Theorem lshpnelb 40233

Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnelb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnelb.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
2		lshpnelb.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lshpnelb.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lshpnelb.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnelb.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnelb.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 21411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10	2, 3, 4, 5, 6, 9	islshpsm 40229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
12	11	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14		simp1l 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
16	4	lsssssubg 21263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	9, 16	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	4, 6, 9, 1	lshplss 40230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	17, 18	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpnelb.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	2, 4, 3	lspsncl 21282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9, 20, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	17, 22	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmub1 19901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
25	19, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	5	lsmub2 19902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	19, 23, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
29	2, 3	lspsnid 21298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	9, 20, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	sseldd 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
32		nelne1 3056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
33	31, 32	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
34	33	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
35		df-pss 4017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
36	26, 34, 35	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
38	4, 5	lsmcl 21388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
39	9, 18, 22, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	2, 4	lssss 21241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
44	42, 43	sseqtrrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
45	44	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
46	45	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
47	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
48	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
49	39	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	2, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50	lsmcv 21449	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
52	14, 15, 37, 46, 51	syl211anc 1404	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
54	52, 53	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
55	54	rexlimdv3a 3171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
56	13, 55	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
57	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
58	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
59	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
61	2, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60	lshpnel 40232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
62	56, 61	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  {csn 4588  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  SubGrpcsubg 19359  LSSumclsm 19878  LModclmod 21165  LSubSpclss 21236  LSpanclspn 21276  LVecclvec 21407  LSHypclsh 40224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lvec 21408  df-lshyp 40226

This theorem is used by:  lshpnel2N  40234  l1cvpat  40303  dochexmidat  42708