Theorem lspsn 20179

Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspsn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
8	4, 5, 6, 7, 1	lss1d 20140	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
10	5, 7, 9	lmod1cl 20065	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
11	4, 5, 6, 9	lmodvs1 20066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
12	11	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
13		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (1r‘𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r‘𝐹) · 𝑋))
14	13	rspceeqv 3567	. . . . 5 ⊢ (((1r‘𝐹) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1r‘𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
15	10, 12, 14	syl2an2r 681	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
16		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
17	16	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
18	17	elabg 3600	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
20	15, 19	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
21	1, 2, 3, 8, 20	lspsnel5a 20173	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
22	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
23	4, 1, 2	lspsncl 20154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑘 ∈ 𝐾)
26	4, 2	lspsnid 20170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
28	5, 6, 7, 1	lssvscl 20132	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
29	22, 24, 25, 27, 28	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30		eleq1a 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
31	29, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
32	31	rexlimdva 3212	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
33	32	abssdv 3998	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34	21, 33	eqssd 3934	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  1_rcur 19652  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149

This theorem is referenced by:  lspsnel  20180  rnascl  21005  ldual1dim  37107  dia1dim2  39003  dib1dim2  39109  diclspsn  39135  dih1dimatlem  39270  rnasclg  40149  prjspeclsp  40372