Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpnelb 37843
Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnelb.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnelb.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnelb.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnelb.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpnelb.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpnelb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnelb (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
2 lshpnelb.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lshpnelb.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lshpnelb.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lveclmod 20710 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 37839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐻 ↔ (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)))
111, 10mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉))
1211simp3d 1145 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
14 simp1l 1198 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ πœ‘)
15 simp2 1138 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
164lsssssubg 20562 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
184, 6, 9, 1lshplss 37840 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1917, 18sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
20 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
212, 4, 3lspsncl 20581 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
229, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2317, 22sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
245lsmub1 19520 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2519, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2625adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
275lsmub2 19521 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
2819, 23, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
292, 3lspsnid 20597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
309, 20, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
3128, 30sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
32 nelne1 3040 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) β‰  π‘ˆ)
3331, 32sylan 581 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) β‰  π‘ˆ)
3433necomd 2997 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
35 df-pss 3967 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ↔ (π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∧ π‘ˆ β‰  (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋}))))
3626, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
37363ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
384, 5lsmcl 20687 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
399, 18, 22, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
402, 4lssss 20540 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
4241adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
43 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
4442, 43sseqtrrd 4023 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
4544adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
46453adant2 1132 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
477adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4818adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
4939adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
50 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
512, 4, 3, 5, 47, 48, 49, 50lsmcv 20747 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ ⊊ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
5214, 15, 37, 46, 51syl211anc 1377 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})))
53 simp3 1139 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉)
5452, 53eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
5554rexlimdv3a 3160 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑣})) = 𝑉 β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
5613, 55mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
579adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
581adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
5920adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
60 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
612, 3, 5, 6, 57, 58, 59, 60lshpnel 37842 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
6256, 61impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  SubGrpcsubg 18995  LSSumclsm 19497  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LSpanclspn 20575  LVecclvec 20706  LSHypclsh 37834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lshyp 37836
This theorem is referenced by:  lshpnel2N  37844  l1cvpat  37913  dochexmidat  40319
  Copyright terms: Public domain W3C validator