MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisjb 21021
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspdisjb.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspdisjb.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspdisjb.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspdisjb.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspdisjb.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspdisjb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspdisjb (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspdisjb.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 lspdisjb.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lspdisjb.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lspdisjb.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
65adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lspdisjb.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lspdisjb.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3961 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 21020 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 })
14 eldifsni 4798 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
159, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
1615adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
17 lveclmod 20998 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
185, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
191, 3lspsnid 20884 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2018, 10, 19syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
21 elin 3965 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) ↔ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
22 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23 elsni 4649 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ { 0 } β†’ 𝑋 = 0 )
2422, 23biimtrdi 252 . . . . . . 7 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 0 ))
2521, 24biimtrrid 242 . . . . . 6 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ ((𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 0 ))
2625expd 414 . . . . 5 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 = 0 )))
2720, 26mpan9 505 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 = 0 ))
2827necon3ad 2950 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2916, 28mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3013, 29impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948  {csn 4632  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  0gc0g 17428  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  41241  hdmap1l6b0N  41315
  Copyright terms: Public domain W3C validator