Theorem recxpcl 24762

Description: Real closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recxpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recxpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10314	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 10314	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		cxpval 24751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
4	1, 2, 3	syl2an 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
5	4	3adant2 1162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
6		1re 10328	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0re 10330	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	ifcli 4323	. . . 4 ⊢ if(𝐵 = 0, 1, 0) ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → if(𝐵 = 0, 1, 0) ∈ ℝ)
10		df-ne 2972	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
11		simpl3 1247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		simpl1 1243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		simpl2 1245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ 𝐴)
14		simpr 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
15	12, 13, 14	ne0gt0d 10464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴)
16	12, 15	elrpd 12114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
17	16	relogcld 24710	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
18	11, 17	remulcld 10359	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	reefcld 15154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
20	10, 19	sylan2br 589	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 = 0) → (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
21	9, 20	ifclda 4311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
22	5, 21	eqeltrd 2878	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ifcif 4277   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  ℝcr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229   ≤ cle 10364  expce 15128  logclog 24642  ↑_𝑐ccxp 24643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972  df-log 24644  df-cxp 24645

This theorem is referenced by:  rpcxpcl  24763  abscxp2  24780  cxple  24782  cxplt2  24785  recxpcld  24810  cxpaddlelem  24836