MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsn 20478
Description: Span of the singleton of a vector. (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsn ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑣,π‘˜,𝐾   π‘˜,𝑁,𝑣   π‘˜,𝑉,𝑣   π‘˜,π‘Š,𝑣   Β· ,π‘˜,𝑣   π‘˜,𝑋,𝑣
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑣)

Proof of Theorem lspsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspsn.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simpl 484 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lspsn.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 lspsn.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lspsn.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
84, 5, 6, 7, 1lss1d 20439 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
105, 7, 9lmod1cl 20364 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
114, 5, 6, 9lmodvs1 20365 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = 𝑋)
1211eqcomd 2739 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
13 oveq1 7365 . . . . . 6 (π‘˜ = (1rβ€˜πΉ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
1413rspceeqv 3596 . . . . 5 (((1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 = ((1rβ€˜πΉ) Β· 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
1510, 12, 14syl2an2r 684 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋))
16 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1716rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1817elabg 3629 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
1918adantl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑋 = (π‘˜ Β· 𝑋)))
2015, 19mpbird 257 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
211, 2, 3, 8, 20lspsnel5a 20472 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
223adantr 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
234, 1, 2lspsncl 20453 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2423adantr 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 simpr 486 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ π‘˜ ∈ 𝐾)
264, 2lspsnid 20469 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2726adantr 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
285, 6, 7, 1lssvscl 20431 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2922, 24, 25, 27, 28syl22anc 838 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
30 eleq1a 2829 . . . . 5 ((π‘˜ Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3129, 30syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘˜ ∈ 𝐾) β†’ (𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3231rexlimdva 3149 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋) β†’ 𝑣 ∈ (π‘β€˜{𝑋})))
3332abssdv 4026 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)} βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3421, 33eqssd 3962 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {𝑣 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐾 𝑣 = (π‘˜ Β· 𝑋)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆƒwrex 3070  {csn 4587  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  1rcur 19918  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448
This theorem is referenced by:  lspsnel  20479  rnascl  21310  ldual1dim  37674  dia1dim2  39571  dib1dim2  39677  diclspsn  39703  dih1dimatlem  39838  rnasclg  40719  prjspeclsp  40993
  Copyright terms: Public domain W3C validator