Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem12 38938
Description: Lemma for mapdpg 38961. TODO: Can some commonality with mapdpglem6 38933 through mapdpglem11 38937 be exploited? Also, some consolidation of small lemmas here could be done. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem12 (𝜑𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem12
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . 2 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
52, 3, 4lcdlmod 38847 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
6 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2822 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9 eqid 2822 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
102, 7, 4dvhlmod 38365 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 mapdpglem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
12 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1412, 8, 13lspsncl 19740 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1510, 11, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
162, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15mapdcl2 38911 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
17 mapdpglem3.a . . . 4 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
18 mapdpglem3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
19 mapdpglem3.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
20 mapdpglem3.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
21 mapdpglem4.g4 . . . 4 (𝜑𝑔𝐵)
22 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
23 mapdpglem2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
2419, 23lspsnid 19756 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 ∈ (𝐽‘{𝐺}))
255, 22, 24syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽‘{𝐺}))
26 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
2725, 26eleqtrrd 2917 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
282, 7, 17, 18, 3, 19, 20, 9, 4, 16, 21, 27lcdlssvscl 38861 . . 3 (𝜑 → (𝑔 · 𝐺) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
29 mapdpglem12.g0 . . . 4 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
30 eqid 2822 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
3130, 9lss0cl 19709 . . . . 5 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) → (0g𝐶) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
325, 16, 31syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐶) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
3329, 32eqeltrd 2914 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
34 mapdpglem3.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
3534, 9lssvsubcl 19706 . . 3 (((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) ∧ ((𝑔 · 𝐺) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))) → ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
365, 16, 28, 33, 35syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
371, 36eqeltrd 2914 1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  {csn 4539  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704  -gcsg 18096  LSSumclsm 18750  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  LSpanclspn 19734  HLchlt 36605  LHypclh 37239  DVecHcdvh 38333  LCDualclcd 38841  mapdcmpd 38879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36208
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-lsatoms 36231  df-lshyp 36232  df-lcv 36274  df-lfl 36313  df-lkr 36341  df-ldual 36379  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-llines 36753  df-lplanes 36754  df-lvols 36755  df-lines 36756  df-psubsp 36758  df-pmap 36759  df-padd 37051  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360  df-trl 37414  df-tgrp 37998  df-tendo 38010  df-edring 38012  df-dveca 38258  df-disoa 38284  df-dvech 38334  df-dib 38394  df-dic 38428  df-dih 38484  df-doch 38603  df-djh 38650  df-lcdual 38842  df-mapd 38880
This theorem is referenced by:  mapdpglem13  38939
  Copyright terms: Public domain W3C validator