Theorem usgrgt2cycl 35135

Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
usgrgt2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 29818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 29633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6	2	nn0ge0d 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9		relwlk 29644	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (Walks‘𝐺)
10	9	brrelex1i 5741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
11		hasheq0 14402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
12	11	necon3bid 2985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
13	12	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	1, 10, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
15	14	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
16	5, 8, 15	ne0gt0d 11398	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17	16	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18		usgrumgr 29198	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		umgrn1cycl 29827	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
20	18, 19	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21	20	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22		0nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		nn0ltp1ne 35117	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
24	22, 3, 23	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25		0p1e1 12388	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	breq1i 5150	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
27	25	neeq2i 3006	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
28	27	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
29	24, 26, 28	3bitr3g 313	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30	29	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
31	17, 21, 30	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32		usgrn2cycl 29829	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33	32	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34		df-2 12329	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5150	. . . . 5 ⊢ (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37		nn0ltp1ne 35117	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
38	36, 3, 37	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
39	35, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40	39	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
41	34	neeq2i 3006	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
42	41	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
43	40, 42	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
44	31, 33, 43	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  UMGraphcumgr 29098  USGraphcusgr 29166  Walkscwlks 29614  Cyclesccycls 29805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-pths 29734  df-crcts 29806  df-cycls 29807

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  35136