Theorem lspdisjb 21287

Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisjb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisjb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisjb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspdisjb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisjb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspdisjb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspdisjb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspdisjb.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspdisjb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7		lspdisjb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lspdisjb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12	lspdisj 21286	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14		eldifsni 4763	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	9, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17		lveclmod 21264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	5, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	1, 3	lspsnid 21151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20	18, 10, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21		elin 3924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈))
22		eleq2 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23		elsni 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
24	22, 23	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
25	21, 24	biimtrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
26	25	expd 421	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 )))
27	20, 26	mpan9 516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 ))
28	27	necon3ad 2974	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	16, 28	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
30	13, 29	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907  {csn 4594  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  LModclmod 21018  LSubSpclss 21089  LSpanclspn 21129  LVecclvec 21260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261

This theorem is used by:  mapdh6b0N  42551  hdmap1l6b0N  42625