Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrgt2cycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem usgrgt2cycl 34121
Description: A non-trivial cycle in a simple graph has a length greater than 2. (Contributed by BTernaryTau, 24-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
usgrgt2cycl ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
Proof of Theorem usgrgt2cycl
StepHypRef Expression
1 cycliswlk 29055 . . . . . . . 8 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 wlkcl 28872 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
43nn0red 12533 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
62nn0ge0d 12535 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
87adantr 482 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΉ))
9 relwlk 28883 . . . . . . . 8 Rel (Walksβ€˜πΊ)
109brrelex1i 5733 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
11 hasheq0 14323 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1211necon3bid 2986 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) β‰  0 ↔ 𝐹 β‰  βˆ…))
1312bicomd 222 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
141, 10, 133syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  0))
1514biimpa 478 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  0)
165, 8, 15ne0gt0d 11351 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
17163adant1 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 < (β™―β€˜πΉ))
18 usgrumgr 28439 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
19 umgrn1cycl 29061 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2018, 19sylan 581 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
21203adant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
22 0nn0 12487 . . . . . 6 0 ∈ β„•0
23 nn0ltp1ne 34101 . . . . . 6 ((0 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
2422, 3, 23sylancr 588 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1))))
25 0p1e1 12334 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2625breq1i 5156 . . . . 5 ((0 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < (β™―β€˜πΉ))
2725neeq2i 3007 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1) ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)
2827anbi2i 624 . . . . 5 ((0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (0 + 1)) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1))
2924, 26, 283bitr3g 313 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
30293ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (0 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  1)))
3117, 21, 30mpbir2and 712 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
32 usgrn2cycl 29063 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
33323adant3 1133 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)
34 df-2 12275 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
3534breq1i 5156 . . . . 5 (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 + 1) < (β™―β€˜πΉ))
36 1nn0 12488 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
37 nn0ltp1ne 34101 . . . . . 6 ((1 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0) β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3836, 3, 37sylancr 588 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((1 + 1) < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
3935, 38bitrid 283 . . . 4 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
40393ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))))
4134neeq2i 3007 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) β‰  2 ↔ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1))
4241anbi2i 624 . . 3 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  (1 + 1)))
4340, 42bitr4di 289 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (2 < (β™―β€˜πΉ) ↔ (1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ (β™―β€˜πΉ) β‰  2)))
4431, 33, 43mpbir2and 712 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β™―chash 14290  UMGraphcumgr 28341  USGraphcusgr 28409  Walkscwlks 28853  Cyclesccycls 29042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-uspgr 28410  df-usgr 28411  df-wlks 28856  df-trls 28949  df-pths 28973  df-crcts 29043  df-cycls 29044
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  34122
  Copyright terms: Public domain W3C validator