Theorem lshpnelb 39430

Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnelb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnelb.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
2		lshpnelb.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lshpnelb.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lshpnelb.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnelb.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnelb.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 21101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10	2, 3, 4, 5, 6, 9	islshpsm 39426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
11	1, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
12	11	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14		simp1l 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
16	4	lsssssubg 20953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	4, 6, 9, 1	lshplss 39427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	17, 18	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpnelb.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	2, 4, 3	lspsncl 20972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	17, 22	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmub1 19632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
25	19, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	5	lsmub2 19633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	19, 23, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
29	2, 3	lspsnid 20988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	9, 20, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
32		nelne1 3030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
33	31, 32	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
34	33	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
35		df-pss 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
36	26, 34, 35	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
37	36	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
38	4, 5	lsmcl 21078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
39	9, 18, 22, 38	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	2, 4	lssss 20931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
44	42, 43	sseqtrrd 3960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
45	44	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
46	45	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
47	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
48	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
49	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	2, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50	lsmcv 21139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
52	14, 15, 37, 46, 51	syl211anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
54	52, 53	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
55	54	rexlimdv3a 3143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
56	13, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
57	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
58	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
59	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
61	2, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60	lshpnel 39429	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
62	56, 61	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097  LSHypclsh 39421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lshyp 39423

This theorem is referenced by:  lshpnel2N  39431  l1cvpat  39500  dochexmidat  41905