MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmrpcl 23205
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmrpcl ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nmrpcl
StepHypRef Expression
1 nmf.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
31, 2nmcl 23201 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
433adant3 1128 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
51, 2nmge0 23202 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
653adant3 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
7 nmeq0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
81, 2, 7nmne0 23204 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
94, 6, 8ne0gt0d 10755 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → 0 < (𝑁𝐴))
104, 9elrpd 12407 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5042  cfv 6331  cr 10514  0cc0 10515  cle 10654  +crp 12368  Basecbs 16462  0gc0g 16692  normcnm 23162  NrmGrpcngp 23163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-0g 16694  df-topgen 16696  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-xms 22906  df-ms 22907  df-nm 23168  df-ngp 23169
This theorem is referenced by:  nrginvrcnlem  23276  nmoi  23313  nmoix  23314  nmoi2  23315  nmoleub  23316  nmoid  23327  nmoleub2lem3  23699  nmoleub3  23703
  Copyright terms: Public domain W3C validator