Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1dimid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1dimid 38305
 Description: A vector (translation) belongs to the 1-dim subspace it generates. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1dimid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dimid.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dimid.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia1dimid.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dia1dimid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅𝐹)))

Proof of Theorem dia1dimid
StepHypRef Expression
1 dia1dimid.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2824 . . . . . 6 ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
31, 2dvalvec 38268 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec)
4 lveclmod 19881 . . . . 5 (((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LVec → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
65adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
7 dia1dimid.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
91, 7, 2, 8dvavbase 38255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑇)
109eleq2d 2901 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹 ∈ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) ↔ 𝐹𝑇))
1110biimpar 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)))
12 eqid 2824 . . . 4 (LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊)) = (LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))
138, 12lspsnid 19768 . . 3 ((((DVecA‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))) → 𝐹 ∈ ((LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))‘{𝐹}))
146, 11, 13syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ ((LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))‘{𝐹}))
15 dia1dimid.r . . 3 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 dia1dimid.i . . 3 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
171, 7, 15, 2, 16, 12dia1dim2 38304 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((LSpan‘((DVecA‘𝐾)‘𝑊))‘{𝐹}))
1814, 17eleqtrrd 2919 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑅𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4551  ‘cfv 6344  Basecbs 16486  LModclmod 19637  LSpanclspn 19746  LVecclvec 19877  HLchlt 36592  LHypclh 37226  LTrncltrn 37343  trLctrl 37400  DVecAcdveca 38244  DIsoAcdia 38270 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36195 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-undef 7936  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-oposet 36418  df-ol 36420  df-oml 36421  df-covers 36508  df-ats 36509  df-atl 36540  df-cvlat 36564  df-hlat 36593  df-llines 36740  df-lplanes 36741  df-lvols 36742  df-lines 36743  df-psubsp 36745  df-pmap 36746  df-padd 37038  df-lhyp 37230  df-laut 37231  df-ldil 37346  df-ltrn 37347  df-trl 37401  df-tgrp 37985  df-tendo 37997  df-edring 37999  df-dveca 38245  df-disoa 38271 This theorem is referenced by:  dia2dimlem9  38314
 Copyright terms: Public domain W3C validator