Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrgt2cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrgt2cycl 32810
Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
usgrgt2cycl ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 27890 . . . . . . . 8 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkcl 27708 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
43nn0red 12156 . . . . . 6 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
62nn0ge0d 12158 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
87adantr 484 . . . . 5 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9 relwlk 27718 . . . . . . . 8 Rel (Walks‘𝐺)
109brrelex1i 5610 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ V)
11 hasheq0 13935 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
1211necon3bid 2985 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1312bicomd 226 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
141, 10, 133syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
1514biimpa 480 . . . . 5 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
165, 8, 15ne0gt0d 10974 . . . 4 ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17163adant1 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18 usgrumgr 27275 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19 umgrn1cycl 27896 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
2018, 19sylan 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21203adant3 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22 0nn0 12110 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
23 nn0ltp1ne 32788 . . . . . 6 ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
2422, 3, 23sylancr 590 . . . . 5 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25 0p1e1 11957 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2625breq1i 5065 . . . . 5 ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
2725neeq2i 3006 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
2827anbi2i 626 . . . . 5 ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
2924, 26, 283bitr3g 316 . . . 4 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30293ad2ant2 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
3117, 21, 30mpbir2and 713 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32 usgrn2cycl 27898 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33323adant3 1134 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34 df-2 11898 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5065 . . . . 5 (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36 1nn0 12111 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
37 nn0ltp1ne 32788 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
3836, 3, 37sylancr 590 . . . . 5 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
3935, 38syl5bb 286 . . . 4 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40393ad2ant2 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
4134neeq2i 3006 . . . 4 ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
4241anbi2i 626 . . 3 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
4340, 42bitr4di 292 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
4431, 33, 43mpbir2and 713 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3413  c0 4242   class class class wbr 5058  cfv 6385  (class class class)co 7218  cr 10733  0cc0 10734  1c1 10735   + caddc 10737   < clt 10872  cle 10873  2c2 11890  0cn0 12095  chash 13901  UMGraphcumgr 27177  USGraphcusgr 27245  Walkscwlks 27689  Cyclesccycls 27877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-int 4865  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-2o 8208  df-oadd 8211  df-er 8396  df-map 8515  df-pm 8516  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-dju 9522  df-card 9560  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-nn 11836  df-2 11898  df-n0 12096  df-xnn0 12168  df-z 12182  df-uz 12444  df-fz 13101  df-fzo 13244  df-hash 13902  df-word 14075  df-edg 27144  df-uhgr 27154  df-upgr 27178  df-umgr 27179  df-uspgr 27246  df-usgr 27247  df-wlks 27692  df-trls 27785  df-pths 27808  df-crcts 27878  df-cycls 27879
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  32811
  Copyright terms: Public domain W3C validator