Theorem lshpnelb 36280

Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnelb.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnelb.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpnelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnelb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Proof of Theorem lshpnelb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnelb.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
2		lshpnelb.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lshpnelb.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lshpnelb.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
6		lshpnelb.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
7		lshpnelb.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lveclmod 19871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
10	2, 3, 4, 5, 6, 9	islshpsm 36276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐻 ↔ (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉))
12	11	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
14		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝜑)
15		simp2 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
16	4	lsssssubg 19723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
17	9, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	4, 6, 9, 1	lshplss 36277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
19	17, 18	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
20		lshpnelb.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	2, 4, 3	lspsncl 19742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9, 20, 21	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
23	17, 22	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24	5	lsmub1 18774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
25	19, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
26	25	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
27	5	lsmub2 18775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
28	19, 23, 27	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
29	2, 3	lspsnid 19758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
30	9, 20, 29	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
31	28, 30	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
32		nelne1 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
33	31, 32	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ≠ 𝑈)
34	33	necomd 3042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
35		df-pss 3900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑈 ≠ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))
36	26, 34, 35	sylanbrc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
37	36	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
38	4, 5	lsmcl 19848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
39	9, 18, 22, 38	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
40	2, 4	lssss 19701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
42	41	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
43		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
44	42, 43	sseqtrrd 3956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
45	44	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
46	45	3adant2 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
47	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
48	18	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
49	39	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
50		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
51	2, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50	lsmcv 19906	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
52	14, 15, 37, 46, 51	syl211anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉)
54	52, 53	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
55	54	rexlimdv3a 3245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑣})) = 𝑉 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))
56	13, 55	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
57	9	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
58	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
59	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
60		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
61	2, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60	lshpnel 36279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
62	56, 61	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   ⊊ wpss 3882  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  SubGrpcsubg 18265  LSSumclsm 18751  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  LVecclvec 19867  LSHypclsh 36271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lshyp 36273

This theorem is referenced by:  lshpnel2N  36281  l1cvpat  36350  dochexmidat  38755