Theorem mapdindp3 41105

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
mapdindp1.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
mapdindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mapdindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
mapdindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
mapdindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.W	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdindp1.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
mapdindp1.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdindp1.f	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
mapdindp3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))

Proof of Theorem mapdindp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdindp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20951	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		mapdindp1.W	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5	4	eldifad 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
6		mapdindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		mapdindp1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		mapdindp1.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10		mapdindp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	8, 9, 10	lspvadd 20941	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
12	3, 5, 7, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
13		mapdindp1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		mapdindp1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15		mapdindp1.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
16		mapdindp1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
17	8, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16	lspindp1 20981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
18	17	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
19	12, 18	ssneldd 3980	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))
20	14	eldifad 3955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	8, 10	lspsnid 20837	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
22	3, 20, 21	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23		eleq2 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
24	22, 23	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
25	24	necon3bd 2948	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)})))
26	19, 25	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑤 + 𝑌)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  0_gc0g 17391  LModclmod 20703  LSpanclspn 20815  LVecclvec 20947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948

This theorem is referenced by:  mapdh6eN  41123  hdmap1l6e  41197