Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrgt2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrgt2cycl 35115
Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
usgrgt2cycl ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 29831 . . . . . . . 8 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkcl 29648 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
43nn0red 12586 . . . . . 6 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
62nn0ge0d 12588 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9 relwlk 29659 . . . . . . . 8 Rel (Walks‘𝐺)
109brrelex1i 5745 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ V)
11 hasheq0 14399 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
1211necon3bid 2983 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1312bicomd 223 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
141, 10, 133syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
1514biimpa 476 . . . . 5 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
165, 8, 15ne0gt0d 11396 . . . 4 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17163adant1 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18 usgrumgr 29213 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19 umgrn1cycl 29837 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
2018, 19sylan 580 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21203adant3 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
23 nn0ltp1ne 35096 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
2422, 3, 23sylancr 587 . . . . 5 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25 0p1e1 12386 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2625breq1i 5155 . . . . 5 ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
2725neeq2i 3004 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
2827anbi2i 623 . . . . 5 ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
2924, 26, 283bitr3g 313 . . . 4 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30293ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
3117, 21, 30mpbir2and 713 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32 usgrn2cycl 29839 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33323adant3 1131 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34 df-2 12327 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5155 . . . . 5 (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
37 nn0ltp1ne 35096 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
3836, 3, 37sylancr 587 . . . . 5 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
3935, 38bitrid 283 . . . 4 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40393ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
4134neeq2i 3004 . . . 4 ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
4241anbi2i 623 . . 3 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
4340, 42bitr4di 289 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
4431, 33, 43mpbir2and 713 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  0cn0 12524  chash 14366  UMGraphcumgr 29113  USGraphcusgr 29181  Walkscwlks 29629  Cyclesccycls 29818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-pths 29749  df-crcts 29819  df-cycls 29820
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  35116
  Copyright terms: Public domain W3C validator