Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp3 38332
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p + = (+g𝑊)
mapdindp1.o 0 = (0g𝑊)
mapdindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp3
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19612 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 mapdindp1.W . . . . 5 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54eldifad 3835 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
6 mapdindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3835 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
8 mapdindp1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 mapdindp1.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
10 mapdindp1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
118, 9, 10lspvadd 19602 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
123, 5, 7, 11syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
13 mapdindp1.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
14 mapdindp1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15 mapdindp1.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
16 mapdindp1.f . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
178, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16lspindp1 19639 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
1817simprd 488 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
1912, 18ssneldd 3855 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
2014eldifad 3835 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
218, 10lspsnid 19499 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
223, 20, 21syl2anc 576 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23 eleq2 2848 . . . 4 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
2422, 23syl5ibcom 237 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
2524necon3bd 2975 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
2619, 25mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  cdif 3820  wss 3823  {csn 4435  {cpr 4437  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  +gcplusg 16419  0gc0g 16567  LModclmod 19368  LSpanclspn 19477  LVecclvec 19608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-tpos 7693  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-subg 18072  df-cntz 18230  df-lsm 18534  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-drng 19239  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-lvec 19609
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  38350  hdmap1l6e  38424
  Copyright terms: Public domain W3C validator