Theorem nmrpcl 23774

Description: The norm of a nonzero element is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmrpcl	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nmrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3	1, 2	nmcl 23770	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 2	nmge0 23771	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
6	5	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
7		nmeq0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	1, 2, 7	nmne0 23773	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
9	4, 6, 8	ne0gt0d 11112	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 0 < (𝑁‘𝐴))
10	4, 9	elrpd 12768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  ℝcr 10871  0cc0 10872   ≤ cle 11011  ℝ⁺crp 12729  Basecbs 16910  0_gc0g 17148  normcnm 23730  NrmGrpcngp 23731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-0g 17150  df-topgen 17152  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-xms 23471  df-ms 23472  df-nm 23736  df-ngp 23737

This theorem is referenced by:  nrginvrcnlem  23853  nmoi  23890  nmoix  23891  nmoi2  23892  nmoleub  23893  nmoid  23904  nmoleub2lem3  24276  nmoleub3  24280