Theorem usgrgt2cycl 35273

Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
usgrgt2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 29820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 29638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12461	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6	2	nn0ge0d 12463	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9		relwlk 29648	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (Walks‘𝐺)
10	9	brrelex1i 5678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
11		hasheq0 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
12	11	necon3bid 2974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
13	12	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	1, 10, 13	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
15	14	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
16	5, 8, 15	ne0gt0d 11268	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17	16	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18		usgrumgr 29203	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		umgrn1cycl 29829	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
20	18, 19	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21	20	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22		0nn0 12414	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		nn0ltp1ne 35255	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
24	22, 3, 23	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25		0p1e1 12260	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	breq1i 5103	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
27	25	neeq2i 2995	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
28	27	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
29	24, 26, 28	3bitr3g 313	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30	29	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
31	17, 21, 30	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32		usgrn2cycl 29831	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33	32	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34		df-2 12206	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5103	. . . . 5 ⊢ (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36		1nn0 12415	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37		nn0ltp1ne 35255	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
38	36, 3, 37	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
39	35, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40	39	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
41	34	neeq2i 2995	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
42	41	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
43	40, 42	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
44	31, 33, 43	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ♯chash 14251  UMGraphcumgr 29103  USGraphcusgr 29171  Walkscwlks 29619  Cyclesccycls 29807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-edg 29070  df-uhgr 29080  df-upgr 29104  df-umgr 29105  df-uspgr 29172  df-usgr 29173  df-wlks 29622  df-trls 29713  df-pths 29736  df-crcts 29808  df-cycls 29809

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  35274