MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsn 21001
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t · = ( ·𝑠𝑊)
lspsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑣,𝑘,𝐾   𝑘,𝑁,𝑣   𝑘,𝑉,𝑣   𝑘,𝑊,𝑣   · ,𝑘,𝑣   𝑘,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 simpl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 lspsn.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 20962 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 eqid 2736 . . . . . 6 (1r𝐹) = (1r𝐹)
105, 7, 9lmod1cl 20888 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 20889 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋))
13 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝑘 = (1r𝐹) → (𝑘 · 𝑋) = ((1r𝐹) · 𝑋))
1413rspceeqv 3644 . . . . 5 (((1r𝐹) ∈ 𝐾𝑋 = ((1r𝐹) · 𝑋)) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 685 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋))
16 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1716rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1817elabg 3675 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
1918adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘𝐾 𝑋 = (𝑘 · 𝑋)))
2015, 19mpbird 257 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20ellspsn5 20995 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
223adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 20976 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
264, 2lspsnid 20992 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 20954 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑘𝐾𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 838 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30 eleq1a 2835 . . . . 5 ((𝑘 · 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3129, 30syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3231rexlimdva 3154 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑣 ∈ (𝑁‘{𝑋})))
3332abssdv 4067 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3421, 33eqssd 4000 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wrex 3069  {csn 4625  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  1rcur 20179  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971
This theorem is referenced by:  ellspsn  21002  rnascl  21912  ldual1dim  39168  dia1dim2  41065  dib1dim2  41171  diclspsn  41197  dih1dimatlem  41332  rnasclg  42514  prjspeclsp  42627
  Copyright terms: Public domain W3C validator