Theorem lspdisjb 21146

Description: A nonzero vector is not in a subspace iff its span is disjoint with the subspace. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisjb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisjb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisjb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisjb.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspdisjb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisjb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lspdisjb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
lspdisjb	⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Proof of Theorem lspdisjb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspdisjb.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspdisjb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspdisjb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspdisjb.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5		lspdisjb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
7		lspdisjb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		lspdisjb.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12	lspdisj 21145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 })
14		eldifsni 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
15	9, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17		lveclmod 21123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
18	5, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
19	1, 3	lspsnid 21009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
20	18, 10, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
21		elin 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈))
22		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) ↔ 𝑋 ∈ { 0 }))
23		elsni 4648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
24	22, 23	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
25	21, 24	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 = 0 ))
26	25	expd 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 } → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 )))
27	20, 26	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 = 0 ))
28	27	necon3ad 2951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	16, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
30	13, 29	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ 𝑈) = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962  {csn 4631  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120

This theorem is referenced by:  mapdh6b0N  41719  hdmap1l6b0N  41793