MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsn 20845
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑣,π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁,𝑣   π‘˜,𝑉,𝑣   π‘˜,π‘Š,𝑣   Β· ,π‘˜,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)
Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 20806 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 eqid 2724 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
105, 7, 9lmod1cl 20731 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 20732 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2730 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
13 oveq1 7409 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜πΉ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
1413rspceeqv 3626 . . . . 5 (((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 682 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
16 eqeq1 2728 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1716rexbidv 3170 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1817elabg 3659 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1918adantl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2015, 19mpbird 257 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 20839 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
223adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 20820 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 simpr 484 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
264, 2lspsnid 20836 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 20798 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 836 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
30 eleq1a 2820 . . . . 5 ((π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3129, 30syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3231rexlimdva 3147 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3332abssdv 4058 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3421, 33eqssd 3992 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  βˆƒwrex 3062  {csn 4621  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  1rcur 20082  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815
This theorem is referenced by:  lspsnel  20846  rnascl  21774  ldual1dim  38539  dia1dim2  40436  dib1dim2  40542  diclspsn  40568  dih1dimatlem  40703  rnasclg  41606  prjspeclsp  41904
  Copyright terms: Public domain W3C validator