Theorem usgrgt2cycl 35555

Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
usgrgt2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 30088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 29906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6	2	nn0ge0d 12568	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
7	1, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9		relwlk 29916	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (Walks‘𝐺)
10	9	brrelex1i 5718	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
11		hasheq0 14399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
12	11	necon3bid 3008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
13	12	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	1, 10, 13	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
15	14	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
16	5, 8, 15	ne0gt0d 11347	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17	16	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18		usgrumgr 29472	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		umgrn1cycl 30097	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
20	18, 19	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21	20	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22		0nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		nn0ltp1ne 35536	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
24	22, 3, 23	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25		0p1e1 12361	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	breq1i 5120	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
27	25	neeq2i 3029	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
28	27	anbi2i 634	. . . . 5 ⊢ ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
29	24, 26, 28	3bitr3g 316	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30	29	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
31	17, 21, 30	mpbir2and 725	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32		usgrn2cycl 30099	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33	32	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34		df-2 12303	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5120	. . . . 5 ⊢ (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36		1nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37		nn0ltp1ne 35536	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
38	36, 3, 37	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
39	35, 38	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40	39	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
41	34	neeq2i 3029	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
42	41	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
43	40, 42	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
44	31, 33, 43	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ♯chash 14366  UMGraphcumgr 29372  USGraphcusgr 29440  Walkscwlks 29887  Cyclesccycls 30075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-umgr 29374  df-uspgr 29441  df-usgr 29442  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-pths 30004  df-crcts 30076  df-cycls 30077

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  35556