Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrgt2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrgt2cycl 33485
Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
usgrgt2cycl ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))

Proof of Theorem usgrgt2cycl
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 28532 . . . . . . . 8 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 wlkcl 28349 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
43nn0red 12408 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
62nn0ge0d 12410 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
87adantr 482 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
9 relwlk 28360 . . . . . . . 8 Rel (Walksβ€˜πΊ)
109brrelex1i 5685 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
11 hasheq0 14191 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1211necon3bid 2987 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) β‰  0 ↔ 𝐹 β‰  βˆ…))
1312bicomd 222 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
141, 10, 133syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
1514biimpa 478 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  0)
165, 8, 15ne0gt0d 11226 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
17163adant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
18 usgrumgr 27916 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
19 umgrn1cycl 28538 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2018, 19sylan 581 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
21203adant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
22 0nn0 12362 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
23 nn0ltp1ne 33463 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
2422, 3, 23sylancr 588 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
25 0p1e1 12209 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2625breq1i 5111 . . . . 5 ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < (β™―β€˜πΉ))
2725neeq2i 3008 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1) ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2827anbi2i 624 . . . . 5 ((0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1)) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
2924, 26, 283bitr3g 313 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
30293ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
3117, 21, 30mpbir2and 712 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
32 usgrn2cycl 28540 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
33323adant3 1133 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
34 df-2 12150 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5111 . . . . 5 (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 + 1) < (β™―β€˜πΉ))
36 1nn0 12363 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
37 nn0ltp1ne 33463 . . . . . 6 ((1 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3836, 3, 37sylancr 588 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3935, 38bitrid 283 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
40393ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
4134neeq2i 3008 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) β‰  2 ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))
4241anbi2i 624 . . 3 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1)))
4340, 42bitr4di 289 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)))
4431, 33, 43mpbir2and 712 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  Vcvv 3444  βˆ…c0 4281   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  β„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   < clt 11123   ≀ cle 11124  2c2 12142  β„•0cn0 12347  β™―chash 14158  UMGraphcumgr 27818  USGraphcusgr 27886  Walkscwlks 28330  Cyclesccycls 28519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-hash 14159  df-word 14331  df-edg 27785  df-uhgr 27795  df-upgr 27819  df-umgr 27820  df-uspgr 27887  df-usgr 27888  df-wlks 28333  df-trls 28426  df-pths 28450  df-crcts 28520  df-cycls 28521
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  33486
  Copyright terms: Public domain W3C validator