Theorem dia1dimid 41921

Description: A vector (translation) belongs to the 1-dim subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1dimid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dimid.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dimid.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia1dimid.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1dimid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅‘𝐹)))

Proof of Theorem dia1dimid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1dimid.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	dvalvec 41884	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
4		lveclmod 21289	. . . . 5 ⊢ (((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
7		dia1dimid.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
9	1, 7, 2, 8	dvavbase 41871	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑇)
10	9	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐹 ∈ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝐹 ∈ 𝑇))
11	10	biimpar 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)))
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
13	8, 12	lspsnid 21176	. . 3 ⊢ ((((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐹 ∈ ((LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))‘{𝐹}))
14	6, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ ((LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))‘{𝐹}))
15		dia1dimid.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16		dia1dimid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
17	1, 7, 15, 2, 16, 12	dia1dim2 41920	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))‘{𝐹}))
18	14, 17	eleqtrrd 2865	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  ‘cfv 6537  Basecbs 17303  LModclmod 21043  LSpanclspn 21154  LVecclvec 21285  HLchlt 40208  LHypclh 40842  LTrncltrn 40959  trLctrl 41016  DVecAcdveca 41860  DIsoAcdia 41886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-0g 17528  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tgrp 41601  df-tendo 41613  df-edring 41615  df-dveca 41861  df-disoa 41887

This theorem is used by:  dia2dimlem9  41930