Theorem nmrpcl 22749

Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmrpcl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nmrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmcl 22745	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 1163	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 2	nmge0 22746	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
6	5	3adant3 1163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
7		nmeq0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 2, 7	nmne0 22748	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
9	4, 6, 8	ne0gt0d 10463	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 0 < (𝑁‘𝐴))
10	4, 9	elrpd 12111	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970   class class class wbr 4842  ‘cfv 6100  ℝcr 10222  0cc0 10223   ≤ cle 10363  ℝ⁺crp 12071  Basecbs 16181  0_gc0g 16412  normcnm 22706  NrmGrpcngp 22707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-er 7981  df-map 8096  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-sup 8589  df-inf 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-q 12031  df-rp 12072  df-xneg 12190  df-xadd 12191  df-xmul 12192  df-0g 16414  df-topgen 16416  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-xms 22450  df-ms 22451  df-nm 22712  df-ngp 22713

This theorem is referenced by:  nrginvrcnlem  22820  nmoi  22857  nmoix  22858  nmoi2  22859  nmoleub  22860  nmoid  22871  nmoleub2lem3  23239  nmoleub3  23243