Theorem cndprobprob 34544

Description: The conditional probability defines a probability law. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cndprobprob	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝑃,𝑎

Proof of Theorem cndprobprob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34516	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
4		prob01 34519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
5	4	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
6		elunitrn 13381	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 34005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘𝐵))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑃‘𝐵))
10		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ≠ 0)
11	7, 9, 10	ne0gt0d 11268	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 0 < (𝑃‘𝐵))
12	7, 11	elrpd 12944	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		probmeasb 34536	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob)
14	2, 3, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob)
15		3anan32 1096	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃))
16		cndprobval 34539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩) = ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵)))
17	15, 16	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩) = ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵)))
18	17	mpteq2dva 5189	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))))
19	18	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob))
20	19	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob))
21	14, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∩ cin 3898  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   ≤ cle 11165   / cdiv 11792  ℝ⁺crp 12903  [,]cicc 13262  measurescmeas 34301  Probcprb 34513  cprobccprob 34537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-ordt 17420  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-abv 20740  df-lmod 20811  df-scaf 20812  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-tmd 24014  df-tgp 24015  df-tsms 24069  df-trg 24102  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-nm 24524  df-ngp 24525  df-nrg 24527  df-nlm 24528  df-ii 24824  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-xdiv 32948  df-esum 34134  df-siga 34215  df-meas 34302  df-prob 34514  df-cndprob 34538

This theorem is referenced by: (None)