Theorem lspdisjb 21093

Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisjb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisjb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisjb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspdisjb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisjb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspdisjb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspdisjb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspdisjb.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspdisjb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7		lspdisjb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lspdisjb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12	lspdisj 21092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14		eldifsni 4748	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17		lveclmod 21070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	1, 3	lspsnid 20956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20	18, 10, 19	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21		elin 3919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈))
22		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23		elsni 4599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
24	22, 23	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
25	21, 24	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
26	25	expd 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 )))
27	20, 26	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 ))
28	27	necon3ad 2946	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	16, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
30	13, 29	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902  {csn 4582  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934  LVecclvec 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067

This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  42106  hdmap1l6b0N  42180