Theorem lspdisjb 20303

Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisjb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisjb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisjb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspdisjb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisjb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspdisjb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspdisjb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspdisjb.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspdisjb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7		lspdisjb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lspdisjb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12	lspdisj 20302	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14		eldifsni 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17		lveclmod 20283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	1, 3	lspsnid 20170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20	18, 10, 19	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21		elin 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈))
22		eleq2 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23		elsni 4575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
24	22, 23	syl6bi 252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
25	21, 24	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
26	25	expd 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 )))
27	20, 26	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 ))
28	27	necon3ad 2955	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	16, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
30	13, 29	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882  {csn 4558  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  39677  hdmap1l6b0N  39751