MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisjb 21128
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o 0 = (0g𝑊)
lspdisjb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u (𝜑𝑈𝑆)
lspdisjb.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspdisjb (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspdisjb.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lspdisjb.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspdisjb.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5 lspdisjb.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7 lspdisjb.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑈𝑆)
9 lspdisjb.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3963 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
12 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ¬ 𝑋𝑈)
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 21127 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14 eldifsni 4790 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
159, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋0 )
17 lveclmod 21105 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
185, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
191, 3lspsnid 20991 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
2018, 10, 19syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21 elin 3967 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋𝑈))
22 eleq2 2830 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23 elsni 4643 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
2422, 23biimtrdi 253 . . . . . . 7 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
2521, 24biimtrrid 243 . . . . . 6 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋 = 0 ))
2625expd 415 . . . . 5 (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋𝑈𝑋 = 0 )))
2720, 26mpan9 506 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋𝑈𝑋 = 0 ))
2827necon3ad 2953 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋0 → ¬ 𝑋𝑈))
2916, 28mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋𝑈)
3013, 29impbida 801 1 (𝜑 → (¬ 𝑋𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  cin 3950  {csn 4626  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  41738  hdmap1l6b0N  41812
  Copyright terms: Public domain W3C validator