Theorem dochnel 37467

Description: A nonzero vector doesn't belong to the orthocomplement of its singleton. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochnel.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochnel.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochnel.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochnel.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochnel.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochnel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochnel.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2824	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4		dochnel.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
5		dochnel.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochnel.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	1, 2, 6	dvhlmod 37184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		dochnel.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		dochnel.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
12	10, 3, 11	lspsncl 19335	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13	7, 9, 12	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	10, 11	lspsnid 19351	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
15	7, 9, 14	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
16		eldifsni 4539	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
18		eldifsn 4535	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
19	15, 17, 18	sylanbrc 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 19	dochnel2 37466	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
21	9	snssd 4557	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
22	1, 2, 5, 10, 11, 6, 21	dochocsp 37453	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
23	20, 22	neleqtrd 2926	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   ∖ cdif 3794  {csn 4396  ‘cfv 6122  Basecbs 16221  0_gc0g 16452  LModclmod 19218  LSubSpclss 19287  LSpanclspn 19329  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  ocHcoch 37421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-riotaBAD 35027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-undef 7663  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-0g 16454  df-proset 17280  df-poset 17298  df-plt 17310  df-lub 17326  df-glb 17327  df-join 17328  df-meet 17329  df-p0 17391  df-p1 17392  df-lat 17398  df-clat 17460  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-subg 17941  df-cntz 18099  df-lsm 18401  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-lvec 19461  df-lsatoms 35050  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422

This theorem is referenced by:  dochexmidat  37533  dochfln0  37551  lclkrlem2o  37595  lcfrlem19  37635  hdmapip0  37989