Theorem mapdindp3 41721

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
mapdindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mapdindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdindp3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdindp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21029	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		mapdindp1.W	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5	4	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
6		mapdindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		mapdindp1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		mapdindp1.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10		mapdindp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	8, 9, 10	lspvadd 21019	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
12	3, 5, 7, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
13		mapdindp1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		mapdindp1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdindp1.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
16		mapdindp1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
17	8, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16	lspindp1 21059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
18	17	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
19	12, 18	ssneldd 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
20	14	eldifad 3917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	8, 10	lspsnid 20915	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	3, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23		eleq2 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
24	22, 23	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
25	24	necon3bd 2939	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
26	19, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180  0_gc0g 17362  LModclmod 20782  LSpanclspn 20893  LVecclvec 21025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026

This theorem is referenced by:  mapdh6eN  41739  hdmap1l6e  41813