Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrgt2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrgt2cycl 33497
Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
usgrgt2cycl ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))

Proof of Theorem usgrgt2cycl
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 28544 . . . . . . . 8 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 wlkcl 28361 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
43nn0red 12407 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
62nn0ge0d 12409 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
9 relwlk 28372 . . . . . . . 8 Rel (Walksβ€˜πΊ)
109brrelex1i 5684 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
11 hasheq0 14190 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1211necon3bid 2986 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) β‰  0 ↔ 𝐹 β‰  βˆ…))
1312bicomd 222 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
141, 10, 133syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
1514biimpa 477 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  0)
165, 8, 15ne0gt0d 11225 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
17163adant1 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
18 usgrumgr 27928 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
19 umgrn1cycl 28550 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2018, 19sylan 580 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
21203adant3 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
22 0nn0 12361 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
23 nn0ltp1ne 33475 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
2422, 3, 23sylancr 587 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
25 0p1e1 12208 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2625breq1i 5110 . . . . 5 ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < (β™―β€˜πΉ))
2725neeq2i 3007 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1) ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2827anbi2i 623 . . . . 5 ((0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1)) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
2924, 26, 283bitr3g 312 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
30293ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
3117, 21, 30mpbir2and 711 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
32 usgrn2cycl 28552 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
33323adant3 1132 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
34 df-2 12149 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5110 . . . . 5 (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 + 1) < (β™―β€˜πΉ))
36 1nn0 12362 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
37 nn0ltp1ne 33475 . . . . . 6 ((1 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3836, 3, 37sylancr 587 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3935, 38bitrid 282 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
40393ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
4134neeq2i 3007 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) β‰  2 ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))
4241anbi2i 623 . . 3 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1)))
4340, 42bitr4di 288 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)))
4431, 33, 43mpbir2and 711 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  Vcvv 3443  βˆ…c0 4280   class class class wbr 5103  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  β„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   < clt 11122   ≀ cle 11123  2c2 12141  β„•0cn0 12346  β™―chash 14157  UMGraphcumgr 27830  USGraphcusgr 27898  Walkscwlks 28342  Cyclesccycls 28531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-hash 14158  df-word 14330  df-edg 27797  df-uhgr 27807  df-upgr 27831  df-umgr 27832  df-uspgr 27899  df-usgr 27900  df-wlks 28345  df-trls 28438  df-pths 28462  df-crcts 28532  df-cycls 28533
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  33498
  Copyright terms: Public domain W3C validator