Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnelb 36000
Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnelb.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnelb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
2 lshpnelb.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lshpnelb.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5 lshpnelb.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 lveclmod 19807 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 35996 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
111, 10mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
1211simp3d 1136 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14 simp1l 1189 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15 simp2 1129 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣𝑉)
164lsssssubg 19659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
184, 6, 9, 1lshplss 35997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1917, 18sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
212, 4, 3lspsncl 19678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
229, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2317, 22sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmub1 18711 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2519, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
275lsmub2 18712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
2819, 23, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
292, 3lspsnid 19694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
309, 20, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
3128, 30sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
32 nelne1 3110 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
3433necomd 3068 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
35 df-pss 3951 . . . . . . . 8 (𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 (𝑁‘{𝑋}))))
3626, 34, 35sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
37363ad2ant1 1125 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})))
384, 5lsmcl 19784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
399, 18, 22, 38syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
402, 4lssss 19637 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
4442, 43sseqtrrd 4005 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
4544adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
46453adant2 1123 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
477adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
4818adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
4939adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
512, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50lsmcv 19842 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
5214, 15, 37, 46, 51syl211anc 1368 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 (𝑁‘{𝑣})))
53 simp3 1130 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
5452, 53eqtrd 2853 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
5554rexlimdv3a 3283 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (∃𝑣𝑉 (𝑈 (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
5613, 55mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
579adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
581adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈𝐻)
5920adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋𝑉)
60 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
612, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60lshpnel 35999 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋𝑈)
6256, 61impbida 797 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  wss 3933  wpss 3934  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  SubGrpcsubg 18211  LSSumclsm 18688  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803  LSHypclsh 35991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lshyp 35993
This theorem is referenced by:  lshpnel2N  36001  l1cvpat  36070  dochexmidat  38475
  Copyright terms: Public domain W3C validator