MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmrpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmrpcl 24620
Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmrpcl ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nmrpcl
StepHypRef Expression
1 nmf.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
31, 2nmcl 24616 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
433adant3 1129 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
51, 2nmge0 24617 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
653adant3 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
7 nmeq0.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
81, 2, 7nmne0 24619 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
94, 6, 8ne0gt0d 11401 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → 0 < (𝑁𝐴))
104, 9elrpd 13067 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴0 ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cfv 6554  cr 11157  0cc0 11158  cle 11299  +crp 13028  Basecbs 17213  0gc0g 17454  normcnm 24576  NrmGrpcngp 24577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-0g 17456  df-topgen 17458  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-xms 24317  df-ms 24318  df-nm 24582  df-ngp 24583
This theorem is referenced by:  nrginvrcnlem  24699  nmoi  24736  nmoix  24737  nmoi2  24738  nmoleub  24739  nmoid  24750  nmoleub2lem3  25133  nmoleub3  25137
  Copyright terms: Public domain W3C validator