MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsn 20885
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑣,π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁,𝑣   π‘˜,𝑉,𝑣   π‘˜,π‘Š,𝑣   Β· ,π‘˜,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)
Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 20846 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 eqid 2728 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
105, 7, 9lmod1cl 20771 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 20772 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2734 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
13 oveq1 7427 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜πΉ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
1413rspceeqv 3631 . . . . 5 (((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 684 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
16 eqeq1 2732 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1716rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1817elabg 3665 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1918adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2015, 19mpbird 257 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 20879 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
223adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 20860 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 simpr 484 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
264, 2lspsnid 20876 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 20838 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 838 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
30 eleq1a 2824 . . . . 5 ((π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3129, 30syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3231rexlimdva 3152 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3332abssdv 4063 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3421, 33eqssd 3997 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  βˆƒwrex 3067  {csn 4629  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  1rcur 20120  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855
This theorem is referenced by:  lspsnel  20886  rnascl  21823  ldual1dim  38638  dia1dim2  40535  dib1dim2  40641  diclspsn  40667  dih1dimatlem  40802  rnasclg  41739  prjspeclsp  42036
  Copyright terms: Public domain W3C validator