Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnelb 34872
Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnelb.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnelb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
2 lshpnelb.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lshpnelb.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2765 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lshpnelb.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 19378 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 34868 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
111, 10mpbid 223 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
1211simp3d 1174 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
1312adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14 simp1l 1254 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15 simp2 1167 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣𝑉)
164lsssssubg 19230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
184, 6, 9, 1lshplss 34869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18sseldd 3762 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
212, 4, 3lspsncl 19249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
229, 20, 21syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2317, 22sseldd 3762 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmub1 18337 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2519, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2625adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
275lsmub2 18338 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2819, 23, 27syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
292, 3lspsnid 19265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
309, 20, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3128, 30sseldd 3762 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
32 nelne1 3033 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3331, 32sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3433necomd 2992 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
35 df-pss 3748 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
3626, 34, 35sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
37363ad2ant1 1163 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
384, 5lsmcl 19355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
399, 18, 22, 38syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
402, 4lssss 19206 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4241adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
4442, 43sseqtr4d 3802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
4544adantlr 706 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
46453adant2 1161 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
477adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
4818adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4939adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
512, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50lsmcv 19414 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
5214, 15, 37, 46, 51syl211anc 1495 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
53 simp3 1168 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
5452, 53eqtrd 2799 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
5554rexlimdv3a 3180 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
5613, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
579adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
581adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
5920adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
60 simpr 477 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
612, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60lshpnel 34871 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋𝑈)
6256, 61impbida 835 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  wss 3732  wpss 3733  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  SubGrpcsubg 17854  LSSumclsm 18315  LModclmod 19132  LSubSpclss 19201  LSpanclspn 19243  LVecclvec 19374  LSHypclsh 34863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-subg 17857  df-cntz 18015  df-lsm 18317  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375  df-lshyp 34865
This theorem is referenced by:  lshpnel2N  34873  l1cvpat  34942  dochexmidat  37347
  Copyright terms: Public domain W3C validator