Theorem cndprobprob 34418

Description: The conditional probability defines a probability law. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cndprobprob	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝑃,𝑎

Proof of Theorem cndprobprob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34390	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
4		prob01 34393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
5	4	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1))
6		elunitrn 13503	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ)
8		elunitge0 33876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘𝐵) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘𝐵))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑃‘𝐵))
10		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ≠ 0)
11	7, 9, 10	ne0gt0d 11394	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → 0 < (𝑃‘𝐵))
12	7, 11	elrpd 13070	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ+)
13		probmeasb 34410	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ∈ ℝ+) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob)
14	2, 3, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob)
15		3anan32 1097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃))
16		cndprobval 34413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩) = ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵)))
17	15, 16	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩) = ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵)))
18	17	mpteq2dva 5240	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))))
19	18	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob))
20	19	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → ((𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob ↔ (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((𝑃‘(𝑎 ∩ 𝐵)) / (𝑃‘𝐵))) ∈ Prob))
21	14, 20	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐵) ≠ 0) → (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ ((cprob‘𝑃)‘⟨𝑎, 𝐵⟩)) ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   ∩ cin 3949  ⟨cop 4630   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5223  dom cdm 5683  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  ℝcr 11150  0cc0 11151  1c1 11152   ≤ cle 11292   / cdiv 11916  ℝ⁺crp 13030  [,]cicc 13386  measurescmeas 34174  Probcprb 34387  cprobccprob 34411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-ac2 10499  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229  ax-addf 11230  ax-mulf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-disj 5109  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-acn 9978  df-ac 10152  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13150  df-xadd 13151  df-xmul 13152  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-starv 17308  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-unif 17316  df-hom 17317  df-cco 17318  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-ordt 17542  df-xrs 17543  df-qtop 17548  df-imas 17549  df-xps 17551  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-ps 18607  df-tsr 18608  df-plusf 18648  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-cring 20229  df-subrng 20538  df-subrg 20562  df-abv 20802  df-lmod 20852  df-scaf 20853  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-psmet 21348  df-xmet 21349  df-met 21350  df-bl 21351  df-mopn 21352  df-fbas 21353  df-fg 21354  df-cnfld 21357  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-lp 23134  df-perf 23135  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-tmd 24070  df-tgp 24071  df-tsms 24125  df-trg 24158  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-nm 24585  df-ngp 24586  df-nrg 24588  df-nlm 24589  df-ii 24893  df-cncf 24894  df-limc 25891  df-dv 25892  df-log 26588  df-xdiv 32887  df-esum 34007  df-siga 34088  df-meas 34175  df-prob 34388  df-cndprob 34412

This theorem is referenced by: (None)