 hdmapinvlem3.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
621, 14, 23, 2, 3, 17, 19, 45, 61, 7, 8, 37hdmapinvlem1 41283 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐶) = 0 )
6362oveq1d 7417 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘𝐶) × (𝐺𝐽)) = ( 0 × (𝐺𝐽)))
641, 2, 17, 19, 46, 8, 10hgmapcl 41254 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐽) ∈ 𝐵)
6519, 45, 61ringlz 20184 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐽) ∈ 𝐵) → ( 0 × (𝐺𝐽)) = 0 )
6654, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 0 × (𝐺𝐽)) = 0 )
6760, 63, 663eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶) = 0 )
6859, 67oveq12d 7420 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘𝐶)) = ((𝐼 × (𝐺𝐽))(+g𝑅) 0 ))
69 ringgrp 20135 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7054, 69syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7117, 19, 45lmodmcl 20711 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐵 ∧ (𝐺𝐽) ∈ 𝐵) → (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵)
729, 34, 64, 71syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵)
7319, 43, 61grprid 18890 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵) → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(+g𝑅) 0 ) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
7470, 72, 73syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(+g𝑅) 0 ) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
7544, 68, 743eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
761, 2, 3, 39, 17, 43, 7, 8, 36, 38, 27hdmaplna1 41272 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆𝐷)‘𝐶)))
771, 2, 3, 18, 17, 19, 45, 7, 8, 16, 27, 34hdmaplnm1 41274 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸)) = (𝐼 × ((𝑆𝐷)‘𝐸)))
781, 14, 23, 2, 3, 17, 19, 45, 61, 7, 8, 26hdmapinvlem2 41284 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘𝐸) = 0 )
7978oveq2d 7418 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 × ((𝑆𝐷)‘𝐸)) = (𝐼 × 0 ))
8019, 45, 61ringrz 20185 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝐵) → (𝐼 × 0 ) = 0 )
8154, 34, 80syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 × 0 ) = 0 )
8277, 79, 813eqtrrd 2769 . . . . . 6 (𝜑0 = ((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸)))
83 hdmapinvlem3.ij . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
8482, 83oveq12d 7420 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = (((𝑆𝐷)‘(𝐼 · 𝐸))(+g𝑅)((𝑆𝐷)‘𝐶)))
8519, 43, 61grplid 18889 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
8670, 72, 85syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
8776, 84, 863eqtr2d 2770 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = (𝐼 × (𝐺𝐽)))
8875, 87oveq12d 7420 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))(-g𝑅)((𝑆𝐷)‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))) = ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))))
8942, 88eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))))
9019, 61, 30grpsubid 18944 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼 × (𝐺𝐽)) ∈ 𝐵) → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = 0 )
9170, 72, 90syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐼 × (𝐺𝐽))(-g𝑅)(𝐼 × (𝐺𝐽))) = 0 )
9229, 89, 913eqtrd 2768 1 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941  {csn 4621  cop 4627   I cid 5564  cres 5669  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  .rcmulr 17199  Scalarcsca 17201   ·𝑠 cvsca 17202  0gc0g 17386  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  1rcur 20078  Ringcrg 20130  LModclmod 20698  HLchlt 38714  LHypclh 39349  LTrncltrn 39466  DVecHcdvh 40443  ocHcoch 40712  LCDualclcd 40951  HVMapchvm 41121  HDMapchdma 41157  HGMapchg 41248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lshyp 38341  df-lcv 38383  df-lfl 38422  df-lkr 38450  df-ldual 38488  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tgrp 40108  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dveca 40368  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713  df-djh 40760  df-lcdual 40952  df-mapd 40990  df-hvmap 41122  df-hdmap1 41158  df-hdmap 41159  df-hgmap 41249
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem4  41286
  Copyright terms: Public domain W3C validator