Theorem usgrgt2cycl 36023

Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
usgrgt2cycl	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

Proof of Theorem usgrgt2cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycliswlk 30401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 30211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 12681	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6	2	nn0ge0d 12683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
7	1, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 0 ≤ (♯‘𝐹))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ (♯‘𝐹))
9		relwlk 30221	. . . . . . . 8 ⊢ Rel (Walks‘𝐺)
10	9	brrelex1i 5711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
11		hasheq0 14520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
12	11	necon3bid 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
13	12	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	1, 10, 13	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
15	14	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
16	5, 8, 15	ne0gt0d 11460	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
17	16	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐹))
18		usgrumgr 29777	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
19		umgrn1cycl 30411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
20	18, 19	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
21	20	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 1)
22		0nn0 12634	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		nn0ltp1ne 36016	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
24	22, 3, 23	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1))))
25		0p1e1 12476	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
26	25	breq1i 5113	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ 1 < (♯‘𝐹))
27	25	neeq2i 3024	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ (0 + 1) ↔ (♯‘𝐹) ≠ 1)
28	27	anbi2i 635	. . . . 5 ⊢ ((0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (0 + 1)) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1))
29	24, 26, 28	3bitr3g 316	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
30	29	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝐹) ↔ (0 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 1)))
31	17, 21, 30	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 1 < (♯‘𝐹))
32		usgrn2cycl 30413	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
33	32	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 2)
34		df-2 12418	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	breq1i 5113	. . . . 5 ⊢ (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝐹))
36		1nn0 12635	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37		nn0ltp1ne 36016	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0) → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
38	36, 3, 37	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((1 + 1) < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
39	35, 38	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
40	39	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))))
41	34	neeq2i 3024	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 2 ↔ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1))
42	41	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ (1 + 1)))
43	40, 42	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (2 < (♯‘𝐹) ↔ (1 < (♯‘𝐹) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 2)))
44	31, 33, 43	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   < clt 11356   ≤ cle 11357  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ♯chash 14487  UMGraphcumgr 29674  USGraphcusgr 29745  Walkscwlks 30192  Cyclesccycls 30387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-edg 29641  df-uhgr 29651  df-upgr 29675  df-umgr 29676  df-uspgr 29746  df-usgr 29747  df-wlks 30195  df-trls 30290  df-pths 30314  df-crcts 30388  df-cycls 30389

This theorem is used by:  usgrcyclgt2v  36024