MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsn 20605
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑣,π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁,𝑣   π‘˜,𝑉,𝑣   π‘˜,π‘Š,𝑣   Β· ,π‘˜,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)
Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simpl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 20566 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
105, 7, 9lmod1cl 20491 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 20492 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2738 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
13 oveq1 7412 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜πΉ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
1413rspceeqv 3632 . . . . 5 (((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 683 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
16 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1716rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1817elabg 3665 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1918adantl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2015, 19mpbird 256 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 20599 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
223adantr 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 20580 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2423adantr 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 simpr 485 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
264, 2lspsnid 20596 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2726adantr 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 20558 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 837 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
30 eleq1a 2828 . . . . 5 ((π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3129, 30syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3231rexlimdva 3155 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3332abssdv 4064 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3421, 33eqssd 3998 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆƒwrex 3070  {csn 4627  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  1rcur 19998  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575
This theorem is referenced by:  lspsnel  20606  rnascl  21436  ldual1dim  38024  dia1dim2  39921  dib1dim2  40027  diclspsn  40053  dih1dimatlem  40188  rnasclg  41070  prjspeclsp  41350
  Copyright terms: Public domain W3C validator