Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem12 40078
Description: Lemma for mapdpg 40101. TODO: Can some commonality with mapdpglem6 40073 through mapdpglem11 40077 be exploited? Also, some consolidation of small lemmas here could be done. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem12 (𝜑𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem12
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . 2 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4lcdlmod 39987 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
6 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2736 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9 eqid 2736 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
102, 7, 4dvhlmod 39505 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 mapdpglem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
12 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1412, 8, 13lspsncl 20385 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1510, 11, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
162, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15mapdcl2 40051 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
17 mapdpglem3.a . . . 4 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
18 mapdpglem3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
19 mapdpglem3.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
20 mapdpglem3.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
21 mapdpglem4.g4 . . . 4 (𝜑𝑔𝐵)
22 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
23 mapdpglem2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
2419, 23lspsnid 20401 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (𝐽‘{𝐺}))
255, 22, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽‘{𝐺}))
26 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
2725, 26eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
282, 7, 17, 18, 3, 19, 20, 9, 4, 16, 21, 27lcdlssvscl 40001 . . 3 (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
29 mapdpglem12.g0 . . . 4 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
30 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
3130, 9lss0cl 20354 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) → (0g𝐶) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
325, 16, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐶) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
3329, 32eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
34 mapdpglem3.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
3534, 9lssvsubcl 20351 . . 3 (((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) ∧ ((𝑔 · 𝐺) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))) → ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
365, 16, 28, 33, 35syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
371, 36eqeltrd 2838 1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  {csn 4584  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17037  Scalarcsca 17090   ·𝑠 cvsca 17091  0gc0g 17275  -gcsg 18704  LSSumclsm 19369  LModclmod 20269  LSubSpclss 20339  LSpanclspn 20379  HLchlt 37744  LHypclh 38379  DVecHcdvh 39473  LCDualclcd 39981  mapdcmpd 40019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37347
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-0g 17277  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-proset 18138  df-poset 18156  df-plt 18173  df-lub 18189  df-glb 18190  df-join 18191  df-meet 18192  df-p0 18268  df-p1 18269  df-lat 18275  df-clat 18342  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-subg 18878  df-cntz 19050  df-oppg 19077  df-lsm 19371  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-oppr 19996  df-dvdsr 20017  df-unit 20018  df-invr 20048  df-dvr 20059  df-drng 20134  df-lmod 20271  df-lss 20340  df-lsp 20380  df-lvec 20511  df-lsatoms 37370  df-lshyp 37371  df-lcv 37413  df-lfl 37452  df-lkr 37480  df-ldual 37518  df-oposet 37570  df-ol 37572  df-oml 37573  df-covers 37660  df-ats 37661  df-atl 37692  df-cvlat 37716  df-hlat 37745  df-llines 37893  df-lplanes 37894  df-lvols 37895  df-lines 37896  df-psubsp 37898  df-pmap 37899  df-padd 38191  df-lhyp 38383  df-laut 38384  df-ldil 38499  df-ltrn 38500  df-trl 38554  df-tgrp 39138  df-tendo 39150  df-edring 39152  df-dveca 39398  df-disoa 39424  df-dvech 39474  df-dib 39534  df-dic 39568  df-dih 39624  df-doch 39743  df-djh 39790  df-lcdual 39982  df-mapd 40020
This theorem is referenced by:  mapdpglem13  40079
  Copyright terms: Public domain W3C validator