Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnelb 36114
Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnelb.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnelb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
2 lshpnelb.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lshpnelb.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2821 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lshpnelb.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 19872 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 36110 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
111, 10mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
1211simp3d 1140 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
1312adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14 simp1l 1193 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15 simp2 1133 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣𝑉)
164lsssssubg 19724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
184, 6, 9, 1lshplss 36111 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18sseldd 3967 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
212, 4, 3lspsncl 19743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
229, 20, 21syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2317, 22sseldd 3967 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmub1 18776 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2519, 23, 24syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2625adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
275lsmub2 18777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2819, 23, 27syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
292, 3lspsnid 19759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
309, 20, 29syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3128, 30sseldd 3967 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
32 nelne1 3113 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3331, 32sylan 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3433necomd 3071 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
35 df-pss 3953 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
3626, 34, 35sylanbrc 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
37363ad2ant1 1129 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
384, 5lsmcl 19849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
399, 18, 22, 38syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
402, 4lssss 19702 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4241adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
4442, 43sseqtrrd 4007 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
4544adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
46453adant2 1127 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
477adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
4818adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4939adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
512, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50lsmcv 19907 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
5214, 15, 37, 46, 51syl211anc 1372 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
53 simp3 1134 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
5452, 53eqtrd 2856 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
5554rexlimdv3a 3286 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
5613, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
579adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
581adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
5920adantr 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
60 simpr 487 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
612, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60lshpnel 36113 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋𝑈)
6256, 61impbida 799 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wrex 3139  wss 3935  wpss 3936  {csn 4560  cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  SubGrpcsubg 18267  LSSumclsm 18753  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LVecclvec 19868  LSHypclsh 36105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lshyp 36107
This theorem is referenced by:  lshpnel2N  36115  l1cvpat  36184  dochexmidat  38589
  Copyright terms: Public domain W3C validator