Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpnelb 38310
Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnelb.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnelb.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnelb.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnelb.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpnelb.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpnelb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnelb (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
2 lshpnelb.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lshpnelb.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lshpnelb.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lveclmod 20939 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 38306 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
111, 10mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉))
1211simp3d 1141 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
14 simp1l 1194 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ πœ‘)
15 simp2 1134 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
164lsssssubg 20790 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
184, 6, 9, 1lshplss 38307 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1917, 18sseldd 3975 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
20 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
212, 4, 3lspsncl 20809 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
229, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2317, 22sseldd 3975 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
245lsmub1 19562 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2519, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
275lsmub2 19563 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2819, 23, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
292, 3lspsnid 20825 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
309, 20, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
3128, 30sseldd 3975 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
32 nelne1 3031 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) β‰  π‘ˆ)
3331, 32sylan 579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) β‰  π‘ˆ)
3433necomd 2988 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
35 df-pss 3959 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ (π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
3626, 34, 35sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
37363ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
384, 5lsmcl 20916 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
399, 18, 22, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
402, 4lssss 20768 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
4241adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
43 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
4442, 43sseqtrrd 4015 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
4544adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
46453adant2 1128 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
477adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4818adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4939adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
50 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
512, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50lsmcv 20977 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
5214, 15, 37, 46, 51syl211anc 1373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
53 simp3 1135 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
5452, 53eqtrd 2764 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
5554rexlimdv3a 3151 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉 β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
5613, 55mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
579adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
581adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
5920adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
60 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
612, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60lshpnel 38309 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
6256, 61impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3940   ⊊ wpss 3941  {csn 4620  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  SubGrpcsubg 19032  LSSumclsm 19539  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LSpanclspn 20803  LVecclvec 20935  LSHypclsh 38301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936  df-lshyp 38303
This theorem is referenced by:  lshpnel2N  38311  l1cvpat  38380  dochexmidat  40786
  Copyright terms: Public domain W3C validator