Theorem lspdisjb 20388

Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisjb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisjb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisjb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspdisjb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisjb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspdisjb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspdisjb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspdisjb.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspdisjb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7		lspdisjb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lspdisjb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12	lspdisj 20387	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14		eldifsni 4723	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
16	15	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17		lveclmod 20368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	1, 3	lspsnid 20255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20	18, 10, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21		elin 3903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈))
22		eleq2 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23		elsni 4578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
24	22, 23	syl6bi 252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
25	21, 24	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
26	25	expd 416	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 )))
27	20, 26	mpan9 507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 ))
28	27	necon3ad 2956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	16, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
30	13, 29	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365

This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  39750  hdmap1l6b0N  39824