Theorem usgrgt2cycl 34740

Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
usgrgt2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 29611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 29428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6	2	nn0ge0d 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9		relwlk 29439	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (Walks‘𝐺)
10	9	brrelex1i 5734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
11		hasheq0 14354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
12	11	necon3bid 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
13	12	bicomd 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	1, 10, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
15	14	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
16	5, 8, 15	ne0gt0d 11381	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17	16	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18		usgrumgr 28993	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		umgrn1cycl 29617	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
20	18, 19	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21	20	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22		0nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		nn0ltp1ne 34721	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
24	22, 3, 23	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25		0p1e1 12364	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	breq1i 5155	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
27	25	neeq2i 3003	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
28	27	anbi2i 622	. . . . 5 ⊢ ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
29	24, 26, 28	3bitr3g 313	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30	29	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
31	17, 21, 30	mpbir2and 712	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32		usgrn2cycl 29619	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33	32	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34		df-2 12305	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5155	. . . . 5 ⊢ (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36		1nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37		nn0ltp1ne 34721	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
38	36, 3, 37	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
39	35, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40	39	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
41	34	neeq2i 3003	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
42	41	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
43	40, 42	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
44	31, 33, 43	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  Vcvv 3471  ∅c0 4323   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279  2c2 12297  ℕ₀cn0 12502  ♯chash 14321  UMGraphcumgr 28893  USGraphcusgr 28961  Walkscwlks 29409  Cyclesccycls 29598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-edg 28860  df-uhgr 28870  df-upgr 28894  df-umgr 28895  df-uspgr 28962  df-usgr 28963  df-wlks 29412  df-trls 29505  df-pths 29529  df-crcts 29599  df-cycls 29600

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  34741