MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisjb 20974
Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisjb.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspdisjb.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspdisjb.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspdisjb.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspdisjb.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspdisjb.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lspdisjb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lspdisjb (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb
StepHypRef Expression
1 lspdisjb.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspdisjb.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 lspdisjb.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lspdisjb.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
5 lspdisjb.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
65adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lspdisjb.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lspdisjb.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
109eldifad 3955 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
131, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12lspdisj 20973 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 })
14 eldifsni 4788 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
159, 14syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
1615adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ 𝑋 β‰  0 )
17 lveclmod 20951 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
185, 17syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
191, 3lspsnid 20837 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
2018, 10, 19syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
21 elin 3959 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) ↔ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
22 eleq2 2816 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23 elsni 4640 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ { 0 } β†’ 𝑋 = 0 )
2422, 23biimtrdi 252 . . . . . . 7 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 0 ))
2521, 24biimtrrid 242 . . . . . 6 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ ((𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = 0 ))
2625expd 415 . . . . 5 (((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 } β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 = 0 )))
2720, 26mpan9 506 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 = 0 ))
2827necon3ad 2947 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2916, 28mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3013, 29impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ π‘ˆ) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942  {csn 4623  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  0gc0g 17391  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  LVecclvec 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948
This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  41119  hdmap1l6b0N  41193
  Copyright terms: Public domain W3C validator