Theorem cndprobprob 34381

Description: The conditional probability defines a probability law. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cndprobprob	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝑃,𝑎

Proof of Theorem cndprobprob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34353	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
4		prob01 34356	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
5	4	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
6		elunitrn 13497	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 33823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘𝐵))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑃‘𝐵))
10		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ≠ 0)
11	7, 9, 10	ne0gt0d 11389	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 0 < (𝑃‘𝐵))
12	7, 11	elrpd 13065	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		probmeasb 34373	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob)
14	2, 3, 12, 13	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob)
15		3anan32 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃))
16		cndprobval 34376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩) = ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵)))
17	15, 16	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩) = ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵)))
18	17	mpteq2dva 5249	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))))
19	18	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob))
20	19	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob))
21	14, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2936   ∩ cin 3962  ⟨cop 4636   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5683  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   ≤ cle 11287   / cdiv 11911  ℝ⁺crp 13025  [,]cicc 13380  measurescmeas 34137  Probcprb 34350  cprobccprob 34374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5117  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-ac 10147  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12982  df-rp 13026  df-xneg 13145  df-xadd 13146  df-xmul 13147  df-ioo 13381  df-ioc 13382  df-ico 13383  df-icc 13384  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-fl 13818  df-mod 13896  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14299  df-bc 14328  df-hash 14356  df-shft 15092  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126  df-sqrt 15260  df-abs 15261  df-limsup 15493  df-clim 15510  df-rlim 15511  df-sum 15709  df-ef 16089  df-sin 16091  df-cos 16092  df-pi 16094  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-topgen 17479  df-pt 17480  df-prds 17483  df-ordt 17537  df-xrs 17538  df-qtop 17543  df-imas 17544  df-xps 17546  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-plusf 18653  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-mulg 19084  df-subg 19139  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-cring 20239  df-subrng 20548  df-subrg 20573  df-abv 20808  df-lmod 20858  df-scaf 20859  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-psmet 21355  df-xmet 21356  df-met 21357  df-bl 21358  df-mopn 21359  df-fbas 21360  df-fg 21361  df-cnfld 21364  df-top 22897  df-topon 22914  df-topsp 22936  df-bases 22950  df-cld 23024  df-ntr 23025  df-cls 23026  df-nei 23103  df-lp 23141  df-perf 23142  df-cn 23232  df-cnp 23233  df-haus 23320  df-tx 23567  df-hmeo 23760  df-fil 23851  df-fm 23943  df-flim 23944  df-flf 23945  df-tmd 24077  df-tgp 24078  df-tsms 24132  df-trg 24165  df-xms 24327  df-ms 24328  df-tms 24329  df-nm 24592  df-ngp 24593  df-nrg 24595  df-nlm 24596  df-ii 24898  df-cncf 24899  df-limc 25897  df-dv 25898  df-log 26594  df-xdiv 32860  df-esum 33970  df-siga 34051  df-meas 34138  df-prob 34351  df-cndprob 34375

This theorem is referenced by: (None)