Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrgt2cycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgrgt2cycl 34419
Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
usgrgt2cycl ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
Proof of Theorem usgrgt2cycl
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 29322 . . . . . . . 8 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 wlkcl 29139 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
43nn0red 12537 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
54adantr 479 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
62nn0ge0d 12539 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
87adantr 479 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
9 relwlk 29150 . . . . . . . 8 Rel (Walksβ€˜πΊ)
109brrelex1i 5731 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
11 hasheq0 14327 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1211necon3bid 2983 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) β‰  0 ↔ 𝐹 β‰  βˆ…))
1312bicomd 222 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
141, 10, 133syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
1514biimpa 475 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  0)
165, 8, 15ne0gt0d 11355 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
17163adant1 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
18 usgrumgr 28706 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
19 umgrn1cycl 29328 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2018, 19sylan 578 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
21203adant3 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
22 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
23 nn0ltp1ne 34399 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
2422, 3, 23sylancr 585 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
25 0p1e1 12338 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2625breq1i 5154 . . . . 5 ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < (β™―β€˜πΉ))
2725neeq2i 3004 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1) ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2827anbi2i 621 . . . . 5 ((0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1)) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
2924, 26, 283bitr3g 312 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
30293ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
3117, 21, 30mpbir2and 709 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
32 usgrn2cycl 29330 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
33323adant3 1130 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
34 df-2 12279 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5154 . . . . 5 (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 + 1) < (β™―β€˜πΉ))
36 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
37 nn0ltp1ne 34399 . . . . . 6 ((1 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3836, 3, 37sylancr 585 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3935, 38bitrid 282 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
40393ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
4134neeq2i 3004 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) β‰  2 ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))
4241anbi2i 621 . . 3 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1)))
4340, 42bitr4di 288 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)))
4431, 33, 43mpbir2and 709 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β™―chash 14294  UMGraphcumgr 28608  USGraphcusgr 28676  Walkscwlks 29120  Cyclesccycls 29309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-uspgr 28677  df-usgr 28678  df-wlks 29123  df-trls 29216  df-pths 29240  df-crcts 29310  df-cycls 29311
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  34420
  Copyright terms: Public domain W3C validator